Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 43 • ID grupy: 98/38_MF_G2 • Opiekun: Magdalena Rębisz • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Twierdzenie Pitagorasa • Semestr/rok szkolny : 2011/2012

3. Kim jest pitagoras? • Grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. Z relacji anonimowego autora wiadomo, że Pitagoras żył 104 lata", ale większość opisów wzmiankuje jedynie około 80 lat. Według jednej z wersji zmarł w Metaponcie w domu zapaśnika Milona, ocalony z pogromu Krotony, zaś innej - rewolty tej nie przeżył. ur. ok. 572 p.n.e. na Samos lub w Sydonie, zm. ok. 497 p.n.e. w Metaponcie

4. Twierdzenie pitagorasa • W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi tożsamość

5. Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

6. Dowody - układanka Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości  i  jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości  w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

7. Dowody – przez podobieństwo Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" - "różowy" -   "niebieski„ - są podobne.  Niech  i Można napisać proporcje: Stąd: i po dodaniu stronami:

8. ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA PITAGORASA • Przekątna kwadratu :

9. Wysokość w trójkącie równobocznym.

10. Twierdzenie odwrotne • Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny. • Przykład • Sprawdź, czy trójkąt o bokach długości:

11. ZADANIA – zadanie nr.1 • Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości: • Rozwiązanie

12. ZADANIA – zadanie nr.2 • Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku długości: • Rozwiązanie

13. ZADANIA – ZADANIE NR.3 • W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna wynosi 10 cm. Oblicz długości ramion tego trójkąta. • Rozwiązanie

14. koniec • Prezentacja miała na celu przybliżenie definicji „Twierdzenie Pitagorasa”. Dowiedzieliśmy się na czym polega ta definicja, jakie ma zastosowanie i pokazaliśmy je na kilku przykładach.