MANTIK 2

1. ÇIKARIM KURALLARI, NİTELEYİCİLER, İSPATLAR MANTIK 2

2. ÇIKARIM KURALLARI

3. ÇIKARIM KURALLARI

4. ÇIKARIM KURALLARI

5. ÇIKARIM KURALLARI

6. x (B(x)  R(x)) Evrensel kümemiz bütün yaratılmışlardır. x (L(x)  H(x)) x (H(x)  R(x)) NİTELEYİCİLER B(x) = “x bir sinek kuşudur.” L(x) = “x büyük bir kuştur.” H(x) = “x bal üzerinde yaşar.” R(x) = “x çok renklidir.” Bütün sinek kuşları çok renklidir. Büyük kuşlar bal üzerinde yaşamazlar. Bal üzerinde yaşamayan kuşlar donuk renklidir.

7. x (L(x)  F(x)) x (L(x)  F(x)) NİTELEYİCİLER Bütün aslanlar güçlü değildir. x P(x) anlamı “P(x) bütün x’ler için doğru.” x P(x) anlamı nedir? • Değil [“P(x) bütün x’ler için doğru.”] “P(x) doğru olmadığı bir x vardır.” x P(x) Böylece, x P(x) önermesix P(x) önermesine denktir.

8. x (L(x)  H(x)) x (L(x)  H(x)) NİTELEYİCİLER Büyük kuşlar bal üzerinde yaşamazlar. x P(x) anlamı “P(x) bazı x’ler için doğrudur.” x P(x) anlamı nedir? • Değil [“P(x) bazı x’ler için doğrudur.”] “P(x) önermesi bütün x’ler için doğru değildir.” x P(x) Böylece, x P(x) önermesi x P(x) önermesine denktir.

9. NİTELEYİCİLER Böylece, x P(x) önermesix P(x) önermesine denktir. Böylece, x P(x) önermesix P(x) önermesine denktir. Genelkural: değilini almak, değil işaretini sağa hareket ettir, niteleyici değiştir.

10. NİTELEYİCİLER Büyük kuşlar bal üzerinde yaşamazlar.

11. Niteleyici sırası değştirildiğinde anlam değişir. P(x,y) bütünx, y çiftleri için doğrudur. Bütün x değerleri için bir y (mümkünse farklı) değeri P(x,y) önermesini doğru yapar. P(x,y) doğru olması için en az bir tanex, y. En az bir tane x değeri vardır ki P(x,y) önermesini daima doğru yapar. P(x,y) = “x’in favori sınıfı y olduğu kabul edilsin.” NİTELEYİCİLER • xy P(x,y) • xy P(x,y) • xy P(x,y) • xy P(x,y)

12. A dizisi kodu yazılmış . Bu dizi için olur. Dizinin elemanları için olur. Sıralı elemanlar vardır Dizinin elemanları için NİTELEYİCİLER

13. Niteleyicilerde önermeler açık önermesinin ERGİsi şeklindedir. önermesinin KONVERS şeklindedir. açık önermesinin TERSİ şeklindedir. NİTELEYİCİLER

14. NİTELEYİCİLER

15. Aşağıdaki açık önerme ispatlansın: A değeri için ve dağılma özelliğinden olur. Buradan ve önermesinden önermesi elde edilir. NİTELEYİCİLER

16. ((M  B)  (A B)  (A Z)  (M))  Z ? DOĞRUDAN İSPAT Bilinenler: Elamatematik favorisi veya BB favorisidir. Eğer Ela Ayrık Matematiği sevmiyorsa, BB favorisi değildir.. Eğer Ela ayrık matematikten hoşlanırsa, o zekidir. Ela matematik favorisi değildir. Ela zekidir sonucu çıkarılabilir mi? M  B A B D  S M

17. ((M  B)  (A B)  (A Z)  (M))  Z ? DOĞRUDAN İSPAT Genel, p  q ispatlamak için, p kabul edilir ve q elde edilmeye çalışılır.

