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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: Mathematik Thema: Lineare Funktionen

Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: Mathematik Thema: Lineare Funktionen. Das ganze Leben besteht daraus, dass Dinge voneinander abhängen.

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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: Mathematik Thema: Lineare Funktionen

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Presentation Transcript

  1. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Das ganze Leben besteht daraus, dass Dinge voneinander abhängen. Im mathematischen Sinne bezeichnen wir diese Dinge als „Größen“. Es handelt sich also um messbare Größen. Nicht messbare Dinge gibt es auch. Sie können sogar sehr wichtig sein, aber für die Mathematik sind sie nicht brauchbar.

  2. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir verschieden Fälle: Das Körpergewicht eines Menschen ist messbar, seine Körpergröße ist auch messbar, sein Alter ist auch messbar. Berechenbar sind diese Größen ...

  3. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen NICHT !

  4. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir verschieden Fälle: Wenn man einkauft, muss man für sieben Brötchen mehr bezahlen als für drei. Berechnen kann man diese Größen ....

  5. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Sehr gut !

  6. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir verschieden Fälle: Wenn mehr bei einer Arbeit mit anfassen, dann ist man schneller fertig. Berechnen kann man diese Größen ....

  7. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Sehr gut !

  8. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Klassisches Beispiel für voneinander abhängige Größen ist das Kaufen von Speiseeis! Je mehr Kugeln jemand kauft, desto mehr muss er auch bezahlen. Eine Kugel kostet 80 Cent.

  9. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Preistafel: 1 Kugel = 0,80 € 2 Kugeln = 1,60 € 3 Kugeln = 2,40 € 4 Kugeln = 3,20 € jede weitere Kugel kostet 0,80 € Die Eisdiele macht daraus ein Preisschild:

  10. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Schülerinnen und Schüler machen daraus eine Wertetabelle ....

  11. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen ... und einen Graphen (Zeichnung):

  12. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Die grünen Pfeile zeigen den Preis für vier Kugeln – die hellblauen Pfeile zeigen, was sieben Kugeln kosten. Aus diesem Graphen kann man – genau wie bei der Wertetabelle – alle Eispreise ablesen. Und das geht so:

  13. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Wir merken uns: Es gibt eine Größe, die ich nach Belieben – oder nach vorhandenem Taschengeld – auswählen kann. Das ist die Anzahl der Eiskugeln. Und es gibt eine Größe, die dann berechnet wird. Das ist der Preis.

  14. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Unser Eisverkäufer hat eine Idee: Er bietet jetzt sein Eis auf Wunsch des Kunden mit Sahne an. Wenn man Sahne zu seinem Eis haben möchte, so kostet das 1,00 Euro extra.

  15. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Preistafel: 1 Kugel = 0,80 € 2 Kugeln = 1,60 € 3 Kugeln = 2,40 € 4 Kugeln = 3,20 € jede weitere Kugel kostet 0,80 € Mit Sahne 1,00 Euro mehr Die Eisdiele macht ein neues Preisschild:

  16. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Schülerinnen und Schüler machen daraus eine neue Wertetabelle ....

  17. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Dieser Graph sieht ganz ähnlich aus. Er geht allerdings nicht mehr durch den Nullpunkt des Koordinatensystems, sondern schneidet die Preisachse bei EINS. In normalen deutschen Worten heißt das: Wenn man nur Sahne ohne Eis kaufen will, so kostet das einen Euro. Ist zwar Unsinn – ist aber möglich! ... und einen neuen Graphen (Zeichnung):

  18. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Auch aus diesem Graphen kann man – genau wie ohne Sahne - alle Eispreise ablesen. Wie es geht, wissen wir schon:

  19. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Wir fangen jetzt damit an, aus dem Eisverkauf ein bisschen Mathematik zu machen: Der Gesamtpreis hängt natürlich von der Anzahl an Kugeln ab. Diese Anzahl kann jeder Käufer für sich frei wählen! Anzahl  Preis Der Mathematiker sagt: x  y

  20. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Nicht wählen kann der Kunde aber, wie teuer eine Kugel ist und was die Sahne kostet. Wir schauen uns das einmal ganz genau an: Zuerst lassen wir den Preis einer Kugel bei 0,80 € so wie das in Hameln üblich ist – und nehmen verschiedene Preise für die Sahne.

