Lei de Little

1. Lei de Little

2. Lei de Little Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Otimização de recursos Ferramentas simples Lei de Little

3. L L S Lei de Little Parâmetros de uma Fila • L: número médio de usuários no sistema • LQ: número médio de usuários na fila • W: tempo médio que um usuário permanece no sistema • WQ: tempo médio que um usuário permanece na fila LQ

4. Lei de Little Idéia de custo: Cada usuário que entra ao sistema paga uma quantia de dinheiro, de acordo a certa regra. • Identidade de custo: Velocidade média com que o sistema ganha dinheiro = taxa média de chegada ao sistema multiplicada pela quantia paga por cada usuário.

5. Lei de Little • Definições: Vs: velocidade média com que o sistema ganha dinheiro a: taxa média de chegada de usuários ao sistema : quantia paga por cada usuário • Identidade de custo em termos matemáticos:

6. Lei de Little • Demonstração intuitiva da identidade de custo: T: período de observação $(T): quantia média ganha pelo sistema em [0,T] N(T): número de usuários que entra no sistema em [0,T]

7. Lei de Little • Tem-se que: $(T) = Vs T (1) $(T) = N(T). (2) N(T) a.T (3) De (1), (2) e (3), tem-se que: Portanto:

8. [$/ut] W[$/pessoa] Sistema Lei de Little • Aplicações de identidade de custo: regra 1 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no sistema.

9. Lei de Little Definição: D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro W: quantia paga por um usuário (já que ele está há W unidades de tempo no sistema) Então, da igualdade de custo :

10. Sistema Lei de Little • Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do “caixa” à entrada do sistema, que observa que há L usuários no sistema. L usuários

11. Lei de Little Definição: D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro [$/ut] L: número médio de usuários no sistema Cada usuário paga 1$ por unidade de tempo. Então: Juntando ambos pontos de vista:

12. Lei de Little • Aplicações da identidade de custo: regra 2 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está na fila. Definição: Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro. Wq: quantia paga por um usuário (já que está há W unidades de tempo na fila) Então, valor que corresponde aos pagamentos feitos pelos usuários:

13. Lei de Little • Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do “caixa” à entrada da fila, que observa que há N usuários na fila. Definição: Dq: velocidade com que a fila ganha dinheiro Lq: número médio de usuários na fila Resumo da regra: Juntando ambos pontos de vista:

14. Lei de Little • Aplicações da identidade de custo: regra 3 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no servidor. Definição: E[s]: tempo médio em que cada usuário está no servidor Ls: número médio de usuários em serviço Então, da igualdade de custo: Lei de Little

15. Lei de Little • Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do “caixa” à entrada da zona de serviço, que observa que há N usuários em serviço. Definição: Ds: velocidade com que o serviço ganha dinheiro Ls: número médio de usuários em serviço Então, da igualdade de custo : Juntando ambos pontos de vista:

16. Aplicações da Lei de Little

17. Transmissão de pacotes Linha de transmissão destino fonte : taxa média de chegada de pacotes a uma rede de computadores Nq: número médio de pacotes esperando na fila : tempo médio de transmissão Pode ser modelado por: Pacotes em espera   Pacotes em transmissão

18. Transmissão de pacotes • Pergunta 1: qual é o tempo médio de permanência de um pacote na fila? Aplicando a Lei de Little: • Pergunta 2: qual é o número médio de pacotes na linha de transmissão? Seja  o número de pacotes na linha de transmissão. Pela Lei de Little:

19. 1 2 2 · · · · Linha de transmissão · i · i · · · · · · n n Rede de computadores Rede de computadores 1 1,2,…,n: taxa de chegada de pacotes aos n nós N: número médio de pacotes dentro da rede

20. Rede de computadores • Pergunta: qual é o atraso médio de um pacote? Ao sistema chegam pacotes por unidade de tempo. Aplicando a Lei de Little: Além disso, onde Ni: número médio de pacotes no nó i Ti: atraso médio de pacotes no nó i

21. Análise de outro concentrador Um concentrador de dados possui 40 terminais a ele conectados. Cada terminal gera pacotes com comprimento médio de 680 bits. 40 bits de informação de controle são agregados a cada pacote antes deste ser transmitido ao enlace de saída, que tem capacidade de 7200 b/s. 20 dos terminais geram um pacote cada 10 seg. em média. 10 dos terminais geram um pacote cada 5 seg. em média. 10 dos terminais geram um pacote cada 2.5 s em média.

22. Análise de outro concentrador • 20 terminais: um pacote a cada 10 s em média 10 terminais: um pacote a cada 5 s em média 10 terminais: um pacote a cada 2.5 s em média • Modelo: as estatísticas de entrada tem distribuição de Poisson.

