FUNCIONES DE VARIABLE REAL

1. FUNCIONES DE VARIABLE REAL

2. Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real. • f : D      R •    x        f(x) = y • El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. • Se designa por D. • El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente. • Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. • La imagen de x se designa por f(x). Luego • y= f(x) • Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

3. A A B A B f ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Es una función No es una función A B f ● ● ● ● ● ● ● Es una función

4. Dominio y Conjunto imagen o recorrido • El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. • D = {x / f (x)} • El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes. • R = {f (x) / x D} • Estudio del dominio de una función • Dominio de la función polinómica entera • El dominio es R, cualquier número real tiene imagen. • f(x)= x2 - 5x + 6             D=R • Dominio de la función racional • El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

5. Dominio de la función irracional de índice impar • El dominio es R. • Dominio de la función irrracional de índice par • El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

6. Composición de funciones Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones: (f o g)(x) = f [ g (x) ] (g o f)(x) = g [ f (x) ] Ejemplo_1 Sea f(x) = 1 / x , g(x) = x2 - 1 (f o g)(x) = (g o f)(x) = Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

7. Ejercicio 2 Halla g(f(x)) , si f(x) = 2x ; g(x) = 3x +1

8. INVERSA DE UNA FUNCIÓN Sea f(x) una función real de variable real tal que f(x) <>0. Llamamos función RECÍPROCA y la denotamos así: (1/f)(x) = 1 / f(x) Para Vx є [f(x) <>0] IMPORTANTE: No confundir la inversa de una función (1/f)(x) con la función inversa o recíproca f -1(x)

9. Cálculo de la función inversa 1Se escribe la ecuación de la función con x e y. 2Se despeja la variable x en función de la variable y. 3Se intercambian las variables. Calcular la función inversa de:

11. Función Constante: Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo. El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X.

12. Función Lineal: Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR • Propiedades • El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta. • El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b. • Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente. • El dominio y el recorrido de una función lineal es IR. • La función lineal y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:

13. Recordatorio • Función Lineal:

14. FUNCIÓN LINEAL Ecuación de la Recta.

15. y B ● A ● . x PENDIENTE DE UNA RECTA

16. Halla la función y grafica si: Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).

17. Halla la función y grafica si: Tiene por pendiente -1 y pasa por el punto (-2, 1).

18. Recordatorio Función Cuadrática: Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: • Propiedades • El gráfico de una función cuadrática es una parábola. • La gráfica de intercepta al eje Y en (0,c) • El vértice está definido por el punto • Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo

19. Recordatorio • Función Cuadrática:

20. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY : (0,c) Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

21. 1) y = −3(x − 2)² − 5 Halla el vértice ,la ecuación del eje de simetría y su grafica de las siguientes parábolas:

22. 2)y = x² − 7x −18

23. Función Valor Absoluto: La función valor absoluto, básica, se define: y = f (x) = | x | • Propiedades • Su dominio es IR, y su recorrido es IR+ U{0}. • La función f (x) =| x | es una función par.

24. REPRESENTAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES 2) f(x) = |x −+4| 1) f(x) = |x − 2|

25. Funciones definidas por tramos: En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir una función. Se dice que estas funciones son funciones definidas por tramos. El dominio de la función del ejemplo a) es IR; y en el ejemplo b) es ] − ∞, 3] U ]5,+∞[

26. REPRESENTAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES A TROZOS

28. Conceptos y y x x

29. 1) Las funciones de demanda y oferta de un determinado bien son respectivamente: y Determine: a) El precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio b) A qué precio el bien no tiene demanda c) A qué precio no hay oferta. a ) El punto de equilibrio es la solución del sistema de ecuaciones: De donde .Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene

30. b) A qué precio el bien no tiene demanda c) A qué precio no hay oferta