UNIDAD II LINEAS DE ESPERA

1. UNIDAD II LINEASDE ESPERA

2. 2.1 Definiciones, características y suposiciones. La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Características: Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo) Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad. Supuestos El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones: a)Un solo prestador del servicio y una sola fase. b)Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas. c)Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d)Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.

3. 2.2 Terminología y notación. Notación de Kendall Por convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Las distribuciones que se utilizan son: • M: Distribución exponencial (markoviana) • D : Distribución degenerada (tiempos constantes) • E k : Distribución Erlang • G : Distribución general M / M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores. M / G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor

4. Terminología Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar: • Estado del sistema : Número de clientes en el sistema. • Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. • N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0). • Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. • s : Número de servidores en el sistema de colas. •  n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. • n : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. Nota: n representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar sus servicios  n: Cuando  n es constante para toda n n : Cuando n es constante para toda n  1

5. 2.3 Proceso de nacimiento o muerte. La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….). SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….). SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

6. 2.4 Modelos Poisson. MODELO DE NACIMIENTO PURO , n=0,1,2,…. (Nacimiento puro) MODELO DE MUERTE PURA n = 1,2,…N

7. 2.4 .1 Un Servidor Para este modelo se considera lo siguiente: 1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independientes del proceso de llegada. 3.- Sólo hay una unidad de servicio. 4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola. 5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.

8. 2.4.2 Múltiples servidores. Se supone un sistema con una sola cola, a la cual puede llegar un número infinito de clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de S(S>1) servidores en paralelo. La política del sistema es que sirve a los clientes en el orden de su llegada; el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado al principio y se irán ocupando en forma progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así sucesivamente) en la medida que vayan llegando los clientes. El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es λ y se supone que este tiene una distribución de poisson. El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el mismo y se denota por µ. Se supone que este número tiene una distribución exponencial negativa.

9. 2.5 Análisis de costos SISTEMA DE COSTO MÍNIMO La selección de un modelo adecuado de líneas de espera, sólo puede darnos "medidas de desempeño" que describen el comportamiento del sistema analizado. En la investigación de operaciones, nos interesará desarrollar "modelos de decisión" que minimicen los costos totales asociados con la operación de líneas de espera. En general, un modelo de costos en líneas de espera busca equilibrar: Los costos de espera contra los costos de incrementar el nivel de servicio Conforme crece el nivel de servicio, los costos de este también crecen y disminuye el tiempo de espera de los clientes. El nivel de servicio "óptimo" se presenta cuando la suma de los dos costos es un mínimo. Se supone que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos . Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye , sin embargo , finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

10. BIBLIOGRAFIA Arbonas, M.E. Optimización Industrial (I): Distribución de los recursos. Colección Productica No. 26. Marcombo S.A, 1989. Arbonas, M.E. Optimización Industrial (II): Programación de recursos. Colección Productica No. 29. Marcombo S.A, 1989. Moskowitz,H. y Wright G.P. Investigación de Operaciones. Prentice_Hall Hispanoamericana S.A. 1991. Buffa,E: Operations Management: Problems and Models. EdiciónRevolucionaria,La Habana, 1968.