7. Přednáška – BBFY1+BIFY1 Tuhé těleso

1. FYZIKA I. 7. Přednáška – BBFY1+BIFY1Tuhé těleso Jacob Steiner (1796-1863)

2. BFY1 Tuhé těleso • je fyzikální model (jako izolovaná částice, ideální plyn, dokonale hladká podložka…) Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění. • TT může vykonávat pohyby: • Posuvný (translace) - všechny body TT mají v libovolném čase stejnou okamžitou rychlost. • Rotační – u bodové částice nemělo smysl rotaci uvažovat, všechny body TT mají v libovolném čase stejnou úhlovou rychlost. Kinetická energie TT je součtem příspěvků od obou typů pohybů.

3. BFY1 Moment setrvačnosti částice v2>v1 Těleso rotující kolem osy otáčení má kinetickou energii, ale jeho jednotlivé body mají odlišné rychlosti. Jednotlivé body tělesa rotujícího kolem osy se ale pohybují stejnými úhlovými rychlostmi. osa otáčení Pro jednu i-tou částici dosazením za vi=riwi dostaneme: Zavedeme MOMENT SETRVAČNOSTI i-té částice (někde se značí J) Kinetická energie i-té částice

4. BFY1 Moment setrvačnosti tělesa • Celková kinetická energie Ek tělesa je určena součtem kinetických energií Ekivšechčástic tělesa. I - moment setrvačnosti tělesa Celková kinetická energie rotačního pohybu: Celková kinetická energie tělesa při započítání translačního (posuvného) a rotačního pohybu:

5. BFY1 Moment setrvačnosti v praxi Platí: • Moment setrvačnosti popisuje rozložení hmoty v tělese. Dosadíme za moment setrvačnosti i-té částice Pokud je hmota rozložená spojitě, můžeme sumu nahradit integrálem. Vzorce pro momenty setrvačnosti těles mají tvar: m - hmotnost tělesa r - vzdálenost hmoty od osy otáčení, většinou charakteristický rozměr tělesa (poloměr, délka apod.) k - charakterizuje rozložení látky kolem osy otáčení, čím je hmota dále od osy, tím je I větší.

6. BFY1 Označená tělesa jsou k zapamatování, ostatní ne.

7. BFY1 Steinerova věta Pokud známe moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o, která prochází těžištěm, můžeme určit moment setrvačnosti vzhledem k libovolné rovnoběžné ose o´. • IT– vzhledem k ose vedené těžištěm • m – hmotnost tělesa • h– vzdálenost obou os o a o´. Důkaz: Členy rovny 0 (počátek je v T) dm má polohu [x,y] poloha těžiště je [0,0]

8. BFY1 Úloha na steinerovu větu Určete moment setrvačnosti tenké tyče, která se otáčí okolo kolmé osy vedené jejím koncem (ta vpravo), jestliže znáte moment setrvačnosti pro osu vedoucí těžištěm.

9. BFY1 Setrvačníky (gyroskopy) • jsou tělesa otáčející se okolo pevného bodu v prostoru Roztočíme-li setrvačník kolem jeho osy symetrie, potom tato osa zachovává stálý směr v prostoru. Vektor momentu hybnosti a úhlové rychlosti je v čase konstantní. Osa nemusí mít ovšem stejný směr – setrvačník poté vykonává tzv. precesní pohyb kolem směru vektoru momentu hybnosti. Setrvačník koná dva rotační pohyby.

10. BFY1 Využití Setrvačníků • v praxi jsou to tělesa s velkým momentem setrvačnosti, látka tělesa je umístěna souměrně vzhledem k ose otáčení, nejvíce látky je umístěno v okrajových částech tělesa. • Využití setrvačníků: • zabezpečují rovnoměrnost chodu motorů, • umělý horizont v letadlech, gyrokompas, • zdroje energie v dětských autíčkách.

11. BFY1 Úloha na ZZE pro rotaci Na obvodu válce, který má poloměr 0,35 m a moment setrvačnosti 0,12 kg.m2, je navinuto vlákno, na němž je zavěšeno závaží o hmotnosti 0,4 kg. Válec je otáčivý kolem osy jdoucí jeho středem. Určete, jak velkou úhlovou rychlostí se otáčí kolo, pokud závaží urazilo z klidu dráhu 2 m. R =0,35 m, I = 0,12 kg·m2, m = 0,4 kg, h = 2 m, ω = ? Závaží klesne o výšku h, úbytek potenciální energie soustavy ΔEp = mgh. Tento úbytek se rovná přírůstku kinetické energie.

12. BFY1 valení Pohyb kulatého tělesa (koule, válce, disku …) bez podkluzování, kdy se rychlost posuvného pohybu rovná obvodové rychlosti. Možnosti pohledu: a) Valení jako kombinace posuvného a otáčivého pohybu: b) Valení jako otáčivý pohyb:

13. BFY1 Kinetická energie při valení • je součtem příspěvků od posuvného a rotačního pohybu. • podle typu tělesa se bude lišit, protože • se liší jejich momenty setrvačnosti. Všimněte si, že EkNEZÁVISÍ NA POLOMĚRECH TĚLES.

