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?berblickBeweis in der Mathematik und anderswoBeweisen in der Schule methodische ?berlegungenAufbau einer BeweiskulturBeispiele, Beispiele, Beispiele, .... T?bingen, Dez. 2005. Eine nicht mathematische Erkl?rung. Etymologisches W?rterbuchbeweisen Stamm: weisen? ?wissend machen?Aber auch
E N D
1.
Beweisen in der Schule,
selbstverständlich
und
früh beginnend
2. Überblick
Beweis in der Mathematik und anderswo
Beweisen in der Schule methodische Überlegungen
Aufbau einer Beweiskultur
Beispiele, Beispiele, Beispiele, ...
3. Eine nicht mathematische Erklärung Etymologisches Wörterbuch
beweisenStamm: weisen ? „wissend machen“
Aber auch: weismachen
? „klug machen, belehren“
seit dem 16. Jhdt. in der heutigen abwertenden Bedeutung „vormachen, vorschwindeln“
4. Alltagsbegriffe in diesem Zusammenhang
Beweis
Beweisaufnahme
Beweislast
Beweismittel
Beweissicherung
.....
5. Beweisen beginnt in der Schule schon lange, bevor diese Tätigkeit einen Namen hat.
Freudenthal
6.
Schüler klagen in Zusammenhängen mit dem Beweisen immer wieder, dass sie zwar im Unterricht die Beispiele verstehen würden, auf sich allein gestellt aber nicht wissen,
wie sie ihre Beobachtungen / Vermutung formulieren sollen,
was sie eigentlich beweisen sollen,
wie sie vorgehen sollen,
wann der Beweis fertig ist,
wie sie die erforderlichen Zwischenschritte / Hilfslinien finden können.
7. Von Pólya stammen folgende Forderungen:
Man muss einen mathematischen Satz erraten, ehe man ihn beweist;
man muss die Idee eines Beweises erraten, ehe man die Details ausführt;
man muss Beobachtungen kombinieren und Analogien verfolgen;
man muss immer und immer wieder probieren.
Das Resultat der schöpferischen Tätigkeit eines Mathematikers ist demonstratives Schließen, ist ein Beweis;aber entdeckt wird der Beweis durch plausibles Schließen, durch Erraten.
8. Entwicklung einer Beweiskultur
Herausarbeiten von Mustern und Strukturen aus geeigneten Problemstellungen in Verbindung mit Fragen und Zielen wie:
ist das immer so?
könnte es auch einmal nicht so sein?
einsehen, dass
begründen, warum
Anfangs umgangssprachliche Argumentationen zulassen, erst allmählich und schrittweise Formalisierung
Herausstellen erfolgreicher Beweisstrategien
Transfer dieser Beweisstrategien auf ähnliche Problemstellungen
Lokales Ordnen von mathematischen Sätzen unter dem Gesichtspunkt der wechselseitigen Abhängigkeit
Vergleich von verschiedenen Beweisverfahren
9.
Beispiele für die Klassenstufen 5 / 6
10. Beispiele aus der Arithmetik
11. Beweisen im Mathematikunterricht
12. Beweisen im Mathematikunterricht
13. Beweisen im Mathematikunterricht
14. Beweisen im Mathematikunterricht
15. Zweifel sind angebracht.
19. Beweisen im Mathematikunterricht
20. Beweisen im Mathematikunterricht
22. Einführung der Kongruenzsätze
Problem I Übertragen einer Strecke mit Zirkel und Lineal
Problem II Übertragen eines Winkels mit Zirkel und Lineal
Problem III
Zeichne im Heft ein Dreieck ABC, das genau die gleichen Seitenlängen und die gleichen Winkelmaße wie das Dreieck PQR hier auf dem Blatt besitzt. Es gibt mehrere Möglich-keiten, das Dreieck ins Heft zu übertragen.
Versuche möglichst viele verschiedene Wege und beschreibe, welche Streckenlängen und welche Winkelmaße du für die Übertragung verwendet hast.
37.
Beweisen in der Schule,
selbstverständlich
und
früh beginnend