ESERCITAZIONE 2 CAPITOLI 6-7

1. Università di Torino - Facoltà di EconomiaA.A. 2009/2010MICROECONOMIACorso CProf. Davide Vannoni Prof. Massimiliano Piacenza

2. ESERCITAZIONE 2CAPITOLI 6-7 Esercizi Esercizio sulla produzione e sul prodotto marginale Esercizio sui costi di produzione, dimensione efficiente e rendimenti di scala: l’impresa WWW Esercizio: i personal computer della DISK e della FLOPPY Esercizio: dalla funzione di produzione Cobb-Douglas alle curve di costo Analisi formale della teoria della produzione La minimizzazione del costo Il saggio marginale di sostituzione tecnica La dualità nella teoria della produzione e del costo

3. ESERCIZIO n.1 Consideriamo la seguente Funzione di produzione: Disegnare la funzione di produzione. Calcolare il Prodotto marginale. Quando il prodotto marginale inizia a diminuire? Quando il prodotto marginale diventa negativo? Confrontare i due casi in termini di effetto sulla quantità prodotta totale. Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

4. 59 9 = incremento di prodotto dovuto ad un lavoratore in più, quando si passa da 4 a 5 lavoratori impiegati 15 = incremento di prodotto dovuto ad un lavoratore in più, quando si passa da 1 a 2 lavoratori impiegati Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

5. Il prodotto marginale inizia a decrescere con l’impiego del 4° lavoratore. Quando il prodotto marginale inizia a decrescere, la quantità prodotta totale continua a crescere, però a un tasso ridotto. (produttività marginale decrescente ma ancora positiva) Il prodotto marginale, con l’impiego del 10° lavoratore, diventa negativo, questo comporta una diminuzione della quantità prodotta totale. (produttività marginale decrescente e negativa) Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

6. crescente decrescente Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

7. ESERCIZIO n.2 L’impresa WWW presenta la seguente tabella di costi di produzione, in relazione alla quantità prodotta. • Calcolare: • CT • CM • CMeV • CMeF • CMeT Disegnare le curve dei costi medi e del costo marginale Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

8. Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

9. CM CMeT CMeV CMeF Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

10. Osservando le curve di costo disegnate dire da che punto inizia a decrescere il prodotto marginale. Prodotto Marginale: l’incremento della quantità prodotta causato da un incremento unitario dei fattori di produzione. Il prodotto marginale inizia a decrescere al livello di quantità prodotta al quale inizia a crescere il costo marginale. E’ la diminuzione del prodotto marginale che causa la crescita dei costi marginali. Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

11. Se MC > CMeT Se MC > CMeV Se MC < CMeT Se MC < CMeV CMeV CMeT CMeT CMeV Qual è la relazione tra: Costi medi Totali e Costi Marginali e tra: Costi medi Variabili e Costi Marginali? La curva dei Costi Marginali interseca nel loro punto di minimo sia la curva dei Costi medi Totali che la curva dei Costi Medi Variabili. In entrambe i casi i valori medi, dei costi totali o dei costi variabili, sono influenzati dal valore del costo marginale, in particolare: Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

12. Qual è la dimensione efficiente per la WWW? La dimensione produttiva efficiente e quella che minimizza i costi medi totali. Osservando sia la tabella dei costi calcolati, che i grafici delle curve di costo si può individuare la quantità “5” come quella efficiente. Per quantità sia minori che maggiori, i costi medi totali risultano superiori a quelli associati al livello di produzione di 5 unità. Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

13. Quali sono i rendimenti di scala per la WWW? Se i costi medi sono crescenti (rispettivamente decrescenti, costanti) i rendimenti di scala sono decrescenti (rispettivamente crescenti, costanti) Nel caso specifico vi sono economie di scala (rendimenti crescenti fino a Q = 5 e diseconomie di scala per quantità superiori Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

14. ESERCIZIO n. 3: i personal computer della DISK e della FLOPPY La funzione di produzione per i personal computer della DISK è data da Q = 10 K0.5 L0.5, dove Q è il numero di computer prodotti al giorno, K è il numero di ore-macchina e L è il numero di ore-lavoro. La società concorrente della DISK, la FLOPPY, usa la funzione di produzione Q = 10 K0.6 L0.4. • Se entrambe le imprese usano le stesse quantità di capitale e lavoro, quale delle due genererà più prodotto? Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

15. Se definiamo: Q = numero di computer prodotti al giorno dalla società DISK Q2 = numero di computer prodotti al giorno dalla società FLOPPY X = numero di ore-macchina società DISK = numero di ore-macchina società FLOPPY = numero di ore-lavoro società DISK = numero di ore-lavoro società FLOPPY Le due imprese producono rispettivamente: Q = 10X0.5X0.5 = 10X(0.5+0.5) = 10X Q2 = 10X0.6X0.4 = 10X(0.6+0.4) = 10X Q = Q2 Le due imprese producono lo stesso numero di computer al giorno Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

16. Si noti che se le due imprese usassero lo stesso numero di ore-macchina e lo stesso numero di ore-lavoro, MA se il numero di ore-macchina fosse DIVERSO dal numero di ore-lavoro usato dalle due imprese, allora le due imprese NON produrrebbero lo stesso numero di computer al giorno. In particolare, se K > L Q2 > Q • Supponete che, mentre il capitale è limitato a 9 ore-macchina, il lavoro sia in offerta illimitata. In quale delle due imprese è maggiore il prodotto marginale del lavoro? Spiegate. Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