23. Análise de outro concentrador

24. N(t) < a < K K+P 2K Chegada do Chegada segundo do primeiro pacote pacote 3 2 1 a K+P t 2K K 3K Partida do Partida do segundo primeiro pacote pacote Linha de transmissão K: período de chegada de um pacote à linha K: tempo de transmissão do pacote ( < 1) P: atraso de processamento e propagação do pacote

25. Linha de transmissão • Pergunta 1: qual é a taxa de chegada de pacotes ao sistema? • Como os pacotes chegam com períodos iguais, sua taxa de chegada será:

26. Linha de transmissão • Pergunta 2: qual é o número de pacotes no sistema? • Cada pacote permanece dentro do sistema: De acordo com a Lei de Little tem-se que:

27. Linha de transmissão • Observação 1: N(t) é determinístico e variável no tempo. • Observação 2: A Lei de Little é correta, caso interprete-se N(t) como uma média no tempo, ou seja:

28. Sistema fechado com K servidores Considere um sistema de uma fila com K servidores e com N ( K) usuários (seja na fila ou em serviço). O sistema está sempre cheio, isto é, o sistema começa com N usuários e quando um usuário sai do sistema é imediatamente substituído por um novo usuário. Tempo meio de serviço = E[x]. Pergunta : T = ?

29. Sistema fechado com K servidores • Calcular T em função do tempo médio de serviço E[x] Aplicando a Lei de Little ao sistema: Aplicando a Lei de Little ao servidor: Eliminando  das duas equações anteriores se chega a :

30. servidores 1 2 · · · N-K i usuários · · · K Sistema fechado K: número de servidores no sistema T: tempo médio de um usuário no sistema N: número de usuário no sistema (N  K) : tempo médio de serviço por usuário

31. Sistema fechado • Hipóteses: • sistema começa com N usuários • sistema fechado • Qual é o tempo médio que um usuário permanece no sistema? Aplicando a Lei de Little no sistema: (1)

32. Sistema fechado • Considerando-se que todos os servidores estão sempre ocupados, aplicando a Lei de Little ao subsistema do servidor: (2) de (i) e (ii) tem-se que:

33. Controle de fluxo pela janela N 0 1 . X N: largura da janela para cada sessão : taxa de chegada de pacotes ao sistema T: atraso médio de cada pacote Receptor Transmissor . 2 4 3

34. Controle de fluxo pela janela • Hipóteses: • A sessão sempre tem pacotes para enviar. • Os acks de resposta têm duração desprezível. • Quando o pacote i chega a destino, o pacote i+N é imediatamente introduzido na rede. • Análise pela Lei de Little: • Se T aumenta, então  diminui • Para máximo  fixo um incremento no tamanho da janela somente incrementa o atraso T

35. T1   T2 Computador P TN R D Análise de um computador a tempo compartilhado Arquitetura:

36. Parâmetros do sistema • N: número de terminais • R: tempo médio de pensar em cada terminal • P: tempo médio de processamento de cada tarefa • D: tempo médio desde que um trabalho é submetido ao computador até que termine sua execução • T = R+D: tempo médio de uma tarefa no sistema • : throughput do sistema

37. Análise de um computador a tempo compartilhado • Condição de sistema fechado: N = constante no sistema • Condição máxima de utilização: Sempre existe um usuário com uma tarefa quando outro acaba de ser atendido. • Problema: encontrar os valores máximos e mínimos de  e T.

38. TERMINAL 1 R  CPU  B TERMINAL A 1 / P 2 R TERMINAL P N R R D Modelo Time sharing: T

39. Análise de um computador a tempo compartilhado • Análide: devido à hipotese, sempre existem N terminais que estão processando. Aplicando a Lei de Little entre os pontos (A) e (B): • Atraso mínimo de um trabalho Dmin = P • Atraso máximo de um trabalho Dmax = NP

40. Análise de um computador a tempo compartilhado • Conclusão P  D  NP Portanto, R + P  T  R + NP (1) Aplicando a Lei de Little em (1) (2) Como o processamento de uma tarefa demora P, tem-se que: (3)

41. Análise de um computador a tempo compartilhado Combinando (2) e (3), obtem-se: (4) Usando-se a Lei de Little, chega-se aos limites de tempo para o sistema (5)

42. R+NP zona de operação NP R+P R 1 Atraso máximo e mínimo do sistema

43. 1 / P THROUGHPUT 1 + R / P NÚMERO DE TERMINAIS Throughput máximo e mínimo

44. Processos de nascimento e morte

45. k-1 k E E E k+1 k-1 k k k+1 Processos de nascimento e morte • É o caso especial de uma cadeia de Markov na qual as únicas transições permitidas (ou possíveis) a partir de um estado Ek, são aos estados Ek-1 ou Ek+1, se estes estados existem.

46. Definições • Nascimento: transição ao estado adjacente superior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode chegar no máximo um usuário ao sistema). • Morte: transição ao estado adjacente inferior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+t) pode sair no máximo um usuário do sistema). Ek Ek+1 Ek Ek-1

47. Definições • Razão de nascimento: número médio de nascimentos por unidade de tempo. Esta razão é dependente do estado, isto é, para o estado k: kqk,k+1 • Razão de morte: número médio de mortes por unidade de tempo quando o sistema está num determinado estado k: kqk,k-1 • Como a EBG estabelece que qk,i = 0 Então: qk,k = - (k + k)

48. Solução dos PNM • Evolução temporal de um PNM no intervalo (t, t+t): E k+1 E E k k E k-1 t t+t • Deseja-se obter:

49. Solução dos PNM • Hipótese: quando se está no estado E0, não é possível uma morte (0 = 0), mas é possível um nascimento (0  0) (exemplo: geração espontânea)

50. E 1 morte k+1 E E Não mudou k k 1 nascimento E k-1 t t+t Solução dos PNM • Logo, as possibilidades de estar no estado Ek no instante t + t, a partir do estado no instante t, são: