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Les nombres non entiers

Les nombres non entiers. L’invention du continu. Plan du cours. Quelques représentations et difficultés… L’invention de nouveaux nombres – quels usages en fait-on ? Caractérisation mathématique des nombres non entiers Analyse d’erreurs d’élèves Démarches d’enseignement.

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Les nombres non entiers

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Presentation Transcript

  1. Les nombres non entiers L’invention du continu

  2. Plan du cours • Quelques représentations et difficultés… • L’invention de nouveaux nombres – quels usages en fait-on ? • Caractérisation mathématique des nombres non entiers • Analyse d’erreurs d’élèves • Démarches d’enseignement

  3. 1- Quelques représentations • 2,5 est un décimal • 5/2 est une fraction • 3 n’est pas décimal, c’est un entier • Un décimal, c’est un nombre avec une virgule • Une fraction c’est deux nombres avec un trait entre les deux • Pi est un nombre infini • La partie décimale de 2,364 est 364

  4. Erreurs d’élèves… • 2,4 + 3,6 = 5,10 • 2,6 x 4 = 8, 24 • Entre 1,5 et 1,6 il n’y a pas de nombres • 1,5 < 1,16 • Le chiffre des centièmes de 2,145 est 1 • 1,9 = 1/9 = un neuvième • 2,9 x 10 = 20,9 • 2,9 x 100 = 20,90

  5. Taux de réussite - EVA6eme06 80% - 77 % - 77%

  6. Taux de réussite - EVA6eme06 50%

  7. Taux de réussite - EVA6eme06 34% - 20% - 22%

  8. Taux de réussite - EVA6eme06 • 90% - 30%

  9. Taux de réussite - EVA6eme06 • 26%

  10. 2- l’invention de nouveaux nombres- approche historique Quels problèmes ? • Problèmes de mesures • Problèmes de partage (division) • Rapport de proportions

  11. Problèmes de mesure : u Entre 2 et 3 u

  12. Problème de partage 5 : 4 = ? Soit 1 + un quart Soit 5 quarts 4 x …. = 5

  13. Rapport de proportion • Si 3 pommes coûtent 500 francs, combien coûtent 6 pommes ? • 15 filles sur 24 élèves • 3 est à 5 ce que 60 est à 100

  14. Raccourci historique • Les babyloniens : fractions de 60 • Les égyptiens : fractions unitaires de puissances de 2 • Les grecs : les proportions • Les fractions décimales • L’invention de la virgule - Simon STEVIN - La disme 1585 • Le système décimal - les décimaux

  15. Une idée géniale… • Le prolongement du tableau de numération. 3,29 = 3 + 2/10 + 9/100

  16. 3- Caractérisations mathématiques des nombres non entiers. • L’ensemble Q des rationnels. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un rapport de deux entiers. Exemples : 1/3; 2=2/1; 0,1=1/10… Il faudrait distinguer fraction et rationnel…

  17. Les décimaux • Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur) Exemples : 2 = 20/10 ; 0,25 = 25/100… 1/3 n’est pas décimal, 12/15 l’est.

  18. Autre caractérisation • Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture fractionnaire irréductible est de la forme N/2a5b. Exemples : 14/5 ; 18/25; 13/40.

  19. Nombres à virgule • Un nombre décimal possède une écriture à virgule dont la partie décimale a un nombre fini de chiffres • Un nombre rationnel non décimal possède une écriture à virgule illimitée, avec une période dans la partie décimale. Attention : nombre à virgule ne veut pas dire nombre décimal !

  20. Existe-t-il d’autres nombres ? • Quand on a rajouté tous les rationnels sur la droite numérique y a-t-il de la place pour d’autres nombres ? • Réponse : oui… Représentation par les coupures.

  21. Les irrationnels, des nombres fantômes… • Impossibles à écrire, à « voir », ils existent pourtant… • Caractérisation : • Ils ne s’écrivent pas sous la forme a/b • Leur écriture à virgule est illimitée et non périodique…

  22. Avantages, inconvénients de l’agrandissement de l’ensemble des nombres. • Toute division a un résultat • On peut tout mesurer • On peut prolonger les opérations… • On perd l’idée d’ordre « naturel »… • L’infiniment petit est difficile à imaginer…

  23. Erreurs d’élèves - explicationsremédiations • Un décimal est un couple de nombres entiers séparés par une virgule… • La virgule « flotte » (on peut l’enlever)

  24. Démarches d’enseignement • Introduction par la mesure. à éviter ! Obstacle didactique… • Introduction par les problèmes de fractionnement Démarche type : pour comprendre les maths.

  25. Exercices d’application directe. • Quelle est la nature du nombre 0,1234567891011121314… ? • Quelle est la nature du nombre 0,121212… • Quelle est la nature des nombres 17/12, 12/60 ? • Complétez le nombre 3_5_/45 pour qu’il soit décimal • Rangez dans l’ordre : 2/3 - 8/11 - 1/2 - 0,66 - 0,7

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