Mecânica Quântica: A equação de Schrödinger

1. Mecânica Quântica: A equação de Schrödinger • A nova mecânica deveria ter uma formulação compatível com os fatos: 1)quantização da radiação emitida por um corpo negro 2)a quantização do átomo de Bohr 3)dualidade onda-partícula tanto para a luz quanto para o elétron 4)princípio da incerteza de Heizenberg

2. A primeira formulação para esta nova teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1926. • De acordo com Schrödinger devido a dualidade onda-partícula da matéria, mesmo que uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída em todo o espaço como uma onda. • Neste sentido, uma onda na mecânica quântica equivaleria ao conceito de trajetória na mecânica clássica e seria representada por uma função denominada função de onda, y (psi).

4. Na mecânica de oscilações um movimento ondulatório é descrito por: • Onde é o número de onda:

5. Substituindo y(x) pela função de onda y(x) temos:

6. Esta é a equação de Schrödinger estacionária para partículas livres não relativísticas de massa m e energia E

7. Se a partícula está sujeita a ação de um campo de forças, associado a uma energia potencialV(x) temos: Esta é a equação de Schrödinger para estadosestacionários de energia E na presença de energia potencial V(x).

8. Não basta formular uma equação de ondas. E preciso saber interpretá-la: 1) A que corresponde a amplitude e a intensidade da onda? 2) Qual a relação entre a onda e a partícula a ela associada? 3) As soluções da equação são fisicamente aceitáveis? • O problema consiste em associar novos conceitos físicos relacionados a mecânica da escala atômica.

9. Sendo o potencial constante uma possível solução para a equação de Schrödinger, a qual pode ser obtida por métodos de resolução de equações diferenciais, é da forma: onde i é um número complexo imaginário. • A solução da equação de Schrödinger é portanto, uma função de onda complexa. • Como y é uma função complexa (imaginária) ela não deve ter significado físico e, portanto não pode ser medida em laboratório. • Apenas as grandezas ou observáveis reais têm significado físico e podem ser medidas em laboratório.

10. Max Born foi o primeiro a dar uma interpretação, não a função de onda em si mas ao seu quadrado. • O módulo da função de onda ao quadrado y2 é uma grandeza não complexa, portanto ele deve ter significado físico. • De acordo com Max Born, para movimentos em uma única dimensão x, ele é uma probabilidade por unidade x isto é: é a probabilidade de que se encontre a partícula em uma posição entrex e x + dx.

11. A mecânica quântica não é determinística, mas probabilística. Ela nos força a abandonar a noção de trajetórias precisamente definidas das partículas no tempo e no espaço. • Devemos falar em termos de probabilidades como alternativa a configurações do sistema. • Esta interpretação de Y fornece uma conexão estatística entre a partícula e onda a ela associada; ela nos diz onde a partícula provavelmente estará e não onde de fato está.

12. Para uma dada carga nuclear, à medida que o número quântico principal aumenta, as regiões de alta densidade eletrônica se estendem cada vez mais além do núcleo. Pela mecânica quântica, encontramos que o valor médio do raio é dado por:

14. Orbitais do tipo s • O orbital com n = 1, l = 0, m = 0 representa o estado fundamental ou de mais baixa energia o qual é descrito pela função de onda: • Como este orbital depende apenas da coordenada rentão, ele é um orbital esfericamente simétrico.

15. São mostradas duas alternativas de representar a nuvem eletrônica de um orbital s: Representa o volume esférico no qual o elétron passa a maior parte do tempo. Probabilidade de encontrar o elétron (representada pela densidade de pontos) diminui à medida que nos afastamos do núcleo.

16. Orbital tipo p • A forma geométrica dos orbitais p é a de duas esferas achatadas até o ponto de contato (o núcleo atômico ) e orientadas segundo os eixos de coordenadas.

18. Molécula de C2H2

20. Partículas Fundamentais • A matéria que compõe todas as coisas no universo é na verdade um conglomerado de alguns blocos fundamentais de construção da natureza.  • "fundamental" é a palavra chave • Os blocos fundamentais de construção são objetos que são simples e sem estrutura - não são constituídos por nada menor. 

21. O Núcleo é Fundamental? • Por parecer pequeno, sólido e denso, os pensou-se originalmente que o núcleo era fundamental. • Mais tarde, descobriram que ele era feito de prótons (p), que são carregados positivamente, e nêutrons (n), que não têm carga.

