Equations en nombres entiers

1. Equations en nombres entiers Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée Lakanal (Sceaux), 4 mai 2006 Dans le cadre des « Promenades Mathématiques »

2. Plan • Une histoire d'allumettes. • Un jeu de construction. • Le théorème de Fermat. • La conjecture de Catalan. • Les nombres 1111…111. Merci à Emmanuel Peyre !

3. Plan • Une histoire d'allumettes. • Un jeu de construction. • Le théorème de Fermat. • La conjecture de Catalan. • Les nombres 1111…111. Merci à Emmanuel Peyre !

4. Allumettes On joue avec des allumettes…

5. Allumettes Un rectangle, c’est facile !

6. Allumettes Un triangle rectangle, c’est plus dur

7. Allumettes Un triangle rectangle, c’est plus dur 5 4 3

8. Allumettes Ça ne marche pas toujours ! 6 4 5

9. Allumettes C’est un problème de maths ! z allumettes x allumettes y allumettes

10. z allumettes x allumettes y allumettes Allumettes Théorème de Pythagore x2 + y2 = z2

11. Allumettes Traduction du problème Trouver des entiers x, y et z tels que x2 + y2 = z2 (avec x, y, z ≥ 1)

12. Allumettes Solution du problème (1) Théorème : Il existe une infinité d’entiers x,y,z tels que x2 + y2 = z2. Exemples : 32 + 42 = 52 52 + 122 = 132

13. Allumettes Solution du problème (2) Théorème : On a x2 + y2 = z2 si, et seulement si : x = 2mn x = m2 - n2 y = m2 - n2 ouy = 2mn z = m2 + n2 z = m2 + n2 avec m > n ≥ 1.

14. Plan • Une histoire d'allumettes. • Un jeu de construction. • Le théorème de Fermat. • La conjecture de Catalan. • Les nombres 1111…111.

15. Construction Un jeu de construction Léa et Léo jouent avec des petits cubes, comme celui-ci : Ils assemblent leurs petits cubes pour faire des gros cubes.

16. Construction Chacun le fait de son côté… Léa Léo

17. Construction avec ses propres petits cubes. Léa Léo 4  4  4 = 64 petits cubes 2  2  2 = 8 petits cubes

18. Construction Puis ils les mettent en commun ! Ensemble, ils ont 8 + 64 = 72 petits cubes…

19. Construction Puis ils les mettent en commun ! Ensemble, ils ont 8 + 64 = 72 petits cubes… Ils ne peuvent pas faire un gros cube ! Car : • Gros cube de côté 4 : 64 petits cubes donc il en reste ! • Gros cube de côté 5 : 125 petits cubes donc il en manque !

20. Construction Peuvent-ils parfois réussir ? Léa a x3 petits cubes : il en fait un gros cube de côté x. Léo a y3 petits cubes : il en fait un gros cube de côté y. A eux deux ils ont x3+y3 petits cubes…

21. Construction Peuvent-ils parfois réussir ? Léa a x3 petits cubes : il en fait un gros cube de côté x. Léo a y3 petits cubes : il en fait un gros cube de côté y. A eux deux ils ont x3+y3 petits cubes : est-ce que ça peut faire z3 ? On veut : x3 + y3 = z3

22. Construction Non, jamais ! • Théorème : Il n’existe pas d’entiers x,y,z≥ 1 tels que x3 + y3 = z3 • Démontré par Euler (1707 - 1783). • Donc Léa et Léo ne pourront jamais réunir leurs cubes pour en faire un gros !

23. Plan • Une histoire d'allumettes. • Un jeu de construction. • Le théorème de Fermat. • La conjecture de Catalan. • Les nombres 1111…111.

24. Fermat Résumé Allumettes : x2 + y2 = z2 Construction : x3 + y3 = z3 Généralisation : xn + yn = zn avec un entier n≥ 2.

25. Fermat Théorème de Fermat Théorème : Si n≥ 3, il n’existe pas d’entiers x,y,z≥ 1 tels que xn + yn = zn Conjecturé par Fermat vers 1636… … démontré par Wiles en 1994 !

26. Fermat Enoncé par Fermat (1636) Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.

27. Fermat Rappels de 1ère … Pour un polynôme de degré 2 : a X2 + b X+ c avec a=1 Racines : (-b-√∆)/2 et (-b+√∆)/2. Distance entre les racines : √∆. Donc le discriminant est le carré de la distance entre les deux racines.

28. Fermat Stratégie de preuve (1) Si xn + yn = zn, on considère le polynôme B (B - xn) (B + yn) Racines : 0, xn et -yn. Distances entre les racines :xn, yn et xn + yn = zn. Discriminant : ∆ = (xyz)2n (c’est le carré du produit des distances entre les racines)

29. Fermat Stratégie de preuve (2) Ce polynôme incite àétudier l’équation A2 = B (B - xn) (B + yn) qui est celle d’une « courbe elliptique » dont le discriminant ∆ est une puissance 2n-ième…

30. Fermat Stratégie de preuve (3) Cette courbe elliptique est tellement particulière qu’elle ne peut pas être modulaire (si n≥ 3). Synthèse : Si xn + yn = znavec n≥ 3 alors on a construit une courbe elliptique qui n’est pas modulaire.

