CHƯƠNG 2 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN

1. CHƯƠNG 2TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN

2. Miền thời gian liên tục và rời rạc • Time domain • Tín hiệu liên tục (về mặt) thời gian là tín hiệu xác định với mọi thời điểm trong một khoảng thời gian. X(t) t là biến thời gian thực, • Tín hiệu rời rạc (về mặt) thời gian là tín hiệu chỉ xác định trên một tập rời rạc của thời gian (một tập những thời điểm rời rạc). {X(n)} n là biến rời rạc nguyên

3. Tín hiệu mang giá trị thực hoặc phức • Tín hiệu x(t) hay x(n) có thể mang giá trị thực hoặc giá trị phức • Trong trường hợp x(n) mang giá trị phức • Tín hiệu liên hợp phức với {x(n)}

4. Tín hiệu tuần hoàn và không tuần hoàn Tín hiệu x(n) tuần hoàn có chu kỳ N: x(n+N) = x(n), n • Năng lượng • Hữu hạn nếu 0 ≤ n ≤ N – 1 và x(n) hữu hạn • Vô hạn nếu –∞ ≤ n ≤ +∞ • Tín hiệu tuần hoàn là tín hiệu công suất

5. Tín hiệu đối xứng (chẵn) và bất đối xứng (lẻ) • Cho tín hiệu x(n) thực • x(n) = x(–n), n → tín hiệu chẵn • x(n) = –x(–n), n → tín hiệu lẻ • Bất cứ tín hiệu nào cũng được biểu diễn dưới dạng x(n) = xe(n) + xo(n) Thành phần tín hiệu chẵn xe(n) = (½)[x(n) + x(–n)] Thành phần tín hiệu lẻ xo(n) = (½)[x(n) – x(–n)]

6. Tần số của tín hiệu liên tục thời gian • Tần số liên quan mật thiết với dao động điều hòa (harmonic oscillation) được mô tả bởi các hàm sin. Xét thành phần tín hiệu cơ bản • x(t) = Asin(Ωt + θ), –∞< t < +∞ A : biên độ tín hiệu Ω = 2πF : Tần số góc (rad/s) F : Tần số - chu kỳ/s (Hz) θ : Pha (rad) Tp = 1/F : Chu kỳ (s) • 3 đặc trưng cơ bản • Với F xác định, x(t) tuần hoàn với chu kỳ: Tp= 1/F • Tần số khác nhau thì hai tín hiệu sẽ khác nhau • Khi F tăng thì hệ số dao động tăng

7. Tín hiệu tuần hoàn

8. Tần số của tín hiệu rời rạc thời gian • Xét thành phần tín hiệu cơ bản • x(n) = A sin(ωn + θ) –∞ < n < +∞ n : chỉ số mẫu (nguyên) A : biên độ ω = 2πf : tần số (radian/mẫu) f : tần số (chu kỳ/mẫu) θ : pha (rad) • 3 đặc trưng cơ bản • x(n) tuần hoàn f là số hữu tỉ • Các tín hiệu có tần số ω cách nhau một bội 2π là đồng nhất nhau • Hệ số dao động cao nhất của x(n) khi: ω=π (hay ω=–π), tức f = 1/2 hay –1/2

9. Tín hiệu rời rạc thời gian

10. . . Quá trình lấy mẫu • Mô hình quá trình lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu T

11. Hiện tượng chồng lấn phổ • Khi xem xét phổ (mang tính chất lặp lại) của tín hiệu đã được lấy mẫu, không thể xác định được tần số của tín hiệu ban đầu. Nó có thể là thành phần nào đó trong các tần số f’=f+mfs,với m=0, ±1, ±2,… • Do bất kỳ tần số nào thuộc f’ cũng đều có phổ giống nhau sau khi lấy mẫu. Hiện tượng trùng lắp này được gọi là hiện tượng chồng lấn phổ “aliasing” • Có thể tránh được nếu thoả mãn các điều kiện của định lý lấy mẫu.

12. Aliasing

13. Định lý lấy mẫu Có thể biểu diễn chính xác tín hiệu x(t) bởi các mẫu x(nT), cần phải thoả mãn 2 điều kiện sau: • Phổ của tín hiệu x(t) phải được giới hạn chỉ chứa những thành phần tần số nhỏ hơn một tần số lớn nhất nào đó (fmax) và hoàn toàn không tồn tại tần số nào trên vùng ngoài của fmax.

