CURVE E SUPERFICIE 2

1. Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva CURVE E SUPERFICIE 2 proipprietà proiettive e stereotomiche delle coniche e classificazione proiettiva delle quadriche

2. 1. La relazione tra proprietà metriche e proprietà stereotomiche: Teorema di Quetelet e Dandelin F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

3. 4. Teorema di Quetelet e Dandelin. In una superficie conica rotonda sezionata con un piano  non // a una generatrice (caso dell’ellisse e dell’iperbole) esistono due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti al piano  nei fuochi F1 e F2 della conica. Se  è // a una generatrice esiste una sola sfera iscritta alla superficie e tangente al piano  nel fuoco F della parabola. Inoltre i piani dei circoli di contatto delle sfere iscritte con la superficie conica intersecano il piano sezionante  nelle direttrici della sezione conica. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

4. Per dimostrare questa proposizione si consideri la sezione con il piano  e che passa per l’asse v della superficie conica; esso taglia la superficie secondo due generatrici g1 e g2 e individua su  l’asse principale A1 A2 della conica. In quel piano le due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti a  risultano tagliate in due cerchi massimi che si possono disegnare facilmente uno come il circolo (di centro C1) iscritto al triangolo VA1A e l’altro come quel circolo (di centro C2) ex-iscritto del trilatero VA1A2 che ha centro sull’asse v. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

5. È evidente che il trilatero VA1A2 rappresenta le tangenti condotte dai punti A1,e A2 ai due circoli di centri C1 e C2 nei punti Q2, Q1, F2, F1, R2, R1. E per la simmetria del cerchio sono ovviamente uguali i due segmenti di tangente che vanno dai punti di contatto R e Q ai punti esterni A per i quali si conducono tali tangenti: così A1Q1 = A1F1 e A1F2 = A1R1. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

6. Si vede dunque come sia A1Q1 + A1R1 = 2a (lunghezza dell’asse focale A1A2 della conica) e quindi come un qualsiasi segmento di generatrice compreso tra i due circoli di contatto delle sfere iscritte abbia estensione uguale all’asse focale A1A2. Si immagini uno qualunque di questi segmenti di generatrice P1P2 compresi tra i due circoli di contatto intersecare il piano  nel punto P. I segmenti PP1 e PP2 (distanze di P dai circoli di contatto) sono i segmenti di tangenti condotte da P alle due sfere iscritte e per la simmetria della sfera si può constatare che PP1 = PF1 e PP2 = PF2 e concludere che PF1 + PF2 = A1A2 = 2a, cioè che tutti i possibili punti P della sezione individuano un’ellisse poiché sono tali per cui resta costante (= 2a)la somma delle loro distanze da F1 e da F2. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

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10. 2. Coniche come trasformazioni proiettive del circolo F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

11. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

12. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

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14. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

15. QUADRICHE F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

16. 3. Trasformazioni omografiche della sfera F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

17. PUNTO ELLITTICO F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

18. ellissonide F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

19. paraboloidi F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

20. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

21. 4. Trasformazione omografica della superficie conica rotonda F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

22. PUNTO PARABOLICO F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

23. P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935) F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

24. F. Dischinger: Copertura del mercato di Lipsia (1929 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

25. Mole antonelliana a Torino (1863-80) F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

26. 5. iperboloidi F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

27. PUNTO IPERBOLICO DIREZIONE ASINTOTICA F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

28. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

29. Paraboloide iperbolico: sezioni parabolociche F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

30. Paraboloide iperbolico:sezioni iperboliche F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

31. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

32. Paraboloide iperbolico come superficie rigata F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

33. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

34. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

35. Iperboloide a una falda F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

36. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

37. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

38. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

39. V. Choukhov: Torre radio a Mosca (1922),........... F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva

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