31. Fermat Stratégie de preuve (4) Conjecture (Taniyama - Weil) : Une telle courbe elliptique non modulaire ne peut pas exister. Wiles a démontré cette conjecture, donc le théorème de Fermat.

32. Fermat Et après Fermat ? Théorème : L’équation xn + yn = 2zn avec n≥ 3 n’a que des solutions triviales x,y,z ≥ 1. Solutions triviales : telles que x = y = z. Démontré par Darmon et Merel (1997).

33. Plan • Une histoire d'allumettes. • Un jeu de construction. • Le théorème de Fermat. • La conjecture de Catalan. • Les nombres 1111…111.

34. Catalan Puissances pures • Carrés : 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 =16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, … • Cubes : 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 =64, 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, … • Puissances quatrièmes : 14 = 1, 24 = 16, … • Puissances cinquièmes : 15 = 1, 25 = 32, … • etc.

35. Catalan Dans l’ordre croissant • 4 8 9 16 25 27 32 36 49 64 … On voit que 8 et 9 sont consécutifs. Est-ce que ce sont les seules puissances pures consécutives ?

36. Catalan Conjecture de Catalan • Théorème : Les seules puissances pures consécutives sont 8 et 9. • Conjecturé par Catalan en 1844. • Démontré par Mihailescu en 2002.

37. Catalan Autre formulation • Conjecture de Catalan : L’équation xa = yb + 1 admet une seule solution x,a,y,b avec a,b ≥ 2 : (x,a,y,b) = (3,2,2,3). • Tijdeman, 1976 : les solutions sont en nombre fini.

38. Plan • Une histoire d'allumettes. • Un jeu de construction. • Le théorème de Fermat. • La conjecture de Catalan. • Les nombres 1111…111.

39. 111…11 Nombres formés de 1 • 11 n’est pas une puissance pure. • 111 n’est pas une puissance pure car : 102 = 100 < 111 < 121 = 112 43 = 64 < 111 < 125 = 53 34 = 81 < 111 < 256 = 44 25 = 32 < 111 < 243 = 35

40. 111…11 Nombres formés de 1 • 1111 n’est pas une puissance pure car : 332 = 1089 < 1111 < 1156 = 342 103 = 1000 < 1111 < 1331 = 113 54 = 625 < 1111 < 1296 = 64 45 = 1024 < 1111 < 3125 = 55 36 = 729 < 1111 < 4096 = 46 27 = 128 < 1111 < 2187 = 37

41. 111…11 De même… • 11111 n’est pas une puissance pure. • 111111 n’est pas une puissance pure. • 1111111 n’est pas une puissance pure. • etc. Un nombre formé de 1 peut-il être une puissance pure ?

42. 111…11 • Théorème : Un nombre formé de n fois le chiffre 1 ne peut jamais être une puissance pure (si n ≥ 2). • Démontré par Bugeaud et Mignotte (1999).

43. 111…11 Comment généraliser ? • 11111 = 99999 / 9 • 99999 = 100000 - 1 = 105 - 1 • 111….111 = • Puissance pure : yq avec q ≥ 2. 10n - 1 10 - 1 n chiffres

44. 10n - 1 10 - 1 111…11 Théorème de Bugeaud-Mignotte Théorème : L’équation = yq n’a aucune solution n,y,q ≥ 2.

45. 111…11 Généralisation Conjecture : L’équation = yq admet exactement trois solutions (x,n,y,q) avec x,y,q ≥ 2 et n ≥ 3. xn - 1 x - 1

46. = 202 = 112 74 - 1 35 - 1 7 - 1 3 - 1 111…11 Les trois solutions 35 = 243 74 = 2401 183 - 1 = 73 183 = 5832 et 73 = 343 18 - 1

47. 111…11 On en est loin… On ne sait pas démontrer que l’équation = yq n’admet qu’un nombre fini de solutions avec x,y,q ≥ 2 et n ≥ 3. Seuls certains cas particuliers sont connus. xn - 1 x - 1

48. Méthodes de démonstration • Théorie algébrique des nombres : Cas particuliers de Fermat ; Mihailescu. • Modularité des courbes elliptiques : Wiles ; Merel-Darmon. • Formes linéaires de logarithmes : Tijdeman ; Bugeaud-Mignotte. • Et il y en a d’autres !

49. Merci pour votre attention ! Sur le même thème : exposé d’Eva Bayer à la BNF, le 10 mai à 18h30 Hermann Minkowski, grand prix de l'Académie des sciences à 18 ans

50. Plan projectif éclaté en 3 points