22. Os prótons e os nêutrons são fundamentais? • Não!! Prótons e nêutrons são compostos de partículas ainda menores, chamadas quarks. • Até onde sabe-se, os quarks são como os pontos na geometria. Eles não são compostos de nada mais.  Atualmente, suspeita-se que os quarks e o elétron são fundamentais.

23. Modelo atômico moderno. • Os elétrons estão em constante movimento em torno do núcleo; os prótons e os nêutrons vibram dentro do núcleo e os quarks vibram dentro dos prótons e nêutrons.

24. A Escala do Átomo • A figura anterior está bastante distorcida. Para desenhar o átomo em escala com prótons e nêutrons com um centímetro de diâmetro, então os elétrons e quarks deveriam ter um diâmetro menor do que o de um fio de cabelo e o diâmetro do átomo inteiro deveria ser maior que o comprimento de trinta campos de futebol! • 99,999999999999% do volume de um átomo é apenas espaço vazio! • O núcleo é dez mil vezes menor que o átomo, e os quarks e elétrons são pelo menos dez vezes menores que eles. • Não sabe-se exatamente quão menores os quarks e elétrons são; eles são definitivamente menores que 10-18 metros.

25. O Modelo Padrão • A teoria chamada Modelo Padrão, explica o que é o mundo e o que o mantém unido. • É uma teoria simples e compreensível que explica todas as centenas de partículas e interações complexas com apenas: • 6 quarks.  • 6 léptons. O lépton mais conhecido é o elétron.   • Partículas transportadoras de força, como o fóton. • Todas as partículas de matéria conhecidas são compostas de quarks e léptons, e elas interagem trocando partículas transportadoras de força.

26. Quarks e Léptons • Tudo ao nosso redor, desde galáxias até montanhas e moléculas, são feitas de quarks e léptons. • Quarks comportam-se diferentemente dos léptons, e para cada tipo de partícula de matéria há uma partícula de antimatéria correspondente.

27. Matéria e Antimatéria • Para cada tipo de partícula de matéria que nós encontramos, existe uma partícula correspondente de antimatéria ou uma antipartícula. • As antipartículas são iguais as suas correspondentes partículas de matéria, exceto pelo fato de terem cargas opostas. • Por exemplo, um próton é eletricamente positivo, ao passo que um antipróton é eletricamente negativo. A gravidade afeta a matéria e a antimatéria do mesmo modo. Uma partícula de matéria tem também a mesma massa de uma antipartícula.  • Quando uma partícula de matéria e uma partícula de antimatéria se encontram, elas se aniquilam em energia! 

28. Se a antimatéria e a matéria são exatamente iguais, mas opostas, então por que há muito mais matéria do que antimatéria no universo? Mas podemos comprovar a existência de antimatéria nesta foto de uma câmara de bolhas. O campo magnético nessa câmara faz com que as partículas negativas se curvem para a esquerda e as partículas positivas se curvem para a direita. Muitos pares elétron-pósitron aparecem nessa foto

29. Quarks • Quarks são um tipo de partícula de matéria. A maior parte da matéria que vemos em nossa volta é feita de prótons e nêutrons, os quais são compostos de quarks. • Existem seis quarks, mas os físicos usualmente falam em termos de três pares: • up/down  • charmoso/estranho • top/bottom. (para cada um desses quarks, existe um antiquark correspondente.)

30. Os quarks têm a característica não usual de possuírem uma carga elétrica fracionária, diferente da do próton e do elétron, que têm cargas inteiras de +1 e -1, respectivamente. • O quark mais difícil de ser encontrado, o quark top, foi descoberto em 1995 depois de ter sido previsto teoricamente por 20 anos. 

31. Hádrons, Bárions, Mésons • Os quarks existem somente em grupos. Partículas compostas por quarks são denominadas: HÁDRONS • Embora os quarks individuais tenham cargas elétricas fracionárias, eles se combinam de tal maneira que os hádrons possuem cargas elétricas inteiras.

32. Existem duas classes de hádrons: HÁDRONS BÁRIONS MÉSONS São hádrons compostos por três quarks (qqq) Como osprótons são constituídos por dois quarks up e um quark down (uud), E assim também são os nêutrons (udd).  São hádrons compostos por um quark (q) e um antiquark ( ) Um exemplo de méson é o píon, que é composto por um quark up e um antiquark down.

