آنالیز حالت دائمی سینوسی

آنالیز حالت دائمی سینوسی اعضای گروه: علیرضا ممتازیان علی شهرکی کلهر غلامرضا سعیدی محمد علیزاده حمیدرضا باقی معین قدردان

آنچه در این فصل با آن روبرو میشویم

فهرست مطالب • مرور اعداد مختلط • آنالیز حالت دایمی سینوسی • امپدانس و ادمیتانس • تجزیه و تحلیل حالت دایمی سینوسی • تشدید • مکان امپدانس و مکان ادمیتانس • توان • قضیه انتقال توان ماکسیمم یا مچینگ

1- مرور اعداد مختلط : • توصیف اعداد مختلط : فرض کنید zیک عدد مختلط و x و y به ترتیب جزء حقیقی و جزء انگاری آن باشند. در این صورت : z = x + jy که در آن j= . همچنین می توان نوشت: Re(z)= x , Im(z)= y نمایش قطبی عدد مختلط z چنین است: z = که در آن اندازه یا دامنه ی z نامیده می شود و برابر است با:

و زاویه یا فاز z نامیده میشود و برابر است با: گاهی را به صورت z∡ نیز نمایش می دهند. y x

. ضرب و تقسیم اعداد مختلط : اگر و دو عدد مختلط به صورت زیر باشند : = j + = j + = آن گاه: =* = *

. مزدوج مختلط : هرگاه عدد مختلطz = x + jyرا داشته باشیم، گوییم عدد مختلط x – jyکه با نشان داده می شود ، مزدوج مختلط z است. در نمایش قطبی داریم: = نکته: +==z

2- آنالیز حالت دایمی سینوسی : • در ابتدا قضیه ای را بیان می کنیم : قضیه : مجموع هر تعداد سیگنال سینوسی هم فرکانس و مشتقات آن ها ، یک سیگنال سینوسی با همان فرکانس است . می دانیم که معادله ی دیفرانسیل یک مدار خطی با ورودی سینوسی به صورت زیر است: در صورتیکه تمام فرکانس های طبیعی مدار متمایز باشند (یعنی معادله ی مشخصه ریشه های مکرر نداشته باشد)، فرم کلی پاسخ آن برابر است با :

y(t) = + B cos (t + θ) که ها فرکانس های طبیعی و ها ثابت های دلخواه می باشند. بخش اول این پاسخ را پاسخ همگن یا ورودی صفر و بخش دوم آن را پاسخ خصوصی یا حالت صفر می گوییم . در درس آنالیز حالت دایمی سینوسی ، ما با بخش دوم این پاسخ کار داریم. ای پاسخ فقط در اثر ورودی سینوسی است و به شرایط اولیه و ورودی DC بستگی ندارد .

3-امپدانس و ادمیتانس : • امپدانس Z : برابر است با فازور ولتاژ دو سر عنصر تقسیم بر فازور جریان آن، یعنی : Z = • ادمیتانس Y : برابر است با فازورجریان عبوری از عنصر تقسیم بر فازور ولتاژ آن، یعنی : Y =

با تعاریف گفته شده، امپدانس ها و ادمیتانس های مقاومت، سلف و خازن عبارتند از : باید توجه داشت که در حل مسایل، منابع سینوسی را هم با فازور آنها جایگزین کرد : + + - - ∡ A

با این توصیفات تمام روابط مانند قبل است، با این تفاوت که دیگر با فازور ولتاژ و فازور جریان سر و کار داریم. به عنوان مثال: , ∡V = ∡Z + ∡I=V = Z V∡+Z∡=I∡,=I = Y = , ∡Y = -∡Z Y = اکنون روابط ولتاژ و جریان را در تک تک عناصر مورد بررسی قرار می دهیم .

1- مقاومت: , ∡V = ∡IR= IV = R Im t Re دیاگرام فازوری ولتاژ و جریان مقاومت ولتاژ و جریان مقاومت در حوزه ی زمان

2- سلف : 90 ̊ + I∡ = V∡,L= IV = jL یعنی ولتاژ از جریان، 90درجه جلوتر است. t دیاگرام فازوری ولتاژ و جریان سلف ولتاژ و جریان سلف در حوزه ی زمان

2- خازن : 90 ̊ -, ∡V = ∡I = V = -j یعنی ولتاژ از جریان، 90درجه عقب تر است. t دیاگرام فازوری ولتاژ و جریان خازن ولتاژ و جریان خازن در حوزه ی زمان

