« Un enseignement efficace des nombres décimaux?"

1. « Un enseignement efficace des nombres décimaux?" Laetitia Desmet Julie Fanuel Philippe Skilbecq

2. Enseigner, verbe transitif : Apprendre, montrer à qqn. • L'apprentissage des nombres décimaux par les élèves • Pourquoi cet apprentissage est-il difficile? • Quels sont les obstacles rencontrés lors de cet apprentissage? • Comment enseigner au mieux les nombres décimaux?

3. Évaluations externes non-certificatives • (2004) auprès de 1838 élèves provenant de 79 classes de 2e secondaire commune en Communauté française 70,6% RC

4. Lors d’un apprentissage… les connaissances existantes sont mobilisées (perspective constructiviste) • Les apprentissages mathématiques peuvent être considérés de façon hiérarchique (Aunola & al., 2004; Hecht & Vagi, 2010; Jordan & al., 2009; Moeller & al. ,2011), l’apprentissage de concepts élémentaires servant de fondation à l’acquisition de concepts plus complexes. • Certaines connaissances antérieures peuvent être un obstacle au nouvel apprentissage

5. Bachelard (1938) « on connaît contre une connaissance antérieure, en détruisant des connaissances mal faites »  obstacle épistémologique • Fischbein (1971, 1987) : des intuitions mathématiques qui peuvent interférer avec les connaissances à acquérir • Brousseau (1998)  obstacle épistémologique  obstacle didactique • Vosniadou , Vamvakoussi (2007) une réorganisation des connaissances, lente et graduelle, comportant des conceptions intermédiaires (modèles synthétiques).

6. Dans l’apprentissage des sciences • Conceptions de la terre : • Conceptions initiales : la terre est plate. • Modèle scientifique admis: la terre est un objet astronomique, une « sphère » entourée par l’espace. 

7. Modèles synthétiques : tentatives de réconciliation entre les conceptions initiales et modèle enseigné. • Tentatives « personnelles » et en même temps, certaines constantes…

8. Des naturels aux rationnels… 4 23 145 0,23 0,201 0,190000 Réorganisation des connaissances / Généralisation • 2 < 4 alors que ½ > ¼ • 1450 > 145alors que 0,20 = 0,2 • « rien » entre 2 et 3 alors que 2,1 2,157869… • 23 + 5 = 28 alors que 0,23 + 0,5 = 0,73

9. Quelles conceptions des nombres décimaux ?Comment évoluent-elles? • Une tâche de comparaison de deux décimaux proposée à des élèves de la 3ème primaire à la 6ème primaire • Des paires de décimaux de différents types, certains n’allant pas « à l’encontre des naturels », d’autres bien (Desmet, Grégoire, Mussolin, 2010)

10. Différents types des paires Par rapport aux naturels :

11. Analyses clustering • “Naturel” : la partie décimale est traitée comme si elle était un nombre naturel (sans les valeurs de position). • “Longueur ” : seule la longueur est prise en compte. Y a-t-il des élèves répondant de façon similaire pour les différents types de paires ? → 5 clusters ou profils d’élèves

12. “Presque expert” : difficulté pour zéro en fin de partiedécimale “Expert” “Hesitant” : majorité de réponsescorrectes, mais des erreursdisperséesdans les différentescatégories

13. Il y a bien des conceptions initiales, une « implication  » des connaissances antérieures basées sur les nombres naturels • Pas de tout ou rien. Il y a bien des stades intermédiaires, une réorganisation progressive des connaissances

14. Connaître le profil d’un élève ? • Intérêt pour la didactique, la pédagogie différenciée, la remédiation… • Mais, http://www.crem.be/index.php/Decival

15. Conceptions qui « interfèrent » • Conceptions issues des connaissances des nombres naturels, tendance à considérer la partie décimale comme un nombre naturel : • Par exemple, 0.02 > 0.1 parce que 2 > 1 ou parce que plus de chiffres… • Observées chez les élèves les plus jeunes, avant l’enseignement et au début de l’apprentissage (3ème, 4ème, (5ème)) • Chez les élèves un peu plus âgés, lorsque l’enseignement a débuté (4ème, 5ème)…

16. Antoine, élève de 6è primaire

17. Exp. : Comment sais-tu que 0,2 est plus grand que 0,10 ? • Antoine : Là c’est zéro virgule deux centièmes et ça c’est dixième, ‘fin zéro virgule deux dixièmes, c’est plus grand. • Exp. : Certains élèves m’ont dit que 0,10 c’est plus grand que 0,2 parce que 10 est plus grand que 2. Pourquoi ne peut-on pas se dire ça ? • Antoine : Ben, parce que ça c’est en centième et ça c’est en dixième.