14. Định lý lấy mẫu (tiếp)

15. Định lý lấy mẫu (tiếp) • Tần số lấy mẫu phải được chọn lớn hơn ít nhất là hai lần fmax, tức là fs ≥ 2fmaxbiểu diễn theo khoảng cách thời gian lấy mẫu: • fs=2fmax được gọi là tốc độ Nyquist. • Đại lượng fs/2 được gọi là tần số Nyquist hay tần số gấp (folding frequency)

16. y(n) x(n) y(n) Các phép toán cơ bản với tín hiệu (chuỗi) rời rạc • Phép nhân (modulation operation): Modulator • Có những ứng dụng nhân một chuỗi vô hạn với chuỗi hữu hạn hay gọi là cửa sổ hữu hạn • Windowing process

17. y(n) x(n) w(n) A y(n) x(n) Phép cộng và nhân (với giá trị số) • Phép cộng (Addition operation): Adder • Nhân với giá trị số (multiplication operation) Multiplier

18. Phép trễ • Delaying operation • Dịch theo thời gian bằng cách thay thế n bởi n–k : y(n) = x(n–k)  k >0 y(n) là kết quả của làm trễ x(n) đi k mẫu • Trên đồ thị: phép làm trễ chính là DỊCH PHẢI chuỗi tín hiệu đi k mẫu • Unit delay x (n) y(n)

19. Phép lấy trước • Advance operation • Dịch theo thời gian bằng cách thay thế n bởi n+k • y(n) = x(n+k) ∀k >0 • y(n) là kết quả của lấy trước x(n) đi k mẫu • Trên đồ thị: phép lấy trước chính là DỊCH TRÁI chuỗi tín hiệu đi k mẫu • Unit advance x (n) y(n)

20. Phép đảo Time-reversal (folding) Thay thế n bởi –n : y(n) = x(–n) y(n) là kết quả của việc đảo tín hiệu x(n) Trên đồ thị: phép folding chính là ĐẢO đồ thị quanh trục đứng

21. Ví dụ phép toán

22. Ví dụ phép toán

23. y x T Hệ thống Khái niệm hệ thống • Hệ thống đặc trưng toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi tín hiệu vào x thành tín hiệu ra y • Các hệ thống xử lý tín hiệu: • Hệ thống tương tự: Tín hiệu vào và tín hiệu ra là tín hiệu tương tự • Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và tín hiệu ra là tín hiệu rời rạc • Hệ thống số: Tín hiệu vào và tín hiệu ra là tín hiệu số

24. Hệ thống thực tế • Hệ thống • Thiết bị vật lý, thiết bị sinh học, hoặc chương trình thực hiện các phép toán trên tín hiệu nhằm biến đổi tín hiệu, rút trích thông tin, … • Việc thực hiện phép toán còn được gọi là xử lý tín hiệu • Ví dụ • Các bộ lọc tín hiệu • Các bộ trích đặc trưng thông tin trong tín hiệu • Các bộ phát, thu, điều chế, giải điều chế tín hiệu

25. y(n) x(n) T Hệ thống Tuyến tính và bất biến • Hệ thống tuyến tính & phi tuyến • Hệ tuyến tính: T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1(n)]+a2T[x2(n)] • Hệ phi tuyến: không thoả tính chất trên • Hệ thống bất biến & thay đổi theo thời gian • Hệ bất biến theo thời gian: nếu tín hiệu vào dịch đi k đơn vị x(n-k) thì tín hiệu ra cũng dịch đi k đơn vị y(n-k) • Hệ thay đổi theo thời gian: không thoả tính chất trên

26. Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian • Các hệ thống thời gian rời rạc đặc biệt là các hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (Linear Time Invariant systems) gọi tắt là LTI. • Quan hệ giữa ngõ ra và ngõ vào thể hiện qua phép toán chập thời gian rời rạc (discrete time convolution) đáp ứng xung của hệ thống và ngõ vào.

27. Các hệ thống LTI • Các hệ thống LTI có thể được phân chia thành hai loại tùy thuộc vào đáp ứng xung của chúng hữu hạn hay vô hạn. • FIR (Finite Impulse Response) • IIR (Infinite Impulse Response) • Tùy thuộc vào ứng dụng cũng như phần cứng, hoạt động của một bộ lọc số FIR có thể tổ chức thành dạng khối (block) hoặc dạng mẫu-theo-mẫu (sample by sample).

28. Đáp ứng xung • Hệ thống tuyến tính bất biến có thể đặc trưng bằng chuỗi đáp ứng xung h(n), xác định như là đáp ứng của hệ thống đối với xung đơn vị. Đáp ứng xung đơn vị là rời rạc thời gian của hàm tương tự Dirac và được xác định như sau:

29. Tính nhân quả • Giống như tính hiệu tương tự, tín hiệu số cũng được phân loại thành tính hiệu nhân quả, không nhân quả và tính hiệu trung gian. • Một tín hiệu nhân quả (causual) là tín hiệu chỉ tồn tại khi n ≥ 0 và triệt tiêu với các giá trị n ≤ -1. Tín hiệu nhân quả là loại tín hiệu phổ biến nhất bởi vì đó là tín hiệu thường phát ra trong các phòng thí nghiệm hoặc khi mở máy phát nguồn tín hiệu. • Một tín hiệu không nhân quả là tín hiệu chỉ tồn tại khi n ≤ -1 và triệt tiêu khi n ≥ 0. Tín hiệu trung gian là tín hiệu tồnn tại cả trong hai miền thời gian nói trên.