14. BFY1 Úloha na valení Nakloněná rovina přechází na konci ve válcovou smyčku o poloměru R. Po nakloněné rovině vypustíme z klidu malý homogenní disk o poloměru r, který se po ní začne valit bez prokluzování. Z jaké nejmenší výšky h musí být vypuštěn střed disku, aby proběhl celou smyčku? V nejvyšším bodě se (aspoň) rovnají tíhová a odstředivá síla. Ze ZZE se rovná úbytek Ep a přírůstek Ek…ΔEp=ΔEk

15. osa otáčení BFY1 Moment síly (vzhledem k ose otáčení) Otáčivýúčinek síly F působící na těleso závisí na: a) velikosti a směru této síly, b) poloze působiště síly vzhledem k ose otáčení. • Moment síly vzhledem k ose otáčení je vektorová veličina, která popisuje otáčivé účinky této síly, a je definován jako vektorový součin polohového vektoru působiště síly a této síly (v tomto pořadí): • Směr M určujeme pravidlem pravé ruky buď přímo podle vektorového součinu nebo: „prsty naznačíme směr otáčení tělesa při působení síly a palec ukáže směr momentu síly“. Vektor M umísťujeme do osy otáčení.

16. osa otáčení BFY1 Rameno síly Moment síly lze zapsat i jinak než vektorovým součinem: • Pomocí úhlu φ, který svírá polohový vektor působiště a síla. Počítáme pouze velikost, směr určíme pravidlem pravé ruky. • Pomocí tečného průměru síly Ft, průmět má velikost • Ft = F.sin φ, je to ta složka síly, která způsobí otáčení tělesa. Počítáme opět pouze velikost, směr musíme určit podle PPR • Pomocí ramene síly r┴, což je vzdálenost vektorové přímky síly od osy otáčení. Jeho velikost je r┴ = r.sinφ. Opět určíme pouze velikost M, směr podle PPR. r┴ φ

17. BFY1 Síla bez otáčivého účinku • Jestliže moment síly charakterizuje otáčivý účinek síly, může nastat situace, kdy je roven nule M = 0 a síla otáčivý účinek nemá. • Otáčivý účinek nemá síla, jestliže: • 1. Vektorová přímka síly prochází osou otáčení, • 2. Vektorová přímka síly je rovnoběžná s osou otáčení. • V obou případech je sinφ = 0. Pokud zůstává úhel φ konstantní, nemění se moment síly a tedy ani otáčivý účinek na těleso. Důsledek: Působiště síly v tuhém tělese můžeme libovolně posouvat po její vektorové přímce bez toho, aby se měnil účinek síly na tuhé těleso.

18. BFY1 Moment hybnosti • Všechny veličiny posuvného pohybu mají své protějšky pro rotační pohyb. • Analogií hybnosti je pro rotaci moment hybnosti L. • Směr L určujeme opět pravidlem pravé ruky. • Jestliže mají svoje protějšky veličiny, očekáváme, že je budou mít i vztahy a vzorce. Jestliže ve vztazích nahradíme veličiny posuvného pohybu jejich rotačními protějšky, získáme vztahy analogické vztahům pro posuvný pohyb.

19. BFY1 Věta o momentu hybnosti = 2.Impulsová věta • Celkový moment hybnosti soustavy počítáme jako součet pro všechny částice: • Derivováním podle času získáme analogii k větě o hybnosti a vlastně i k 2.NZ pro částici: • Pokud těleso rotuje okolo pevné osy, platí: • (Což je analogie definice hybnosti p = mv) • Pro toto těleso platí věta o momentu hybnosti neboli 2.impulsová věta: • Jestliže požadujeme, aby bylo těleso ve statické rovnováze, musí být rovny nule celková hybnost i celkový moment hybnosti soustavy.

20. BFY1 podmínky rovnováhy • Tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy je v rovnovážné poloze, jestliže se rovnají nule (nulovým vektorům): • 1) vektorové součty všech vnějších sil působících na těleso, • 2) vektorové součty všech momentů těchto sil. • První podmínka vyplývá z věty o hybnosti (1.impulsové věty). • Těleso je v rovnováze pro posuvný (translační) pohyb. • Druhá podmínka vyplývá z věty o momentu hybnosti (2.impulsové věty). Těleso je v rovnováze pro otáčivý pohyb.

21. BFY1 Rovnovážná poloha stabilní • U tělesa v rovnovážné poloze stálé je osa otáčení tělesa nad těžištěm T. osa otáčení • Po vychýlení tělesa: • stoupá potenciální tíhová energie tělesa, • moment tíhové síly těleso vrátí zpět do stálé polohy. kulička v misce

22. BFY1 Rovnovážná poloha vratká (labilní) • U tělesa v rovnovážné poloze vratké leží těžiště nad osou otáčení tělesa. • Po vychýlení tělesa: • klesá tíhová potenciální energie tělesa, • těleso zaujme rovnovážnou polohu stálou. osa otáčení kulička na misce

23. BFY1 Rovnovážná poloha volná (indiferentní) • U tělesa v rovnovážné poloze volné prochází osa otáčení tělesa těžištěm. • Po vychýlení tělesa: • potenciální energie tíhová tělesa se nemění, • těleso zůstává v rovnovážné poloze volné. osa otáčení kulička na vodorovné rovině

24. BFY1 Stabilita tělesa • se měří velikostí práce, kterou musíme vykonat, abychom těleso převrátili z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké. Při překlápění hranolu vystoupí těžiště o výšku Δh, zvětšuje se jeho potenciální energie Ep na úkor práce W vykonané vnějšími silami. osa otáčení

25. BFY1 Děkuji za pozornost