. حالت های مختلف برای امپدانس یک مدار: اگر زاویه ی امپدانس را با نشان دهیم، آن گاه : • اگرZ = r یاY = g = 0: مدار مقاومتی خالص • اگر Z = jXیا = 90̊ Y = -j: مدار سلفی خالص • اگر Z = -jX یا Y = j : مدار خازنی خالص • اگر Z = r + jXیا Y = G – jB90̊ 0: مدار مقاومتی سلفی • اگر Z = r – jXیا Y = G + jB̊ 90<<0:مدارمقاومتی خازنی

. به هم بستن عناصر : • به هم بستن سری : • به هم بستن موازی : I + V - I + V -

4- تجزیه و تحلیل حالت دایمی سینوسی : • اگر برای یک مدار با ورودی سینوسی، تنها پاسخ حالت دایمی مورد نظر باشد، میتوان به جای این که معادلات را بر حسب خود سینوسی ها بنویسیم، آن ها را بر حسب فازورها بیان کنیم. به عبارت دیگر برای فازور ولتاژ و فازور جریان KVL و KCL بزنیم.

A مثال: امپدانس ورودی شبکه های زیر را بیابید. حل: برای شکل (الف) داریم: += 1 1 A 1 1 B B (الف) (ب)

1 2 A و برای شکل (ب) : 1 + j= = = + = + = 1 به این گونه مدارها که امپدانس یا ادمیتانس ورودی آن ها فاقد𝜔 می باشد، مدارهای ((مستقل از فرکانس)) می گویند. 1 1 j B

. مدار معادل تونن و نورتن در حالت دایمی سینوسی : I A V مدار خطی با هر تعداد مقاومت و سلف و خازن و منبع وابسته و هر تعداد منبع مستقل سینوسی با فرکانس یکسان I معادل تونن A B V معادل نورتن A مدار در حالت دایمی سینوسی B

5- تشدید : فرکانس تشدید، فرکانسی است که در آن امپدانس یا ادمیتانس، حقیقی خالص باشد. یعنی : Im(Y) = 0 یا Im(Z) = 0 به عبارت دیگر راکتانس صفر باشد یا سوسپیتانس صفر باشد . نکته : راکتانس , X : رزیستانسR :Z = R + jX سوسپیتانس :B, کندوکتانسY = G + jB G :

. فرکانس تشدید مدارهای ساده : الف) RLCسری : ) - Z = R + j( = Im(z) = 0 ∡Z(j R -

ب) RLCموازی: ) - Y = G + j( = Im(Y) = 0 ∡Y(j G -

نکته : در فرکانس تشدید L O.C. C L C در فرکانس تشدید S.C.

A مثال: فرکانس تشدید مدار زیر را بیابید. حل: + = + = 0 = + = )Im( C L B

نکته: مقاومت های سری یا موازی با کل مدار، تاثیری در فرکانس تشدید ندارند. r N N r مقاومت های بی تاثیر در فرکانس تشدید

5- مکان امپدانس و مکان ادمیتانس : • تعریف :به محل تغییرات نقطه ی انتهایی بردار امپدانس یا ادمیتانس در صفحه مختلط، مکان امپدانس یا مکان ادمیتانس گفته می شود. برای تعیین مکان امپدانس، باید اثر را حذف و رابطه ای بین R= Re(Z) و X = Im(Z)پیدا کرد و آن را رسم کرد. (برای مکان ادمیتانس نیز به همین شکل) مثال: در مدار RLCسری داریم : R = Re(Z) - X = Im(Z) = Im(Z) مکان امپدانس Z Re(Z) R

7-توان

یک نگاه کلی به توان توان لحظه ای برابر است با: P(t) = V(t) . i(t) در حالت دائمی سینوسی اگر فرض کنیم: V(t) = Vm Cos(ωt + φ) i(t) = Im Cos(ωt) آنگاه توان برابر است با: P(t) = ½ Vm . Im ( Cos(2ωt - φ ) + Cos φ )

از رابطه قبل 2 تا نتیجه میگیریم: • فرکانس توان لحظه ای، 2 برابر فرکانس ولتاژ یا جریان است. • توان لحظه ای می تواند مثبت یا منفی یا صفر باشد. P(t) = ½ Vm . Im . Cos(2ωt - φ ) + ½ Vm . Im . Cos φ مقدار متناوب ((AC مقدار متوسط ((DC فرکانس 2ω ½ Vm Im Cos φ

