المحاضرة الثامنة والتاسعة

1. المحاضرة الثامنة والتاسعة الباب السابع: الموائع الساكنةFluid Statics

2. الموائع فى حالة سكون تتخذ الموائع شكل الإناء الذى يحتويه. وتتميز الحاله السائله عن الغازيه بأن للماده فى الحاله السائله سطح كما أن لها حجم. وعند تواجد سائل فى إناء فإنه يوجد ضغط يؤثر على قاع وجوانب الإناء. والضغط عند نقطه فى باطن السائل يتوقف على كثافة السائل وكذلك على عمق هذه النقطه عن السطح.

3. الضغط يعرف الضغط على أنه القوه المؤثره عموديا على وحدة المساحات. أى ان يمكن كتابة الضغط بالعلاقة التالية:

4. وحدات قياس الضغط • وحدة الضغط هى N/m2. أو باسكال Pascal وتكتب اختصارا Pa، • أى ان 1Pa= 1 N/m2. • 1 atmosphere (1 atm) = 14.7 lb/in2 • 1 atm = 1.01325105 Pa • 1 bar = 105 Pa • 76 cm Hg = 1 atm 1 torr = 1 mm Hg

5. الكثافة r • كثافة أى عنصر صغير من اى مادة، هى كتلة ذلك العنصر Dm، مقسوما على حجمة DV، اى ان كثافة العنصر تكتب على الصور • إن كثافة المادة لا تحمل خصائص إتجاهية، اى انها كمية قياسية. ولو ان كثافة الجسم متجانسة عند كل نقاطة، فإن كثافة الجسم تساوى كتلة الجسم الكلية مقسوما على حجمة الكلى، اى أن • وحدات الكثافة هى kg/m3، • الكثافة النوعية هى النسبة بين كثافة المادة الى كثافة الماء

6. Pa الضغط عند نقطة فى باطن السائل F1 = PA h n dy m F2 = PA + dmg y • ومن اتزان القرص يتضح ان القوتين متساوتين، أى ان • F1 = F2 • PA = (P+dP)A + dm g • 0 = dPA + r A g dy • dP/dy = -r g • وبالتالى فإن الضغط الناتج من عمود السائل يساوى ، • ويكون الضغط الكلى عند النقطة n يساوى P حيث • P = pa + rgh

7. d=12.3mm a Original level of water a c مثال (1) • أنبوبة على شكل حرف U طرفيها معرضتين للضغط الجوى وممتلئة جزئيا بالماء. صببنا فى احد طرفيها زيت حتى وصل مستوى ارتفاع الزيت على مسافة d=12.3 mm، أعلى من مستوى عمود الماء على الطرف الأخر الذى بدوره ارتفع مسافة a= 67.5 من مستواه الاصلى. كما فى الشكل. أحسب كثافة الزيت.

8. الطفو وقاعدة أرشميدس • قاعدة أرشميدس"الجسم المغمور كليا أو جزيئا فى مائع يؤثر عليه المائع بقوة دفع إلى أعلى تساوى وزن السائل المزاح".

9. F1 L F2 إثبات قاعدة أرشميدس قوة الدفع التى يلقاها مكعب طول ضلعه L و كثافته rs موضوع فى سائل كثافته r، كما فى الشكل . إذا كان الضغط الواقع على السطح العلوى هو P1، فإن القوة المؤثرة على هذا السطح تساوى F1 = P1 A = P1 L2 ايضا الضغط الواقع على السطح السفلى هو P2، حيث P2 = P1 + r g L وبالتالى يكون القوة المؤثرة على هذا السطح = F2 = P2 A = P1 A + r g L A • F2 = F1 + r g L A • وبالتالى تكون قوة الدفع Fbالتى يلقاها المكعب من اسفل الى اعلى هى فرق القوتين أى ان : • Fb = F2 – F1 = r g V • والمقدار r g V، هو عبارة عن وزن السائل المزاح.

10. rs Mg=Vsrsg Fb=VLrLg rL قوة الدفع الواقعة على جسم مغمور جزئيا • الجسم يتزن تحت تأثير قوتين : الأولى الى اسفل وتساوى وزن الجسم نفسه Mg = Vsrs g، والثانية هى قوة الطفو وتساوى Fb=VLrLg، Fb = Mg • VLrLg=Vsrsg • VL=Vs (rs/rL)

11. الهيدرومترات • وهى أجهزة قياس كثافة السوائل ويستخدم فيها خاصية الطفو كما فى الشكل المقابل، والهيدروميتر يغوص فى المائع المراد قياس كثافته إلى أن يزيح كميه من المائع تساوى وزن الهيدروميتر, وعند غمر الهيدروميتر فى الموائع الأكبر كثافه يغوص منها جزء أقل بينما فى الموائع الأقل كثافه يغوص جزء أكبر. ويتم معايرة الهيدروميترات على هذا الأساس بحيث تؤخذ قراءة الكثافه عند السطح الحر للمائع