18. Ela zekidir! DOĞRUDAN İSPAT 1. M  BVerilen 2. A  BVerilen 3. A  ZVerilen 4. M Verilen 5. B DS(1,4) 6. A MT (2,5) 7. Z MP (3,6)

19. Çünküp YANLIŞ, p  q DOĞRU (fakat q hakkında hiçbir bilgi yok) • Eğer n tek ise, n2tektir. Genel, p  q ispatlamak için, p kabul edilir ve q elde edilmeye çalışılır. Fakat p  q DOĞRUeğer p YANLIŞ. p  q ispatlamak için p ispatlamak. Ör. p: Esenlikte iyi Çin yemeği vardır. q: Sana 10 TL vereceğim. DOĞRUDAN İSPAT

20. Çünküq DOĞRU, p  q DOĞRU (p’ nin durumu önemli değildir) İSPAT TEKNİKLERİ • Genel, p  q ispatlamak için, p kabul edilir ve q elde edilmeye çalışılır. Fakat p  q DOĞRUeğer p YANLIŞ. p  q ispatlamak için p ispatlamak. Ör. p: Esenlikte iyi Çin yemeği vardır. q: Kahve içiyorum.

21. (a + b ≥ 15)  (a ≥ 8) v (b ≥ 8) İSPAT TEKNİKLERİ – DOLAYLI İSPAT p  q  q  p (ergi) Böylece, p  q önermesini ilk olarak q kabul ederek ve p ispatlamak. Örnek: Eğer a ve b tamsayıve a + b ≥ 15 ise, a ≥ 8 veya b ≥ 8 olur. (Kabulq) Zannetmek (a < 8)  (b < 8). (İspatp) Buradan(a ≤ 7)  (b ≤ 7), ve(a + b) ≤ 14, ve(a + b) < 15.

22. ((Y B)  (S B)  (S Y))  S ? İSPAT TEKNİKLERİ – ÇELİŞKİ İLE İSPAT Örnek: Yağmurlu gün bahçeyi büyütür. Bahçe büyümez, eğer sıcak değilse. Dışarısı soğuk olduğu zaman, yağmur yağar. Sıcak olduğunu ispatla. Verilen:Y B S B S Y İspat: S

23. S İSPAT TEKNİKLERİ – ÇELİŞKİ İLE İSPAT 1. Y B Verilen 2. S BVerilen 3. S YVerilen 4. S tersini düşün Verilen: Y  B S  B S  Y İspat: S 5. Y MP (3,4) 6. B MP (1,5) 7. B MP (2,4) 8. B BÇelişki

24. çelişki İSPAT TEKNİKLERİ – ÇELİŞKİ İLE İSPAT İlk verilen önerme? a2 çifttir ve a çifttir(a = 2k bazı k)?? Tersi düşünülsün; a sayısı çift değildir. Buradana = 2k + 1 bazı k sayıları için a2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k2 + 4k + 1 elde edilir. vea2tektir. Böylece a çifttir.

25. A: (p1  q) v (p2  q) v … v (pn  q) B: (p1  q)  (p2  q)  …  (pn  q) İSPAT TEKNİKLERİ – DURUMLARLA İSPAT p1 v p2 v … v pn  q şeklinde bir teoremin ispatının yapılacağı kabul edilsin. Durumlara göre ispat yapılır, hangi durumlar DOĞRU?

26. (p1  q)  (p2  q)  …  (pn  q) İSPAT TEKNİKLERİ – DURUMLARLA İSPAT n=2 için ispat: (p1 v p2)  q  (p1 v p2) v q tanım  (p1  p2) v q DeMorgan  (p1 v q)  (p2 v q) Dağılma  (p1  q)  (p2  q) Tanım

27. İSPAT TEKNİKLERİ – Niteleyici-varlık ispatı • eğer n bir tamsayı ise, n2>=n İspatın iki yolu x P(x). Birini inşa et veya inşa edilebileceğini göster. Yapıcı Tekniği: Eğer xP(x) ispatlamak istersek, bazı a’ lar için P(a) DOĞRU olduğu gösterilmelidir Örnek için Bir pozitif tamsayı iki tane tamsayının çarpımı olarak iki farklı yolla yazılabilir.