O Romance das Equações Algébricas Gabriela Luciana Marcello Samuel

1. O Romance das Equações Algébricas Gabriela Luciana Marcello Samuel

2. Gilberto Geraldo Garbi (1944 - )‏ • De Taquaritinga SP • Engenheiro eletrônico pelo ITA • Empresário • Autor de • “A Rainha das Ciências”. $ $

3. “Estou convicto de que a Matemática pode e ser deve ser ensinada de forma espontânea, leve, humana e, em alguns casos, até mesmo alegre, para que se torne fonte de prazer intelectual e conquiste um número cada vez maior de adeptos.” G.G.Garbi

4. Equações: - Equacionar - Igual e igualdade Equações algébricas são aquelas em que a incógnita aparece apenas submetida às chamadas operações algébricas como: soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação.

5. Euclides (ca. 300 a.C.)‏ • a) Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. • b) Se iguais forem somados a iguais, os resultados serão iguais. • c) Se iguais forem subtraídos de iguais, os resultados serão iguais.* • d) Coisas coincidentes são iguais entre si. • e) O todo é maior do que a parte. • f) Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais.*

6. Equações do 1º grau Pela noção c) Pela verdade f)

7. Equações do 2º grau • Shidhara(991)‏ • Bhaskara (1.114 -1.185)‏

8. ou Pergunta: Como extrair a raiz quadrada de , se este binômio não é um quadrado perfeito? A solução estava em somar aos dois lados da igualdade alguma coisa que tornasse o lado esquerdo um quadrado perfeito.

9. A quantidade a ser somada é Usando novamente a noção de Euclides e organizando os termos temos o quadrado perfeito. Basta apenas extrair as raízes, mas…

10. O que os babilônio não perceberam é que a extração de raízes quadradas geram sempre duas alternativas, uma com sinal + e outra com sinal –Logo

11. Equações do 3º grau Niccolò Fontana ”Tartaglia” (1499-1557)‏ (1501-1576) Girolamo Cardano

12. Cardano Nascido em Pavia em 1501 e falecido em Roma em 1576 e escreveu a Ars Magna. Definiu-se como desbocado, espião, melancólico, traidor, invejoso, solitário, obsceno, desonesto, vicioso e portador de total desprezo pela região.

13. -Tartaglia, nascido em Bréscia, em 1501. Desde a infância teve a vida marcada pelo infortúnio, pelas lutas, pelas asperezas e por toda a sorte de dificuldades. Demonstrou desde cedo grande amor pelos estudos e infinita vontade de aprender. Foi professor de ciência em Verona.

14. Scipione del Ferro, encontrou uma forma geral de resolver as equações do tipo Mas Tartaglia além de resolver as tipo citado acima, também achou a fórmula geral para as do tipo

15. Equações do 3º grau Ludovico Ferrari

16. François Viète recorre à trigonometria Capítulo XI

17. B3 in A quad – D plano in A + A cubo aequator Z solido • Em In artem analytivam isagoge inova no simbolismo algébrico: • (vulgo: 3BA² – DA + A³ = Z)‏ • usa vogais para as incógnitas e consoantes para as constantes. • Nas equações de 3º grau fazia substituições trigonométricas, ex.: • x = k cos θ • daí não enfrentava as famigeradas raízes negativas.

18. Descartes e Fermat inventam a geometria analítica Capítulo XII

19. Um pouco de Diofanto (ca. 250 d.C.)‏ Regra de sinais: Na pág. 65 justifica: + X – = – – X – = + Álgebra retórica: Em um terreiro existem cabras e galinhas, sendo 32 cabeças e 88 patas. Quantos animais de cada tipo existem em tal terreiro?

20. Pierre de Fermat (ca. 250 d.C.)‏ • Jurista por formação; • Magistrado por profissão; • Matemático por gosto. • Trocava cartas com: • Pascal, • Descartes, • Wallis, • Roberval, • Huygens et al.

21. Citação no livro de Diofanto É impossível decompor um cubo em dois cubos, um biquadrado em dois biquadrados e, de um modo geral, qualquer potência acima de dois na soma de duas potências de igual expoente. Para isso eu descobri uma demonstração verdadeiramente maravilhosa, mas a margem é pequena para contê-la.

22. A geometria analítica Associou equações a linhas geométricas; Métodos para: traçar retas tangentes curvas e determinar métodos de máx. e mín. Não divulgou seu trabalho; Suas ideias foram expostas no livro de publicação póstuma: Ad locos planos et solidos isagogue

23. René Descartes (1596-1650)‏ • Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences • Je pense donc je suis

24. Géométrie Apenas um apêndice do Discurso. Não tem nem os eixos cartesianos! Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no estudo da geometria. “oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica”

25. Géométrie As útimas letras (X,Y,Z) para represenar icógnitas; As primeiras letras (A,B,C...) para os parâmetros; Potência era escrita da forma X³, X4, X5... porém, X² era escrito como XX Sinal de igualdade: ”α ” (só q ao contrário!)‏ Batizou as raízes negativas: “nem sempre as raízes verdadeiras [positivas] ou falsas [negativas] de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias.”

