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TEMA 2: FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Función.Definición. Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos. A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto final. Ejercicio. ¿ Cuál de estas dos expresiones es una función?. Dominio.
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Función.Definición • Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos. • A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto final
Ejercicio • ¿ Cuál de estas dos expresiones es una función?
Dominio • El subconjunto de números reales para los cuales existe la función • Ejemplo
RECORRIDO • El conjunto de números reales que toma una variable
Ejercicio • Dominio y recorrido de la función:
Dominios y Recorridos de Funciones
Las Funciones polinómicas : están definidas para todo número real El recorrido de las funciones potencia n-ésima será: • El intervalo [0, ∞) si n es par. • Todo R si n es impar.
Funciones racionales Su dominio es toda la recta real excepto las raíces de Q(x)
Funciones irracionales • Funciones irracionales: • Caso 1: n par Dom ( f ) = • Caso 2: n impar Dom ( f )=
Funciones exponenciales • Funciones exponenciales: El dominio de la función exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0, ∞) . Las funciones exponenciales son continuas en todo R.
Funciones logarítmicas El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. Las funciones logarítmicas son la función inversa de las exponenciales
Funciones a trozos f(x) = • Calcula f (2) = • Calcula f (4) = • Calcula f (-1) =
Funciones trigonométricasseno • Función seno, . Características principales: y = sen (x) -Su dominio es R . -Su recorrido es el intervalo [-1,1]
Función coseno • Función coseno, . Características principales: y =cos (x) • -Su dominio es R • -Su recorrido es el intervalo [-1,1]
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN • Son los pares de elementos que se pueden representar gráficamente en un plano cartesiano. • Para representar gráficamente una función : • Damos valores • Estudiamos el comportamiento de la función.
Ejercicio • Aproximar a la gráfica de la función construyendo una tabla de valores ( dando valores)
Características de las gráficas de funciones • Función creciente y decreciente • Función cóncava y convexa • Función acotada
Funciones crecientes y decrecientes • Una función es creciente en un intervalo si para un par de números a y b del intervalo a<b →f(a) < f(b) • Una función es decreciente en un intervalo si para un par de números a y b del intervalo a<b →f(a) > f(b)
Funciones convéxas y cóncavas • Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. • Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.
Funciones acotadas • Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior Ejercicio: ¿ cuál es la cota superior de la siguiente función?
Funciones acotadas • Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. • El número k′ se llama cota inferior. • Ejercicio: ¿ cuál es la cota inferior de la siguiente función?
Ejercicio • ¿ Está la función f(x) = sen x acotada? • ¿ cota inferior? • ¿ cota superior?
Operaciones entre funciones • (f+g) (x) = f(x)+g(x) • (f-g) (x)= f(x)-g(x) • (f.g) (x)= f(x).g(x) • (f/g)x= f(x)/g(x) • producto por un escalar : (a f)(x)=a f(x)
Composición de funciones • Consiste en la aplicación reiterada de dos o mas funciones. • Por ejemplo:Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Ejemplo: f (x) =2x y g(x) =3x+1 (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
Propiedades • Asociativa: • f o (g o h) = (f o g) o h • No es conmutativa. • f o g ≠ g o f
Función inversa Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1 (b) = a. También , dada una función f decimos que g es inversa si: (g o f) (x) = (f o g) (x) • El dominio de f−1 es el recorrido de f. • El recorrido de f−1 es el dominio de f. • Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Calculo de la función inversa • Se escribe la ecuación de la función con x e y. • Se despeja la variable x en función de la variable y. • Se intercambian las variables.