12. P2 = 0 h=76cm Hg Pa قياس الضغط : البارومتر الزئبقى مقياس الضغط الزئبقى Mercury barometer فإنه يتكون من أنبوبة زجاجية طويلة ملأت بالزئبق (الأنبوبة مقفولة من طرف ومفتوحة من الطرف الأخر) وقلبت الأنبوبه من طرفها المفتوح داخل وعاء من الزئبق كما فى الشكل . الفراغ فوق عمود الزئبق لا بتأثر بالضغط الجوى. ويحتوى فقط على بخار الزئبق والذى ضغطه P2 وهذا قيمته عند درجات الحرارة العادية يمكن إهماله لصغره ( أى أن P2=0). الضغط Pa الذى يؤثر على سطح وعاء الزئبق هو نفسه الضغط P1الناتج من عمود الزئبق P1= r h g، أى ان الضغط الجوى يمكن التعبير عنه بالعلاقة Pa = 1 atm = r g h 1 atm = (1.35955104 kg/m3) × (9.80665 m/s2) × ( 0.76 m) = 1.013105 N/m2 = 1.013105 Pa ايفانجيلستا تورشيللي Evangelista Torricelli (15 أكتوبر 1608 - 25 أكتوبر، 1647)

13. Pa h P قياس الضغط : المانومتر • يتكون المانومتر من انبوبه على شكل حرف U كما فى الشكل، احدى طرفى الأنبوبة متصلة بمستودع به غاز، والطرف الأخر حر، والأنبوبه مملوءه جزئيا بسائل كثافته r. وبالتالى عند زيادة الضغط داخل المستودع فإنه يضغط على السائل ويزيحه بحيث يكون فرق ارتفاع السائل فى طرفى الأنبوبة يساوى h. ومن ثم يكون الضغط داخل المتسودع P يساوى مجموع الضغط الناتج من السائل ويساوى rgh بالأضافة إلى الضغط الجوى اعلى الأنبوبة المفتوحه Pa، أى أن • P = Pa + r g h • P – Pa = r g h ولهذا فإن الفرق P – Pa يتناسب مع الفرقفى ارتفاع السائل فى الأنبوبة التى على شكل حرف U. مثال (2)

14. قاعدة باسكال • تنص القاعدة على أن "الضغط المسلط على أى جزء من سائل فى وعاء مقفل ينتقل بإنتظام لجميع أجزاء السائل ويعمل فى جميع الإتجاهات".

15. F2 F1 A2 A1 Oil تكبير القوة والمكبس الهيدروليكى وحيث ان A2 أكبر من A1، فإن القوة F2 اكبر من القوة F1. ومن ناحية اخرى، فإن حجم السائل المزاح V = d1A1 = d2A2

16. التوتر السطحى • السطح المعرض من السائل تعمل فيه "قوى سطحية" تعمل على شده، بحيث يعمل كما لو كان مغطى بغشاء رقيق مرن. وهذه القوة السطحية، التى تكسب السطح المعرض للسائل خواص الغشاء المرن المشدود، تسمى بقوة "الشد السطحى" أو "التوتر السطحى".

17. (ب) (أ) تفسيرظاهرة التوتر السطحى فى السوائل إذا تصورنا جزيئا موجود فى باطن السائل كما فى شكل (أ) و تصورنا كره مركزها الجزيئ نفسه فإن جميع الجزيئات داخل داخل الكره تتجاذب مع هذا الجزيئ وتكون محصلة قوى الجذب الواقعه على هذا الجزء تساوى صفر. مع ملاحظة أن الجزيئات الواقعه خارج الكره لا تؤثر عليه لبعدها عنه. وإذا تصورنا جزيئا قريبا من سطح السائل كما فى شكل (ب) فإن قوى التجاذب الواقعه عليه من أسفل تكون أكبر من قوى التجاذب الواقعه من الإتجاهات الأخرى. وبالتالى فإن محصلة القوى المؤثرع على الجسيم تكون فى إتجاه بطن السائل. من ذلك نستنتج أن الجزيئات الواقعه على سطح السائل تكون متأثره بقوى تشدها نحو بطن السائل فى إتجاه عمودى على سطحه، وتسبب تلك القوى شداً فى السطح وتجعله كغشاء مرن.

18. C B l D A Dx N M mg معامل التوتر السطحى يعرف معامل الشد السطحى لسائل بأنه القوه التى تؤثر فى إتجاه عمودى على وحدة الأطوال من خط مستقيم يحتويه سطح السائل. ويرمز له بالرمز T و وحداته نيوتن/متر. ومعادلة أبعاده هى نفرض أن لدينا سلكا مكونا للإطار ABCD كما فى الشكل. و أن السلك MN ينزلق على الضلعين CD, AB . فإذا إنغمس هذا الإطار فى محلول صابون مثلا، تكون غشاء داخل الحيز MNCD وتتكون قوة جذب نتيجة التوتر السطحى تعمل على تقلص وسحب السلك MN إلى الداخل. ولكى يظل السلك فى مكانه، فلابد,وأن نؤثر على السلك بقوه F (ممكن الحصول عليها من تعليق كتله خفيفه أى أن F=mg) بحيث يحدث إتزان وفى هذه الحاله نجد أن • F = mg = 2Tl وذلك لأن الغشاء له وجهان، l هى طول السلك MN. مثال (3)

