Monitoria de Lógica para Computação

1. Monitoria de Lógicapara Computação Ciência da Computação 2010.1 Estruturas e Subestruturas Por: Jefferson de Menezes (jmmf) Ricardo Salomão (rssj2)

2. Lógica de Predicados • Até agora utilizamos a chamada “lógica proposicional”para formalizar sentenças e argumentos, tal formalização perde muita informação, pois uma sentença(atômica) é representada por uma única variável, embora seja composta por um sujeito(objeto) e predicado...

3. Lógica de Predicados • Com a linguagem simbólica enriquecida de símbolos para objetos e símbolos para predicados Frege definiu o que se chama de “Lógica de predicados” ou “Lógica de Primeira Ordem”. • Ex.: O unicórnio é lenda. • Objeto = unicórnio • Predicado = lenda

4. Estrutura Matemática • Uma estrutura matemática é dada por 4 componentes: • 1 –Conjunto Domínio • 2 –Conjunto Predicados • 3 -Conjunto de Elementos Destacados • 4 –Conjunto de Funções • Obs.:O conceito de Valoração-verdade por si só não serve para resolver satisfatibilidade.

5. Estrutura Matemática • Ex.: Domínio IN Predicados Funções Primo(-) Menor que(-,-) Quadrado(-) Soma(-,-) 1 Elementos Destacados

6. Estrutura Matemática • Ex.: • O número 3 é primo. • 4 não é menor que 1. • Todo elemento menor que 2, seu quadrado é igual a ele mesmo.

7. Estrutura Matemática • Codificando: • Predicados -> P(-) [Primo]; M(-,-)[Menor que] • Destacados -> a = 1 • Funções -> q(-)[quadrado]; s(-,-)[soma]

8. Estrutura Matemática • Resposta: • P(s(a,s(a,a))) • ¬M(q(s(a,a)),a) • x(M(x,s(a,a)) -> q(x)=x)

9. Assinatura de uma Estrutura Assinatura: A assinatura de uma estrutura matemática A é dada “necessidade” simbólica para fins de codificação de sentenças sobre A. Em outras palavras a assinatura de A é dada por: - Um conjunto de símbolos de predicado - Um conjunto de símbolos de constante - Um conjunto de símbolos de função

10. Estrutura Matemática • Obs.: Duas estruturas A e B podem ter a mesma assinatura e ainda assim terem naturezas bem diferentes.

11. A Noção de Subestrutura A e B são L-estruturas e f é uma função (f: dom(A)->dom(B)) • Homomorfismo: Dizemos que f preserva os “componentes lógicos” de A(de A para B) se: f é um homomorfismo.

12. Homomorfismo(cont.): A Noção de Subestrutura I. Preserva os Destaques: f(cA) = cB • Preserva as Relações: Se (a1, a2, ..., an) Є RA --> (f(a1), f(a2), ..., f(an)) Є RB • Preserva as Funções: f(gA (a1, a2, ..., an)) = gB(f(a1), f(a2), ..., f(an))

13. A Noção de Subestrutura • Imersão: Dizemos que f é uma imersão se f for injetiva e for um homomorfismo que preserva os predicados indo e voltando. O item II. seria substítuido por: (a1, a2, ..., an) Є RA <==> (f(a1), f(a2), ..., f(an)) Є RB • Isomorfismo: Se f for uma imersão e for sobrejetora(bijetiva). sse

14. A Noção de Subestrutura • Endomorfismo: Se f for um homomorfismo e f: A->A. • Automorfismo: Se f for um endomorfismo e for um isomorfismo.

15. A Noção de Subestrutura Dadas duas estruturas A e B: • A é uma subestrutura de B se (B é uma expansão de A): • A e B são L-estruturas(possuem a mesma assinatura); • dom(A) dom(B); • A função f: A -> B é um homomorfismo imersor;

16. A Noção de SubestruturaSubestrutura Gerada Qual será a menor subestrutura de B cujo domínio tem x? • O domínio de A deve conter todos os destaques de B; • As relações de sobre A são calculadas assim: RA = RB dom(A)n, n = aridade. • Destaques em A = destaques em B; • As funções são definidas assim: para todo símbolo de f de L, fA deve estar definida em todos os pontos do domínio de A;

17. Dúvidas?