30. Hệ nhân quả Hệ nhân quả khi y(n) tại n = n0 chỉ phụ thuộc vào x(n) khi n  n0 • Hệ nhân quả: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào ở thời điểm quá khứ và hiện tại. Đáp ứng không xảy ra trước tác động. • Hệ không nhân quả: không thoả tính chất trên Ví dụ :Xét tính nhân quả của các hệ sau

31. Hệ nhân quả Một hệ tuyến tính bất biến là nhân quả khi và chỉ khi h(n) = 0 với mọi n < 0. Chứng minh: Xét hệ tuyến tính bất biến , tại n = n0 Nếu hệ nhân quả  y(n0) chỉ phụ thuộc vào các giá trị x(n0), x(n0-1), x(n0-2)… h(-1) = h(-2)..= 0 h(n) = 0, n < 0

32. Hệ nhân quả (tiếp) Tín hiệu nhân quả Đối với hệ thống tuyến tính bất biến có h(n) nhân quả và x(n) nhân quả thì đáp ứng ra của hệ:

33. Tính ổn định Hệ thống ổn định & không ổn định • Hệ thống ổn định: nếu tín hiệu vào bị chặn /x(n)/ < ∞ thì tín hiệu ra cũng bị chặn /y(n)/ < ∞ • Hệ thống không ổn định: không thoả tính chất trên Định lý: Một hệ tuyến tính bất biến là ổn định khi và chỉ khi đáp ứng xung của hệ thoã mãn điều kiện:

34. h(n) Hệ ổn định h(n) Hệ không ổn định Hệ ổn định Ví dụ:

35. Đáp ứng xung của hệ thống Xem xét biểu diễn tín hiệu (chuỗi) theo các xung đơn vị

36. x(n) y(n)=T[x(n)] T (n) h(n)=T[(n)] , suy ra: Với Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến • Đáp ứng xung của hệ thống là đáp ứng khi tín hiệu vào là dãy xung đơn vị, ký hiệu h(n)

37. Các tính chất của tổng chập • Giao hoán: y(n) = x(n)h(n)=h(n)x(n) • Kết hợp: y(n) = x(n) [h1(n)h2(n)] = [x(n)h1(n)]h2(n) • Phân phối: y(n) = x(n)[h1(n) +h2(n)] = x(n)h1(n)+x(n)h2(n)

38. Tính nhân quả và ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến Hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả  h(n)=0: n<0 Ví dụ: Xét tính nhân quả các hệ thống tuyến tính bất biến: a) y(n)=x(n-1)+2x(n-2) b) y(n)=x(n+1)+2x(n)+3x(n-1) Thay x(n)=(n), ta được biểu thức h(n) các hệ: a) h(n)= (n-1)+2(n-2) Doh(n)=0: n<0->hệ nhân quả b) h(n)=(n+1)+ (n)+3(n-1): Do h(-1)=1 -> hệ không nhân quả

39. Hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định  Tính nhân quả và ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống: h(n)=anu(n) • /a/< 1 -> S=1/(1-/a/) : hệ ổn định • /a/ 1 ->S=∞: hệ không ổn định

40. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Phương trình sai phân tuyến tính Với: N – gọi là bậc của phương trình sai phân: N,M>0 ak(n), br(n) – các hệ số của phương trình sai phân Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Với: ak , br – không phụ thuộc vào biến số n

41. Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng • Để giải phương trình sai phân cần phải có các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), …. , đó chính là các trạng thái khởi tạo của hệ xử lý số trước khi có tác động. Hệ xử lý số có phương trình sai phân bậc N thì cần N điều kiện ban đầu. • Có hai phương pháp giải phương trình sai phân để xác định đáp ứng ra y(n), đáp ứng xung h(n): • Phương pháp thế • Phương pháp tìm nghiệm tổng quát: giải phương trình tìm nghiệm thuần nhất, nghiệm riêng rồi xác định nghiệm tổng quát.

42. Phương pháp thế • Phương pháp thế giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng được thực hiện bằng cách thế lần lượt các giá trị của x(n) vào phương trình sai phân để lần lượt tìm được các giá trị của phản ứng y(0), y(1), y(2), …. . • Chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp thế giải phương trình sai phân qua một vài ví dụ.

43. Phương pháp tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân • Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sẽ bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất yo(n) và nghiệm riêng của phương trình yp(n): y(n) = yo(n) + yp(n)

44. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng yo(n): nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất: Giả thiết n là nghiệm, phương trình đặc trưng có dạng: Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn 1, 2,…N Phương trình đặc trưng có nghiệm 1 bội r

45. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng • Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn 1, 2,…N • Phương trình đặc trưng có nghiệm 1 bội r

46. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng Nghiệm riêng của PTSP: yp(n) • Thường chọn yp(n) có dạng giống với x(n) Xem ví dụ tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính

49. Hệ thống không đệ quy • Hệ thống không đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N=0 • Hệ thống không đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ dài hữu hạn – FIR (Finite Impulse Response) • Hệ thống không đệ qui luôn luôn ổn định do:

50. Hệ thống đệ quy • Hệ thống đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N>0 • Hệ thống đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ dài vô hạn – IIR (Infinite Impulse Response) • Hệ thống đệ qui có thể ổn định hoặc không ổn định