33. Como os mésons são constituídos por uma partícula e uma antipartícula, eles são bastante instáveis. • Outra curiosidade sobre os hádrons é que somente uma pequeníssima parte da massa de um hádron é devida à existência de quarks nele.  • A maior parte da massa que nós observamos num hádron vem de sua energia cinética e potencial. Essas energias são convertidas na massa do hádron como é descrito por E = mc2

34. Léptons • Existem seis tipos de léptons, três dos quais possuem carga elétrica e três que não. • Eles parecem ser partículas puntiformes sem estrutura interna. • O lépton mais conhecido é o elétron. Os outros dois léptons são o múon e o tau, que são carregados como os elétrons, mas têm muito mais massa. (tau 3000x) • Os outros léptons são os três tipos deneutrinos. Eles não possuem carga, têm massa muito pequena e são difíceis de serem detectados. • Os quarks são sociáveis e existem apenas em partículas compostas com outros quarks, ao passo que os léptons são partículas solitárias.

35. Neutrinos • Neutrinos são léptons que não possuem carga forte ou elétrica quase nunca interagem com quaisquer outras partículas. • A maioria dos neutrinos passa direto através da Terra sem interagir com um único átomo dela. • Uma vez que os neutrinos foram produzidos em grande abundância no início do universo e raramente interagem com a matéria; então, existem muitos deles no Universo. A pequeníssima massa, mas o grande número, deve contribuir para a massa total do Universo e afetar sua expansão. 

36. A Geração de Matéria • Toda matéria visível no universo é feita da primeira geração de partículas de matéria quarks up, quarks down e elétrons. Isso porque todas as partículas da segunda e terceira gerações de partículas são instáveis e decaem, tornando-se partículas de primeira geração, a única geração estável.  • Se as gerações acima da primeira decaem rapidamente, são raramente observadas e não compõem nenhuma matéria estável ao nosso redor, então por que elas existem?

37. As Quatro Interações ou O que mantém o universo unido? • O universo que conhecemos existe porque as partículas fundamentais interagem. • Existem quatro interações fundamentais entre as partículas, e todas as forças podem ser atribuídas a essas quatro interações!

38. Como a Matéria Interage? • Como dois ímãs "sentem" a presença um do outro e se atraem ou se repelem de acordo com a situação? Como o Sol atrai a Terra? • O que são as forças de "magnetismo" e "gravidade"????

39. Em um nível fundamental, a força não é apenas algo que acontece para as partículas. "É uma coisa que é trocada entre duas partículas".

40. Descobriu-se que todas as interações que afetam as partículas da matéria são devidas a uma troca de partículas transportadoras de força, um tipo completamente diferente de partícula. • Essas partículas são como bolas de basquete atiradas entre as partículas da matéria (que são como jogadores de basquete). • O que nós pensamos normalmente como "forças" são, na verdade, os efeitos das partículas transportadoras de força sobre as partículas da matéria. 

41. Diferentes interações, suas partículas transportadoras de força e em que partículas elas atuam:

42. Além do Modelo Padrão • O Modelo Padrão responde a muitas das perguntas sobre a estrutura e a estabilidade da matéria com seus seis tipos de quarks, seis tipos de léptons, e quatro forças. Mas ainda existem muitas perguntas sem resposta. • Por que vemos mais matéria do que antimatéria se deveríamos ter simetria (igualdade) entre as duas no Universo?  • Os quarks e léptons são realmente fundamentais, ou são constituídos de partículas mais fundamentais? • Como a gravidade se encaixa em tudo isso? • Em nosso cotidiano, observamos apenas a primeira geração de partículas (elétrons, neutrinos e- e quarks up/down). Por que a natureza  "precisa" das outras duas gerações?  • O que é toda esta matéria extra no universo que não podemos explicar usando métodos normais? • Por que o Modelo Padrão não pode prever a massa de uma partícula? (O Modelo Padrão não consegue explicar por quê algumas partículas são do jeito que são )

43. Referências: • http://www.cepa.if.usp.br/aventuradasparticulas/index.html

44. Como ensinar? • Textos • Sobre Discreto Charme das Partículas Elementares • Um pôster para ensinar física de partículas na escola • Cidade do Átomo: Debate escolar sobre energia nuclear • Dissertação • A Realidade escondida a dualidade onda-partícula para estudantes do Ensino Médio

45. Sobre Discreto Charme das Partículas Elementares

46. Um pôster para ensinar física de partículas na escola

47. Cidade do Átomo: Debate escolar sobre energia nuclear

49. Dissertação • A Realidade escondida a dualidade onda-partícula para estudantes do Ensino Médio • No site