MECHANIKA I.

1. MECHANIKA I. Agárdy Gyula-dr. Lublóy László 2005.

2. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐK FOGALMA, TULAJDONSÁGAI, HELYETTESÍTÉSI ÉS EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK (2-3-4. HÉT)

3. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Az ERŐ a testek egymásra hatásának mértéke. az egymásra hatás lehet • alakváltoztató hatás • méretváltoztató hatás • mozgásállapotváltoztató hatás Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: Következő dia:AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

4. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Az ERŐ jellemzői: • nagyság • hatásvonal • irány • támadáspont Mindezek alapján az ERŐ helyhez kötött vektormennyiségkéntkezelhető. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Következő dia:AZ ERŐ MEGADÁSA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

5. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ MEGADÁSA Számítás esetén: • az erővektor 2 (térben 3) összetevője • a hatásvonal egy pontjának két (térben 3) koordinátája Szerkesztés esetén (csak síkban): • az erővektor nagysága és állásszöge • a hatásvonal egyenesének egy pontja Az adatok egyértelműségéhez rögzített koordinátarendszer, ill. viszonyítási egyenes és szögforgásirány szükséges. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Következő dia:A KOORDINÁTA-RENDSZER Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

6. Z Y X MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A KOORDINÁTARENDSZER a MECHANIKÁban alkalmazott koordinátarendszer Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ MEGADÁSA Következő dia:AZ ERŐ JELÖLÉSE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK az X-Y-Z koordinátatengelyeket úgy vesszük fel, hogy az egyik tengely pozitív ága felől nézve a második tengelyt a harmadik tengely állásába az óra járásával megegyező, pozitív derékszögű elfordítás vigye át az ilyen tulajdonságú koordinátarendszert ???? sodrásúnak nevezzük

7. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ JELÖLÉSE X irányú vetület Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:A KOORDINÁTA-RENDSZER Következő dia:AZ ERŐK EGYEN-ÉRTÉKŰSÉGE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK i FX X j X irányú összetevő FX aF Y irányú vetület vektor Y irányú összetevő F FY FY hatásvonal Y FY=FY×j FX=FX×i

8. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐK EGYENÉRTÉKŰSÉGE két, azonos hatást kifejtő erőcsoport EGYENÉRTÉKŰ (F1,F2,..Fi,..Fn)=(A,B,..V,W,Z) (F1,F2,..Fi,..Fn)=R (F1,F2,..Fi,..Fn)=(A,MA) (F1,F2,..Fi,..Fn)=(A,B,C) Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ JELÖLÉSE Következő dia:AZ ERŐ HATÁSAI Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

9. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ HATÁSAI • közös metszéspontú erők: eltoló hatás • általános állású erők: eltoló ÉS elforgató hatás Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐK EGYEN-ÉRTÉKŰSÉGE Következő dia:AZ ERŐ NYOMATÉKA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

10. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ NYOMATÉKA az F erő P pont körüli elforgató hatását az F erő P pontra vonat-kozó (forgató)nyomatékának nevezzük Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ HATÁSAI Következő dia:AZ ERŐ NYOMATÉKA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK X kF(P) MF(P)=-|F|×kF(P) P aF T F Y

11. XT X XP YP P kF(P) YT T FX aF F FY Y MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ NYOMATÉKA az F erő P pontra vonatkozó nyo-matékát összetevői nyomaték-összegeként is számíthatjuk Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ NYOMATÉKA Következő dia:A STATIKA 1. AXIÓMÁJA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK MF(P)=-|F|×kF(P) MF(P)=-FX×(YT-YP)+FY×(XT-XP)

12. (F1,F2)=0 (F1,F2)=0 (F1,F2)=0 F1 F1 F2 F2 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 1. AXIÓMÁJA KÉT ERŐ AKKOR ÉS CSAK AKKOR VAN EGYENSÚLYBAN, HA HATÁSVONALUK KÖZÖS, VEKTORUK ELLENTETT Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ NYOMATÉKA Következő dia:A STATIKA 2. AXIÓMÁJA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK F1 F2

13. (F1,F2,F2)=0 F3 F2 F1 F1 F3 F2 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 2. AXIÓMÁJA HÁROM ERŐ AKKOR ÉS CSAK AKKOR VAN EGYENSÚLYBAN, HA HATÁSVONALAIK KÖZÖS METSZÉSPONTÚAK, VEKTO-RAIKBÓL PEDIG ZÁRT, NYÍL-FOLYTONOS VEKTORHÁROM-SZÖG KÉPEZHETŐ Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:A STATIKA 1. AXIÓMÁJA Következő dia:A STATIKA 3. AXIÓMÁJA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

14. (F)=R (Q)=0 [(F),(Q)]=R [(F),(Q)]=R (Q)=0 (F)=R MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 3. AXIÓMÁJA EGY ERŐRENDSZER HATÁ-SA NEM VÁLTOZIK, HA ÖN-MAGÁBAN EGYENSÚLYBAN LÉVŐ ERŐCSOPORTOT ADUNK HOZZÁ, VAGY VESZÜNK EL BELŐLE. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:A STATIKA 2. AXIÓMÁJA Következő dia:A STATIKA 4. AXIÓMÁJA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

15. 1 2 2 F21 F12 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK A STATIKA 4. AXIÓMÁJA KÉT TEST EGYMÁSRA HATÁSAKOR A KÉT TEST ÁLTAL EGYMÁSRA KIFEJTETT ERŐ EGYMÁS ELLENTETTJE LESZ Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:A STATIKA 3. AXIÓMÁJA Következő dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK 1 F21 F12

16. R=F1+F2 MR(R)=0=-F1×kF1(R)+F2×kF2(R) F1 kF1(R) = F2 kF2(R) MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|<|F2| a két erő nyomatékösszege az eredő hatásvonalára zérus Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:A STATIKA 4. AXIÓMÁJA Következő dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK F1×kF1(R)=F2×kF2(R) kF1(R) kF2(R) F1 R F2 az erőknek az eredőtől mért távolsága erőnagyságokkal fordított arányban áll

17. F1 kF1(R) = F2 kF2(R) MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|<|F2| a két erő nyomatékösszege az eredő hatásvonalára zérus Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R=F1-F2 MR(R)=0=-F1×kF1(R)+F2×kF2(R) F1×kF1(R)=F2×kF2(R) kF2(R) kF1(R) F2 R F1 az erőknek az eredőtől mért távolsága erőnagyságokkal fordított arányban áll

18. (F1,F2)=R kF2(P) P k SMF1,F2(P)=+F1×(k+kF2(P))-F2×kF2(P) SMF1,F2(P)=+F1×k+F1×kF2(P)-F2×kF2(P) |F1|=|F2|=FF1×kF2(P)-F2×kF2(P)=0 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F1|=|F2| eredő erő a vetületazonosság miatt nem lehet, a nyomaték viszont minden pontra azonos Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK R=F1-F2=0 SMF1,F2(P)=+F×k

19. (S,S’)=0 S’ F1 a harmadik axióma szerint: S S (S,F1,F2,S’)=R F1 R1 (S,F1)=R1 F2 R (F2,S’)=R2 R2 F2 (R1,R2)=R MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE (szerkesztés) a vektorokat a hatásvonalakra rajzolva, S és S’ segéderőkkel Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia:ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

20. (F,M)=R F=R MF(R)+M=MR(R)=0 MF(R)=-F×kF(R)=M kF(R)=M/F egy erőhöz erőpárt adva az erő úgy tolódik el párhuzamosan, hogy a nyomatéknövekmény az erőpár hatását pótolja kF(R) M F R MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE az erőpárnak nincs erővetülete Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia:ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

21. (F,M)=R M=(S,S*) az S segéderőt az Fhatásvonalán, vele ellentett vektorral vesszük fel. kF(R) F (F,S,S*)=R M (F,S)=0 R S* (az 1. axióma szerint) S S*=R MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE az erőpárt két erővel helyettesítve Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Következő dia:AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

22. kF(R) A F=(A,MA) A M A=F F MA=(F×kF(A) MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Ha egy F erőt egy A pontba akarunk áthe-lyezni, akkor az erő forgató hatását külön erőpárral kell pótolnunk. Ezt a műveletet az erő pontra redukálásának nevezzük. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Következő dia:HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

23. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Egy (merev) testre az erőkeltoló és elfordító, az erőpárok csak elfordító hatást fejtenek ki. Ennek alapján • a csak erőpárokból álló erőrendszer eredőjecsak erőpár lehet • a hatásvonalaikkalegyetlen pontra illeszkedő erők esetében az eredő erő hatásvonala is erre a pontra illeszkedik • az eltoló hatásaikban (azonos irányú vetületeikben) zérust adó erőrendszerek eredőjének az eltoló hatás irányában álló tengelyre vett vetülete zérus • a mind eltoló hatásaikban,mind pedig elfordító hatásaikbanzérust adó erőrendszer eredője zéruserő, azaz az erőrendszer egyensúlyban van. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Következő dia:EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

24. R kF3P kF5P X P kF1P kRP kF2P kF4P F2 F4 F3 F1 F5 Y MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK EREDŐMEGHATÁROZÁS az eredő vetületeit az erők vetület-összegei adják Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Következő dia:EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK az eredő helyét a nyomatékokazonossága alapján kapjuk

25. R F2 F3 F4 F5 F1 F5X F1X F3X O X RX F3Y F1Y XF1 RY XF2 XF3 F5Y XF4 XF5 XR Y MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK EREDŐMEGHATÁROZÁS a hatásvonalak X tengelymetszékeinek felhasználá-sával a nyomatéki egyenlet egyszerűbben írható fel Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Következő dia:KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

26. (S,S’)=0 (S,F1,F2,F3,F4,F5,S’)=R (F1,F2,F3,F4,F5)=R + A HATÁSVONALAK ÁBRÁJA A VEKTOROK ÁBRÁJA S5=(S0,F1,F2,F3,F4,F5)(S5,S’0)=R S1=(S0,F1) S2=(S1,F2) F1 S3=(S2,F3) R R S0 F2 F4 F1 F3 F5 S4=(S3,F4) S5=(S4,F5) S1 F2 S4 S1 S2 S5 S2 S3 S0 S3 kötéloldalak F3 W PÓLUS S4 F4 vektoridom-sugarak S’0 S5 F5 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS az eredő helye kötélsokszögszerkesztéssel is előállítható Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:EREDŐ-MEGHATÁROZÁS Következő dia:KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

27. (S,S’)=0 (S,F3,F1,F5,F2,F4,S’)=R (F3,F1,F5,F2,F4)=R+ F3 F5 F1 F4 F2 W PÓLUS vektoridom-sugarak S2 S5 S4 S1 S1=(S0,F3) S0 S2=(S1,F1) S3 R S3=(S2,F5) kötéloldalak S4=(S3,F2) A VEKTOROK ÁBRÁJA A HATÁSVONALAK ÁBRÁJA S5=(S4,F4) S5=(S0,F1,F2,F3,F4,F5)(S5,S’0)=R F3 S0 R F1 S1 S2 F5 S3 S4 F2 S5 F4 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS a szerkesztésben az erők sorrendje (konzekvensen) felcserélhető Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Következő dia:AZ EREDŐ ESETEI Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

28. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ EREDŐ ESETEI Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:KÖTÉLSOKSZÖGSZERKESZTÉS Következő dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

29. BY A F1X F5X F3X b BX X AX AY aB B F3Y F1Y F5Y F2 F4 F3 F1 F5 Y XA XF1 XF2 XF3 XF4 XF5 XB MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) AX, AY és B számítá-sához a három statikai egyenlet elegendő Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:AZ EREDŐ ESETEI Következő dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK F2 F4

30. BY A F1X F5X F3X b BX X AX AY aB B F3Y F1Y F5Y F2 F4 F3 F1 F5 Y XA XF1 XF2 XF3 XF4 XF5 XB MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) az egyenletből a B erő nagysága és irányítása közvetlenül számítható Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK a vetületi egyenletekben az A erőnek csak egy-egy összetevője szerepel F2 F4

31. Száró A S5 S0 b S1 S4 S3 F2 F4 F3 F1 F5 S2 A S0 S1 S2 W PÓLUS Száró S3 S4 B S5 F1 F2 F3 F4 F5 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) A kötélsokszögben minden erőhatásvonalon két kötéloldal metsződik. Az A erő hatásvonalának csak egyetlen pontja ismert, ezért a szerkesztést ezen a ponton kell kezdeni. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK A kötélsokszög tulajdonságai alapján meg-határozott záróoldal a vektorábrában kijelöli az A és B vektor közös pontját. (F1,F2,F3,F4,F5,)=(A,B)

32. F1 B S0 S1 F2 S2 Száró S3 F3 W PÓLUS A S4 F4 S5 F5 F2 F4 F3 F1 F5 S4 S3 S2 S1 S0 S5 b A Száró MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) A vektorábrában az A és B erők helyzete is felcserélhető, de a szer-kesztést mindig az A erőhöz csatlakozó kötéloldallal kell kezdeni. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK (F1,F2,F3,F4,F5,)=(B,A)

33. a b c SFiX=RY=AX+BX+CX SFiX=RY=AY+BY+CY SMi(D)=MR(D)=MA(D)+MB(D)+MC(D) R=(A,B,C) X AY A a AX kR(D) kA(D) B BY R b R D kB(D) BX kA(D) c CX Y C CY MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel) A hatásvonalak ismeretében az erők előjeles nagyságának meghatározására a három statikai egyenlet elegendő. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK RX RY

34. SMi(OA)=MR(OA)=MA(OA)+MB(OA)+MC(OA) SMi(OB)=MR(OB)=MA(OB)+MB(OB)+MC(OB) SMi(OC)=MR(OC)=MA(OC)+MB(OC)+MC(OC) R=(A,B,C) 0 0 0 0 0 0 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) A D pontra felírt nyomatéki egyenletben nem szere-pelnek a D ponton átmenő hatásvonalú erők. Ha a pontot két ismeretlen erő hatásvonalának metszés-pontjában vesszük fel, az egyenletben csak a har-madik erő az ismeretlen. Az ismeretlen erők hatás-vonalainak metszéspontját a harmadik erőhöz tarto-zó FŐPONTnak nevezzük. A főpontokra felírható három nyomatéki egyenletből az erőnagyságok közvetlenül számíthatók. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

35. - R×kR(OA)=+A×kA(OA)=MA(OA) +R×kR(OB)= -B×kB(OB)=MB(OB) - R×kR(OC)= -C×kC(OC)=MC(OC) SMi(OA)=MR(OA)= SMi(OB)=MR(OB)= SMi(OC)=MR(OC)= OC kR(OC) kB(OB) a A OB kA(OA) R kC(OC) C B kR(OA) kR(OB) c OA MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) a főponti nyomatéki egyenletek: Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK b a főpont a két másik erő hatásvo-nalának metszéspontja

36. OC kR(OC) a A R=(A,B,C) kA(OA) B kC(OC) SMi(OA) =MR(OA)=MA(OA) +MB(OA) +MC(OA) SFi,tB =RtB =AtB+BtB+CtB SMi(OC) =MR(OC)=MA(OC) +MB(OC) +MC(OC) R kR(OA) OA c b C tB 0 0 0 0 0 0 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Ha két ismeretlen erő párhuzamos, a harmadikhoz nem található főpont, viszont a párhuzamos erőkre merőlegesvetületi egyenletből a harmadik erőközvetlenül számítható. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

37. A B R t C A B R t C MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Ha mindhárom erő párhuzamos, és a helyettesítendő erő is párhu-zamos, akkor a rájuk merőleges tengelyre vett vetületi egyenlet „üres”, a háromismeretlenre csak kétegyenletünk marad, a feladat határozatlan. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK Ha mindhárom erő párhuzamos, de a helyettesítendő erő velük nem párhuzamos, akkor a he-lyettesítő erők a rájuk merőleges erőkomponens helyettesítésére nem képesek, a feladat megoldhatatlan.

38. R=(A,B,C) R=(Q,C) Q=(A,B) a hatásvonal-ábra a vektorábrák C C a R R Q Q q b R B c A MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVELKövetkező dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

39. R=(A,B,C) R=(Q,A) Q=(B,C) R Q A a hatásvonal-ábra a vektorábrák a q b R C B c R Q A MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

40. R=(A,B,C) R=(Q,B) Q=(A,C) MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK a B q R C Q R b c A

41. C a II. q III. B R I. Q zR b z1 z2 II. III. s I. K c R A a geometriai ábra a vektorábra MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer) A CULMANN szerkesztés geometriai és vektorábrájában a hasonlóságkihasználásával is felírható az eredővel (közel) párhuzamos erő nagysága. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK

42. z2 z1 s zR MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer) Ha két ismeretlen erő párhuzamos, a har-madik meghatározása a hasonlósági mód-szerrel (a metszékazonosságok miatt) igen egyszerű. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK B a c b R

43. (F1,F2,F3,F4,F5)=R=A,MA F1 R=A S0 F2 S1 S2 H F3 S3 S4 F4 S5 F5 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL a kötélsokszög segítségével az erőrendszer forgatónyomatéka is számítható Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia:NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK A MA R F2 F4 F3 F1 F5 A S4 kQA S1 S2 S5 S3 S0 W PÓLUS S’0 vRA kRA

44. A2-4 R2-4 MA,2-4 F2 F4 F3 F1 F5 S4 S1 S2 S3 S0 vR2-4A kR2-4A S5 S’0 (F2,F3,F4,)=(A2-4,MA,2-4) F1 R S0 S1 R2-4 F2 S2 S3 F3 H2-4 S4 F4 S5 F5 MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL a hasonló háromszögek rész-erőcsoportok nyomatékmeghatározására is alkalmasak Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Következő dia:LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK A

45. (q)=R XR MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK a vonalmenti megoszló teher eredője a terhelési ábra területével, hatásvonala a terhelési ábra súlyvonalával egyezik meg. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:NYOMATÉK SZERKESZ-TÉSSEL Következő dia:VETÜLETI INTENZITÁSOK Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK Z R q(X) X B A X+DX X

46. ds dRZ qXz dR dZ dRX dR=(dRX,dRZ) a q qZx dX MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK VETÜLETI INTENZITÁSOK merőleges megoszló teher esetén a vetületi intenzitások az eredeti teherintenzitással megegyező értékűek Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK Következő dia:INTENZITÁS-VETÜLETEK Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK dRX=dR×sina dRZ=dR×cosa dR=q×ds a qXz=dRX/dZ=dR×sina/(ds×sina) qZx=dRZ/dX=dR×cosa/(ds×cosa) qXz=dR/ds=q qZx=dR/ds=q

47. qZs×ds=dRZ dZ dR=(dRX,dRZ) qZs a qXs dX MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK INTENZITÁSVETÜLETEK merőleges megoszló teher hatása a ferde hosszon mért intenzitásvetületekkel is meghatározható Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:VETÜLETI INTENZITÁSOK Következő dia:MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK dRX=dR×sina dRZ=dR×cosa dR=q×ds q=dR/ds ds qXs×ds=dRX qXs=dR×sina/ds=q×sina qZs=dR×cosa/ds=q×cosa

48. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER a felületre merőleges megoszló teher (pl. víznyomás) a vetületi intenzitások összefüggése alapján komponenseivel vehető figyelembe Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:INTENZITÁS-VETÜLETEK Következő dia:KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK a vízszintes komponens a mélység lineáris függvé-nye, eredője háromszög (trapéz) ábrából számítható a függőleges komponens (is) a mélység lineáris függvénye, eredője a függőleges vetületi hosszak ábrájából számítható h×g×r h×g×r

49. MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÖTÉLGÖRBE A párhuzamos megoszló teher hatására a végtelen hajlékony, súlytalan kötélben ébredő kötélerő grafikus meghatározása a megoszló teherre rajzolt kötélgörbe és vektorábra segítségével lehetséges. Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER Következő dia:KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK Rbal A B K SA Rbal R SA SK SK R a kötélerő vízszintes összetevője minden keresztmetszetben azonos

50. Z Qi=q(Xi)×DX q=q(X) X Zi Zi+1 L Z=Z(X) Qi=H×tg(ai+1)-H×tg(ai)= =-H×Dtg(ai) tg(ai)=(DZ/DX)i tg(ai+1)=(DZ/DX)i+1 ai+1-ai R H ai ai+1 W MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK KÖTÉLGÖRBE egy lamella részeredőjének geometriai összefüggései Első dia:AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia:KÖTÉLGÖRBE Következő dia:KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia:EGYENSÚLYOZÁ-SI FELADATOK