18. Exp. : Et ici (0,3 vs 0,40) ? • Antoine : C’est comme le premier, c’est zéro virgule quarante centième et là c’est zéro virgule trois dixièmes, ‘fin c’est plus grand. Parce que il y a dixième, centième et millième. Dixième c’est plus grand, puis c’est centième, puis millième. Donc celui-là (0,3) c’est plus grand. • Utilisation du transcodage et des connaissances des fractions, mais raisonnement limité au dénominateur sans tenir compte du numérateur

19. 1.Exp. : Pourquoi est-ce que un sixième est plus grand (que un tiers) ? Antoine : Parce que six c’est plus grand que trois.

20. 2. Antoine : Parce que là c’est trente centièmes, c’est comme l’autre (les décimaux) je trouve que c’est plus petit..

21. 3. Antoine : Par exemple, on a quelque chose coupé en 4, on prend deux là, et là on prend carrément toute la moitié. Donc c’est ½ le plus grand. Exp. : Peux-tu me dessiner cela ? Antoine : (très rapidement) Ah non, c’est égal…

22. 4. Antoine : C’est comme là (2), c’est des centièmes et là c’est des dixièmes, ça passe avant, c’est plus grand que les centièmes avec l’abaque. Exp. : Finalement, tu regardes le nombre du dessous uniquement… Antoine : Oui, mais ça dépend, si c’est tous les deux des dixièmes, on regarde un peu celui du dessus.

23. Implication des connaissances des fractions (et du transcodage), mais raisonnement imparfait limité au dénominateur sans tenir compte du numérateur. • Lors de l’apprentissage des nombres décimaux, une influence des connaissances des nombres naturels, plus tard des fractions, un processus lent et graduel, des conceptions erronées, des tentatives de réconciliation des connaissances initiales et des nouvelles connaissances… notion d’obstacle épistémologique

24. Entre hiérarchie et obstacle? • Faut-il choisir entre l’idée que les connaissances sont hiérarchiques (que des concepts simples servent de base à des concepts plus complexes) et l’idée que la progression vers les concepts plus complexes comporte des obstacles?

25. Étude longitudinale > La compréhension des fractions et/ou du système décimal de position prédit-elle l’apprentissage des nombres décimaux ? Temps 1 Temps 2 Temps 3 Enseignement des décimaux • Système décimal • Fraction • Décimaux • Décimaux • Décimaux

26. Régressions linéaires… La compréhension du système décimal, des fractions, les conceptions initiales des nombres décimaux, sont des prédicteurs de l’apprentissage des nombres décimaux. La variable X est un prédicteur significatif de la variable Y.

27. Régressions multiples

28. Apprentissage des nombres décimaux • Des conceptions erronées issues des connaissances initiales (des nombres naturels ou des fractions) • Notion d’obstacle épistémologique (par exemple, du successeur unique à la densité) • Importance d’une compréhension du système décimal • Distinguer connaissances approfondies de « trucs et astuces superficiels » • 1 vs. 10 / 0.1 vs. 0.10 • « rend dix fois plus grand » / « marque un rang vide »

29. Comment enseigner les nombres décimaux? • Connaître et tenir compte des conceptions initiales des élèves (constructivisme) • Retravailler/approfondir le système décimal. • Créer un conflit cognitif pour susciter un changement conceptuel ? • Un usage intensif met trop l’accent sur les connaissances initiales inappropriées (Smith & al. 1993) • Les élèves peuvent ignorer ou rejeter les infos contradictoires avec leurs conceptions initiales (Chinn & Brewer, 1998) ou avoir une réaction affective négative face au conflit (Dreyfus et al., 1990; Stavy & Berkovitz, 1991)

30. Il est donc important de recourir aux ressources conceptuelles dont les élèves disposent (Stavy & Berkovitz, 1991) • L’idéal est de combiner les deux approches (conflit et recours) , de tenir compte des conceptions erronées mais construire sur les conceptions initiales pertinentes (di Sessa, 1988; Clement & al., 1989).

31. Morgane, élève de 5è primaire

32. 0,3 + 0,64 Morgane : Je fais 64 + 3, ça fait 67 et je marque 0,67. • 0,6 + 0,9 Morgane : Ça fait 15, donc je fais 1,5. Exp. : Pourquoi ce n'est pas 0,15 ? Certains élèves m'ont déjà répondu ça. Morgane : Euh, parce que… (long silence) Exp. : Tu sais pourquoi ? Morgane : Non.

33. 0,08 + 0,01 • Morgane : Je fais 8 + 1, ça fait 9 et je rajoute les deux zéros (réponse correcte donnée : 0,09). • 6 + 0,2 • Morgane : Je fais 6 + 2, ça fait 8 et je rajoute le zéro ici (réponse donnée : 0,8). • Procédure : addition à partir de la droite, ajout du zéro ensuite. • Re-médiation basée sur la liaison des connaissances conceptuelles et procédurales pour les naturels et l’utilisation d’une calculatrice.