با توجه به شکل زیر: • مدار مقاومتی خالص یا تشدید φ=0 Cos φ = 1 • مدار سلفی خلص φ=+90 Cos φ = 0 • مدار خازنی خلص φ=-90 Cos φ = 0 • مدار مقاومتی سلفی 0<φ<90 1< Cos φ <1 • مدار مقاومتی خازنی -90<φ<0 0< Cos φ < 1 البته روابط بالا برای عناصر پسیو است هر مدار شامل عناصر پسیو -90<φ<90 0< Cos φ ≤1 Re[Z] > 0 → Passive Re[Z] < 0 → Active

سلفی خالص مقاومتی – سلفی اکتیو مقاومتی - سلفی تشدید – مقاومتی خالص مقاومتی اکتیو مقاومتی - خازنی مقاومتی – خازنی اکتیو خازنی خالص

در آنالیز حالت دائمی سینوسی همه چیز به صورت مختلط است از جمله توان منظور از Im* همان مزدوج جریان Im است یعنی توان مختلط یک بردار است با اندازه VmIm½ و فاز φ از این رابطه نتیجه میگیریم که فازور امپدانس Z و فازور توان مختلط S با یکدیگر هم فاز هستند

ضریب برای این است که از مقادیر ماکسیمم استفاده کردیم اگر از مقادیر موثر (یعنی Ve , Ie ) استفاده کنیم دیگر ظاهر نمیشود S = VeIe* بد نیست این چند تا فرمول را ببینید که بهتر متوجه شوید ضریب از کجا آمده است

P را توان متوسط، حقیقی، اکتیو، مصرفی، واته، ... می گوییم و برحسب وات (W) است Q را توان مجازی، راکتیو، دواته، ... می گوییم و برحسب ولت آمپر راکتیو (VAR) است و اندازه توان مختلط S را توان ظاهری می گوییم Im(S) SVA = PW + jQVAR Q= ½ Vm . Im. sin φ S = ½ VmImcos(φ) + j ½ VmIm sin(φ) |S| = ½ VmIm S= ½ Vm . Im ضریب توان شبکه =cosφ φ Re(S) P= ½ Vm . Im. cos φ

Z=r+jx Y=g+jb P = ½ r|Im |2 Q= ½ x|Im |2 + V _ P = ½ g|Vm |2 Q= ½ b|Vm |2

مثال: در شکل زیر توان مختلطی که منبع به مدار میدهد را محاسبه کنید.

در اینجا میخواهیم با استفاده از یک مدار ساده توان الکتریکی را کنترل کنیم فرض کنید که یک تابع سینوسی به شکل زیر کل ولتاژ منبع ولتاژ را عینا به بار وصل کنیم؛ در این صورت لامپ با توان نامی نور تولید خواهد کرد اما اگر با استفاده از کلیدی که قابلیت رزشن و خاموش شدن سریع را داشته باشد به جای هر دو نیم سیکل ولتاژ سینوسی فقط 180 درجه یا یک نیم سیکل آن را به لامپ بدهیم مشاهده خواهیم کرد که نور لامپ کمتر شده و تقریبا به نصف میرسد

اما اگر باز هم کنترل خود را روی نور لامپ بیشتر کنیم به طوری که رسیدن از حالت بی نور تا حالت نور کامل با یک مقاومت متغیر قابل تنظیم باشد باید به جای حذف 180 درجه از ولتاژ در هر نیم سیکل در زوایای صفر تا 190 عمل قطع را انجام دهیم. مثلا در 30درجه در این صورت ولتاژ اعمالی به بار به شکل زیر در می آید. ترایاک قطعه ای است که ما میتوانیم از آن به عنوان کلید سریع ذکر شده استفاده کنیم

برای مشاهده فیلم مدار به فایل ضمیمه مراجعه کنید

8-قضیه انتقال توان ماکسیمم یا مچینگ : برای اینکه بیشترین توان از منبع به بار برسد در حالت کلی باید ZL = ZS* ZL = ZS* حالت کلی RL = RS هر دو اهمی RL = |ZS| بار اهمی منبع مختلط XL = |ZS| بار موهومی منبع مختلط + -

مثال: در شکل زیر حداکثر توانی که منبع به میدهد را محاسبه کنید.

شبیه سازی مدار صفحه قبل با Matlab این هم فیلم واقعی این مدار

آنالیز حالت دائمی سینوسی