19. C B l D A Dx N M mg طاقة السطح إذا أزيح السلك MN كما فى الشكل مسافه قدرها Dx مع ثبوت درجة الحراره، فإن الشغل المبذول W لإزاحة السلك يعطى بالمعادله • W = F . Dx وبالتعويض عن F بدلالة التوتر السطحى فإن • W = 2Tl.Dx = T DS حيث DS هى الزياده فى مساحة سطح الغشاء من الوجهين وتساوى 2l Dx، والشغل المبذول لزيادة مساحة السطح بمقدار وحدة المساحات = W/DS = T. أى أن الشغل المبذول لزيادة مساحة السطح بمقدار وحدة المساحات (وهو ما يعرف بـ طاقة السطح ويرمز له بالرمز E ووحداته جول/متر2) يساوى التوتر السطحى ووحداته نيوتن/متروذلك عند ثبوت درجة الحراره.

20. مثال (4): • كره من الماء نصف قطرها 2 سم، إنقسمت بسرعه إلى 27 كره متساويه عند ثبوت درجة الحراره. أحسب الشغل المبذول نتيجة لذلك علما بأن الشد السطحى للماء = 75 داين/سم.

21. D G B A R R+dR العلاقه بين فرق الضغط بين وجهى سطح سائل و الشد السطحى له مساحة سطح الفقاعه الأصلى يساوى الزياده فى المساحه تساوى dA = 8pRdR الشغل اللازم لمقابلة الزياده فى المساحه ضد التوتر السطحى dW = T . dA= 8pTRdR وحجم الكره يساوى الزياده فى الحجم dV نتيجة للزياده فى الضغط الشغل اللازم لمقابلة الزياده فى الضغط الناتج عن الزياده فى الحجم تساوى • dW = DP . dV • dW = DP . 4p R2 dR • وبمساواة المعادلتين الخاصة بالزيادة فى الشغل نجد ان • DP . 4p R2 . dR = T . 8 p R dR

22. تابع: أى أن الفرق فى الضغط (داخل الفقاعه و خارجها) يتناسب طرديا مع التوتر السطحى و عكسيا مع نصف قطر الفقاعه. وإذا كان السطح غير كروى فإن المعادله السابقة تصبح على الصورة حيث أن R1 , R2 هما أنصاف أقطار التكور الرئيسيه. وإذا كان لدينا سطح إسطوانى فإن إحدى إنصاف أقطار التكور = مالانهايه و تصبح المعادله السابقة على الصوره إذا كان لدينا فقاعه من الصابون مثلا فى الهواء فإننا فى هذه الحاله لدينا سطحين وفى هذا الحاله

23. T T q q q Hg T T زاوية التلامس Contact Angle • والزاويه المحصوره بين المماس لسطح السائل عند نقطة التلامس وجدار الوعاء تعرف بزاوية التلامس وهى تساوى صفر فى حالة الزجاج والماء النقى بينما تساوى 140o فى حالة الزئبق والزجاج

24. T q r r h الخاصيه الشعريه • القوه المؤثره على سطح السائل إلى أسفل = كتلة اسطوانه من السائل ارتفاعها h و نصف قطرها r • أى تساوى = pr2hrg • والقوه المؤثره على السائل إلى أعلى هى قوة التوتر السطحى المؤثره على محيط السائل فى الأنبوبه = 2prTcos q • ويكون السطح فى حالة إتزان إذا كانت • pr2hrg = 2prT cos q (*)

25. تابع الخاصية الشعرية • يكون وزن السائل الموجود فوق أعلى نقطة التقعر = وزن اسطوانه من السائل ارتفاعها r و نصف قطرها r مطروحا منه وزن نصف كره من السائل نصف قطرها r، أى أن • وبإضافة ذلك إلى الطرف الأيسر للمعادله (*) نجد أن

26. h تابع الخاصية الشعرية • وإذا كانت q أكبر من 90 درجه كما فى حالة الزئبق و الزجاج فتصبح cosq سالبه، وهذا يحتم أن تكون h سالبه. وهذا يعنى إنخفاض عمود الزئبق داخل الأنبوبه الشعريه عن مستواه خارجها كما فى الشكل.

27. q R q d T القوه اللاصقه بين لوحين مستوين بينهما طبقه رقيقه من السائل • وعلى ذلك نجد أن • (**) DP = T/R • ومن هندسة الشكل نجد ان • d = 2R cosq • حيث d هى المسافه بين اللوحين وبالتعويض عن قيمة R فى المعادله (**) نجد أن

28. تابع • وقوة تجاذب اللوحين (قوى التلاصق) تنتج من ضرب DP فى مساحة سطح تلامس السائل باللوحين • أى أن القوه تتناسب عكسيا مع البعد بين اللوحين • وفى حالة الماء بين لوحين من الزجاج فإن cosq = 0 وتصبح القوه