34. Enseigner les décimaux • Tenir compte des connaissances initiales, aider les élèves à les réorganiser (conflit cognitif, mais pas seulement) • Importance d’une connaissance approfondie du système décimal • Des obstacles didactiques ? (Brousseau) • Des situations didactiques qui ne permettent pas la construction de conceptions adéquates • Certaines situations pourraient favoriser l’idée qu’un nombre décimal est un couple d’entier (N,N)

35. 0.52 vs. 0.3 0.2 vs. 0.14 0.25 vs. 0.1 0.4 vs. 0.67 0.2 + 0.45 0.2 + 0.457 0.12 + 0.6 0.78 + 0.1

36. Utiliser l’euro? • Il existe des piècesreprésentant des parties inférieures à l’unité (cents)  • Mais il n’y a pas de pièces au-delà du centième  • 10 centièmes (10 cents) et pas un dixième 

37. Utiliser la monnaie pour l’enseignement des nombresdécimauxestproposédans la littérature(Bonotto, 2005; Carraher & Schliemann, 1988 ; Irwin, 2001) • Monnaie « didactique » commercialisée

38. Monnaie présente dans certains manuels scolaires

39. 1,2 vs. 1,10 1,2 € vs. 1,10 € Comparaison

40. Une erreur fréquente lors de l’addition : 1,5 + 2,7 = 3,12 1 € 5 + 2 € 7 = 3 € 12

41. Une séquence didactique expérimentée par le CREM… • http://www.enseignement.be • http://www.crem.be/index.php/Recherches/decimaux • P. Skilbecq, J. Fanuel • Situation problème • Éviter tant que faire se peut les obstacles didactiques

42. L’euro ne constitue pas une aide pour la comparaison de décimaux, voire est un obstacle pour certains nombres et pour les élèves plus âgés. • L’euro renforce la conception N,N. Par exemple, Utilisé intensivement et/ou isolément il constituer un obstacle didactique. • Par contre, l’euro semble aider à concevoir qu’il y ait des nombres entre deux naturels, mais il devient un obstacle pour aller au-delà des centièmes et pour les élèves plus âgés.

43. Utiliser les mesures?

44. Des nombres dont la partie décimale ne contient que 1 ou 2 chiffres (e.a., €) • 1 € 25 N,N • entre 1,1 et 1,3 il n’y a que 1,2 (successeur unique) • Dans le contexte de la mesure, mais sans unité conventionnelle • 1,25 m 1 m 25 cm N,N (Brousseau)

45. En 4è primaire… • [Enseignant] « Pourriez-vous mettre votre crayon ou votre doigt sur la latte où on a 2,82 ? » • [Les élèves] « Oui » • [Enseignant] « C’est quoi 2,82 cm ? » • [Un élève] « C’est 2 cm et 8 mm. » • [Certains élèves] « Le dernier 2, on ne sait pas le mettre. » • [Martin] « J’y arrive parce que c’est 82 mm et que 82 mm, ça fait 8 cm et 2 mm. » • [Un élève] « Donc pour toi, c’est 10,2. » • [Martin] « Oui. » • [Enseignant] « Pour toi, 2,82 cm c’est la même chose que 10,2 ?» • [Martin] « Oui. » N cm ,N mm

46. [Enseignant] « Donc, quand je trace une ligne de 2,82 cm, c’est la même chose que si je traçais une ligne de 10,2 cm ? » • [Les élèves] « Non. » • [Enseignant] « Pourquoi vous n’êtes pas d’accord ? » • [Un élève] « Parce que 2,82 c’est 2,82. Ce n’est pas 10,2. Ça ne peut pas être autre chose. » • [Un autre élève] « Moi, je dis qu’on ne sait pas écrire le 2. C’est comme les euros, il y en a après la virgule mais on ne sait pas payer. » • [Martin] « Si, parce que 2,82, c’est 82 mm et ça fait 8,2 cm et si je le mets avec le 2, ça nous donne 10,2. »

47. Un carré d’aire 8 ?

48. La longueur du côté de ce carré d’aire 8 ? 2 < x < 3 : 2 ½  2,5 2,5 x 2,5 = 6,25 2,8 x 2,8 = 7,84 2,9 x 2,9 = 8,41 2,8 < x < 2,9 : 2,81 x 2,81 = 7,8961 2,82 x 2,82 = 7,9524 2,83 x 2,83 = 8,0089 2,82 < x < 2,83 : 2,828 x 2,828 = 7,997584 2,829 x 2,829 = 8,003241

49. Comparaison

50. ? • reste l’obstacle épistémologique • Mais cette séquence didactique évite des obstacles didactiques, • présente d’emblée une propriété majeure des nombres décimaux : la densité • s’ancre sur un approfondissement du système décimal • contient un conflit cognitif (les naturels ne suffisent pas) et peut être travaillée avec les élèves en distinguant avec eux les connaissances sur lesquelles ils peuvent se baser de celles qui doivent être modifiées…