  21. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Und jetzt erkläre bitte: Was unterscheidet diese vier Geraden? Was ist bei den vier Geraden gleich?

  22. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Sie unterscheiden sich nur den Preis der Sahne. Sie verlaufen parallel. Der SAHNEPREIS wird auf der y-Achse angezeigt. Logisch: Wenn man NULL Kugeln kauft, aber Sahne haben möchte, muss man auch nur die Sahne bezahlen.

  23. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Da würde ich kein Eis essen! Alle Eisdielen haben vereinbart, für Sahne grundsätzlich nur einen Euro zu nehmen. Aber der Kugelpreis ist unterschiedlich: In Hameln – ECE – nimmt man 0,80 € In Berlin – Zeno am Hbf – nimmt man 1,20 € In Amsterdam – Guiseppe an der Damstrat – nimmt 1,75 € Und in Frankreich ist Eis sowieso idiotisch teuer, dort nimmt man überall inzwischen 2,50 € pro Kugel.

  24. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Wo ist Hameln? Wo ist Frankreich?

  25. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Auf mathematisch: GESAMTPREIS = EINZELPREIS MAL ANZAHL PLUS SAHNE oder y = m ● x + b

  26. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Gut, jetzt haben wir bereits vieles über lineare Funktionen gelernt. Wir wissen, dass zu einem Wert „x“ ein Wert „y“ errechnet wird. x  y Wie dort gerechnet wird, bestimmt die Funktionsgleichung y = m ● x + b

  27. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Bei der Funktionsgleichung y = m ● x + b entscheiden m und b über den Verlauf der Geraden

  28. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen y = m ● x + b „b“ legt fest, wo die Gerade die y-Achse schneidet: Die Gerade schneidet die y-Achse bei dem Wert „+3“. Also lautet ihre Funktionsgleichung: y = m ● x + 3

  29. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen y = m x + 7 y = m x + 4 y = m x + 1 y = m x - 2 y = m x - 4 Der Wert für „b“ kann in jeder Zeichnung einfach abgelesen werden:

  30. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen y = m ● x + b „m“ legt fest, wie die Gerade verläuft. Ob sie steil oder flach ist. Ob sie steigt oder fällt.

  31. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen y = m ● x + b Wir wollen zuerst zeichnen, dann genau beobachten und dann unsere Beobachtungsergebnisse aufschreiben. Es sei b = -2 und für m wählen wir die Werte -0,5 / +0,5 / -2,5 / +2,5

  32. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Das ergibt dann die Funktionsgleichungen: y = - 0,5 x - 2 y = + 0,5 x - 2 y = - 2,5 x - 2 y = + 2,5 x - 2 Und dazu machen wir eine kleine Wertetabelle:

  33. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Wertetabelle:

  34. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen y = - 0,5 x - 2 y = + 0,5 x - 2 y = - 2,5 x - 2 y = + 2,5 x - 2

  35. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen y = - 0,5 x - 2 y = + 0,5 x - 2 y = - 2,5 x - 2 y = + 2,5 x - 2

  36. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen flach – fallend steil – steigend flach – fallend flach – steigend steil - fallend Wir prüfen gleich am die Geraden von Folie 29 auf ihre Eigenschaften:

  37. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen – Bestimmung der Funktionsgleichung Zu dieser Geraden gehört eine Funktion der Form y = m x + b Gegeben sei der Graph einer Funktion:

  38. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Hier lesen wir das „b“ einfach ab!

  39. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Die Funktionsgleichung lautet also: y = m x - 3 Wie groß ist „m“?

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  42. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

  43. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Berechnung

  44. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Es ist egal! Alle Punkte sind geeignet um die Größe m zu berechnen. Woher weiß ich, welche Punkte ich nehmen soll?

  45. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen also:

  46. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Es funktioniert sogar rückwärts WAS FÜR DIE DEUTSCHE SPRACHE NICHT GILT: sträwkcür ragos treinoitknuf sE

  47. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen ALSO:

  48. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Dieses Verfahren funktioniert natürlich auch dann, wenn die Gerade nicht durch Punkte mit glatten Werten verläuft. In diesem Fall muss gemessen werden! Wir führen das ganz genau vor.

  49. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen Diese Gerade ist ziemlich schwer zu bearbeiten. Wir markieren die Punkte, an denen die beiden Achsen geschnitten werden.

  50. Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen

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