26. Géométrie Apenas um apêndice do Discurso. Não tem nem os eixos cartesianos! Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no estudo da geometria. “oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica”

27. Géométrie Apenas um apêndice do Discurso. Não tem nem os eixos cartesianos! Mostrou que a álgebra podia ser aplicada no estudo da geometria. “oposto do que ocorrera na Antiguidade Clássica”

28. Descartes, pessoa humilde Jamais conheci alguém que me parecesse conhecer tão bem a geometria como o senhor [Fermat]

29. ou não? e eu espero que a posterioridade me seja grata, não apenas pelas coisas que eu aqui expliquei mas também por aquelas que omiti voluntariamente, a fim de deixar-lhe o prazer de inventá-las

30. Newton entra em cena Capítulo XIII Disse Deus: “faça-se Newton!” E tudo foi luz.

31. Sir Isaac Newton (1642-1727)‏ • Matemático; • físico; • astrônomo; • alquimista; • filósofo natural e • teólogo… • Obs.: não foi o autor do tal “binômio de Newton”

32. Newton e a maçã “Conforme Newton relatou em uma carta escrita muitos anos depois, foi também em 1666, após ver uma maçã desprender-se de um ramo que ele começou imaginar que a gravitação estendia-se até a órbita da Lua e mais além.”

33. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)‏ • Diplomata; • Foi orientado em matemática por Christian Huygens • Trocou cartas de ofensas com Newton hehehe

34. Teoria das fluxões • Obra de 1687; • Sob a influência de Edmond Halley; • Publicou após os trabalhos de Leibniz; • Se apoiou no trabalho de Fermat. • PS.: o autor defende muito Newton!

35. Newton e as raízes Por aproximação; Método de Newton-Raphson;* Critérios para as raízes: Regras de exclusão de Newton; Cotas inferiores e superiores. * - não é um método algébrico

36. Euler domina os números complexos Capítulo XIV

37. Leonard Euler (1707-1783)‏ • Gentil, bem humorado afável, generoso... • Discípulo de • Jean Bernoulli; • Publicou mais de 800 trabalhos!

38. Evolução na notação 1525: 2cub'p:5reb'aequalis 17 1525: sit3Z + 5ּאaequatus 21 2 1 1572: 3U p 5U Equale á 21 1590: 3q + 5N aequatur 21 1637: 3ZZ + 5Z α 21 1693: 3XX + 5X = 21 2009: 3x²+5x=21

39. Símbolos de Euler Somatória: Função: Combinação: i= Pi: π e

40. Números complexos Trabalhou com as operações básicas: Soma e subtração; Produto e divião; Potenciação e exponenciação; Módulo; Argumento;

42. eπi + 1 = 0 • “Lisez Euler, Lizer Euler, c'est notre maître à tous!” • - Laplace

43. Gauss demonstra o Teorema Fundamental da Álgebra Capítulo XV

44. Carlos Frederico Gauss (1707-1783)‏ • Prodígio desde criança • Matemática ou filologia? • Construiu um polígono regular de 17 lados aos 18 anos!

45. Teorema Fundamental da Álgebra Toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, pelo menos uma raíz. Sua tese de doutoramento; D'Alembert já havia feito uma tentativa; Gauss elaborou outras 3 três provas.

46. Gauss e o último teorema “Confesso que o último teorema de Fermat, como proposição isolada, tem muito pouco interesse para mim, já que eu facilmente poderia fazer uma multidão de tais proposições que ninguém poderia provar ou utilizar.”

47. Raízes estranhas Capítulo XVI

48. X=1 equivale a x³=1? • Observe que a segunda equação pode ser escrita: x³-1=0 ou (x-1)(x²+x+1)=0 e suas raízes são: x=1, x=(-1+√-3)/2 e x=(-1- √-3)/2 • Por que aparecem essas raízes estranhas? Descoberta de Euler : diferentemente da potenciação, a radiação não é unívoca (um número tem n raízes enézimas). No retorno da potenciação alguns caminhos não conduzem a equação original. Estes correspondem as raízes estranhas. • Efeito oposto: a perda de raízes.

49. De volta às Equações do 3º Grau Capítulo XVII

50. Dada uma equação do 3º grau, com uma raiz complexa do tipo (a+bi), assim (a-bi) também será. A terceira é obrigatorimente real, chamamos de c. Faremos (a+bi)+(a-bi)+c=0 (para que inexista o termo do 2º grau).Teremos 2a+c=0, logo c=-2a Da forma x³+px+q=0 que tenha raízes complexas pode ser escrita: (x-[a+bi])(x-[a-bi])(x+2a)=0desenvolvendo teremos:x³+x(b²-3a²)+2a(a²+b²)=0 , logo, Δ= (-q/2)²+(p/3)³ ,desenvolvendo, temos Δ= 81(a²)²b²+18a²(b²)²+(b³)² 27isto é sempre positivo, exceto para a=b=0.