17. Se il capitale è limitato a 9 ore-macchina, la funzione di produzione delle due imprese diventa: Q = 30L0.5 Q2 = 37.37L0.4 Per determinare in quale delle due imprese è maggiore il prodotto marginale del lavoro, si consideri la seguente tabella: Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

18. Per tutte le unità di lavoro > 1, il PML della società DISK è maggiore del PML della società FLOPPY Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

19. ESERCIZIO n. 4: Dalla funzione di produzione alla funzione di costo Una impresa adopera fattori variabili (S e L) dai quali dipende la quantità prodotta (Y) secondo la funzione di produzione: Y = S1/5L3/10 I loro prezzi sono: PS = 2 e PL = 3; oltre ai costi variabili ciascuna unità deve sostenere costi fissi per 20. 1) Si determini la funzione di costo dell’impresa Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

20. Il saggio marginale di sostituzione tecnica (pari al rapporto tra le produttività marginali dei fattori) deve essere pari al rapporto tra i prezzi dei fattori (condizione di ottimo per l’impresa): Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

21. Possiamo dunque sostituire L ad S nell’espressione che fornisce il costo variabile dell’impresa (isocosto): CTV = PS*S + PL*L = 2S + 3L = 5L Ma se operiamo la stessa sostituzione nella funzione di produzione possiamo ottenere L in funzione di Y: Y = L1/5L3/10 = L1/2 L = Y2 Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

22. Sostituendo L in CTV otteniamo: CTV = 5Y2 Aggiungendo i costi fissi otteniamo infine la funzione di costo totale dell’impresa: CT = 5Y2 + 20 Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

23. 2) Si illustri in un grafico l’andamento del costo medio, del costo medio fisso, del costo medio variabile e del costo marginale Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

24. CM CMeT CMeV CMeF Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

25. ESERCIZIO n. 5: ANALISI FORMALE DELLA TEORIA DELLA PRODUZIONE a) La minimizzazione del costo Sia F(K,L) la funzione di produzione dell’impresa, che dipende da capitale K e lavoro L e siano dati i prezzi del lavoro w e del capitale r. Il problema di minimizzazione dei costi dell’impresa può essere rappresentato in termini matematici: Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

26. Come già visto nell’esercitazione 1, i problemi di max/min in presenza di vincoli possono essere risolti utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, cioè: Fase 1: scriviamo la Lagrangiana: Fase 2: Deriviamo la Lagrangiana rispetto a L, K, λ e poniamo le derivate pari a 0: con PM K = dF(K,L)/dK con PM L = dF(K,L)/dL Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

27. Fase 3: risolviamo queste equazioni e otteniamo i valori di L, K, λ. In questa fase finale, possiamo derivare due significative condizioni di ottimalità. In particolare, combinando le prime due equazioni otteniamo: Se ciò non fosse vero e se, per esempio, il membro a sinistra dell’uguaglianza fosse maggiore di quello di destra, l’impresa potrebbe sostituire capitale a lavoro, e continuare ad ottenere la stessa produzione ad un costo minore. Tale uguaglianza deve quindi necessariamente essere verificata nel punto di ottimo. Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

28. b) Il saggio marginale di sostituzione tecnica Ricordiamo che un isoquanto è una curva che rappresenta tutte le combinazioni dei fattori produttivi L e K che consentono all’impresa di produrre una data quantità di prodotto Q*: F(K,L)=Q* rappresenta quindi un isoquanto di produzione. Lungo tale curva vale quindi necessariamente: Da cui possiamo ottenere il saggio marginale di sostituzione tecnica fra lavoro e capitale: Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

29. Poiché la prima equazione mostrata nella fase 3 può essere riscritta come: possiamo concludere che nel punto di tangenza fra l’isoquanto e l’isocosto il saggio marginale di sostituzione tecnica (che rappresenta la pendenza dell’isoquanto) eguaglia il rapporto fra i prezzi dei fattori di produzione (che rappresenta la pendenza dell’isocosto). Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

30. c) La dualità nella teoria della produzione e del costo • Il problema della scelta ottimale di K e L può essere visto in modo duale come quello di: • Scegliere la curva di isocosto più bassa tangente ad un dato isoquanto di produzione problema di “minimizzazione dei costi” • Scegliere la curva di isoquanto più alta tangente ad un dato isocosto di produzione problema di “massimizzazione del prodotto” • Consideriamo infatti la seguente formalizzazione matematica del secondo problema: Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

31. Scriviamo la funzione Lagrangiana, la deriviamo rispetto L, K, e λ, e poniamo le derivate pari a 0 (fasi 1 e 2 come già visto in precedenza). Otteniamo quindi: Dove μ rappresenta il moltiplicatore di Lagrange Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2

32. Risolvendo il sistema delle prime due equazioni otteniamo la seguente condizione di ottimo: che infatti coincide con la condizione che abbiamo derivato nel problema della minimizzazione del costo di produzione! Microeconomia C, A.A. 2009-2010 Esercitazione 2