Pružinový algoritmus a algoritmus úpravy hustoty pulsů ve 2D

1. Pružinový algoritmus a algoritmus úpravy hustoty pulsů ve 2D Iva Bartůňková 3.ročník 2004/05

2. Půltónování a rozptylování Procesy, převádějící obrázek se spojitými odstíny na jeho reprezentaci omezenou paletou (nejčastěji binární) Nejznámnější algoritmy: chybová difúze, maticové a náhodné rozptylování,… Nevýhoda nejběžnějších algoritmů: nepříjemné rozložení osamělých teček ve velmi světlých a velmi tmavých oblastech. Algoritmy, které nevýhodu řeší: • Modifikovaná chybová difúze • Úprava hustoty pulsů ve 2D • Půltónování na bázi stromového kódování • Pružinový algoritmus

3. Pružinový algoritmus • vylepšuje výsledek, vytvořený jiným algoritmem – tedy pouze post-zpracování • Čím se liší od ostatních alg. řešících problém? Nezávislý na algoritmu, užitém k vytvoření vstupu Zpracovává binární vstup bez znalosti původního spojitého obrázku • Úprava hustoty pixelů ve 2D • Také vylepšuje výsledek, vytvořený jiným algoritmem • Používá původní spojitý obrázek • Společné: Využití myšlenky imaginárních pružin, spojující uvažovaný bod se sousedy

4. Pružinový algoritmusHalftone Postprocessingfor Improved Rendition of Highlights and ShadowsC. Brian Atkinsy, Jan P. Allebachz, and Charles A. Boumanz Vstup algoritmu: • Obrázek se spojitými odstíny barvy • Obrázek vytvořený některým z algoritmů tvorby binárního vyjádření Myšlenka (2 části): • Určení regionů, kde může být algoritmus aplikován (algoritmus způsobuje rozmlžení hran – tedy je nutno oblasti okolo hran z aplikace algoritmu vynechat) • Přemístění osamělých pixelů za účelem stejnorodějšího rozmístění Def. Tečka Pixel jiné barvy, než přiléhající pixely – černý v bílé i bílý v černé Def. Osamělý pixel V místech extrémního tónu jednoznačný pojem.

5. Kroky algoritmu • Část algoritmu • Vytvoření binární mapy odpovídající pixelům zdroje: 0 – na tento pixel bude aplikován algoritmus 1 – na tento pixel nebude aplikován algoritmus • Část algoritmu • Určení sousedů tečky • Přesun tečky do nejbližšího lok. minima funkce e(n) • Tečka je se svými sousedy spojena imag. pružinami. U každé pružiny předpokládáme klidovou délku rovnou průměru vzdáleností tečky od sousedících teček, tedy všechny pružiny jsou ve klidovém stavu stejně dlouhé. • Funkce e(n) – každé poloze n tečky přiřazuje energii, danou vzájemným působením se sousedícími body tečky.

6. 2.část algoritmu • Přemísťování teček Probíhá v cyklu – 1 průběh = 1 průchod obrázkem Každý pixel je možným kandidátem posunu – tedy pro něj proběhne podcyklus, pokud splňuje následující podmínky: • Je prostorově oddělen od výrazných hran v obrázku – dle matice hran • Nesousedí s žádným pixelem stejné barvy = je to osamělý bod • Průměr vzdáleností od N sousedů je větší, než zvolený práh. Velikost prahu se obvykle volí 3 pixely.

7. Hledání lokálního minima funkce e(n) • Lokální minimum funkce = místo, kam chci tečku přesunou. • Posunování tečky: • série posunů o 1 pixel • Končí v lokálním minimu funkce • (k+1). posun: Posun z n(k) do pozice n(k+1), přičemž n(k) a n(k+1) jsou přiléhající pozice. n(k+1) je vybrána jako přiléhající pozice, která nejvíce zmenší funkční hodnotu e(n) Omezení: pozice n(k+1) nesmí mít žádný přiléhající pixel stejné barvy – důvod popsán v části o výběru sousedů

8. Zjištění funkční hodnoty e(n) • Energie pozice n je součet ei- energií pružin, spojujících tečku v n se sousedy: • Jak spočtu ei(n) ? • Jak spočtu di (n)? Kde di (n) je vzdálenost mezi n – pozicí tečky a jejím i-tým sousedem. A kde r je klidová délka pružiny. • Jak spočtu r ? Kde n(0) je počáteční pozice tečky

9. Příklady rozložení energie a posunů teček -vrstevnice spojují místa se stejnou f-ční hodnotou (a),(b) – přibližně konvexní vrstevnice (c) Lokálních minim bývá často několik (d) Pokud už se bod v minimu nachází, k posunu nedojde

10. Hledání sousedících teček • Cíl výběru: Maximálně stejnorodý výsledek • Výběr N teček: • Vezmu tu nejbližší z každé z N pravidelných úhlových výsečí okolo tečky • Pro každou tečku výseče orientuji náhodně. • Možný problém výběru: • Vznik přiléhajících teček tím, že ignorovaná tečka je náhodou zrovna v lok. minimu, do něhož chci uvažovanou tečku posunout. Ošetřeno 3. podmínkou výběru tečky jako kandidáta posunu. • Počet sousedů: Autoři algoritmu experimentálně určili za vhodné N = 4. • Počet cyklů algoritmu: Již dvě opakování algoritmu dají dobrý výsledek, který se dalšími opakováními zlepšuje jen málo

11. 2.část algoritmu - Tvorba mapy okrajů • Vytvoříme binární mapu E: 1 – pixel je blízko od okraje 0 – ostatní Důvod: Algortitmus jinak rozmlží ostré hrany a okraje v obrázku Algoritmy tvorby mapy E: • algoritmus autorů - C. Brian Atkinsy, Jan P. Allebachz, and Charles A. Boumanz • Dále např.: K.-C. Fan and C.-C. Han, „Parallel mechanism for detecting contours in binary images," Electronic Imaging, vol. 3, no. 1, pp. 30, 36, 1994.

12. Algoritmus autorů • Výslednou mapu E získáme jako logické OR map a Ed a El • El mapa hran ve světlých regionech • Ed mapa hran v tmavých regionech • Mapy Ed a El získáme blokovou replikací z el a ed , což jsou mapy, v nichž 1 prvek odpovídá bloku LxL(tzv. L-bloku) v Ed a El • L – tzv. vzorkující faktor

13. Algoritmus autorů-pokračování • Jak vytvořit el a ed ? Vytvořím D – matici čísel z intervalu{0,..,L2}, kde prvek je roven počtu tmavých pixelů v L bloku

14. Konstrukce el • Matice el: 0 - byla-li v odpovídajících 2x2 prvcích matice D detekována hrana 1 – jinak Detekce hrany v 2x2 bloku v D: - pronásobením 2x2 bloku vertikálním a horizontálním operátorem (viz obrázek) získám dvě čísla – ta porovnám s proměnným prahem t. Je-li alespoň jedno z nich větší, hrana byla detekována. t = K1(o) + K2, Kde o je součet hodnot v 2x2 bloku matice D a K1 a K2 jsou kladné konstanty. • Matice ed: konstrukce je obdobná, jen místo D použiji Dinv • Dinvij= L2-Dij

15. Výběr konstant a prahů • Výpočet prahu t: • t závisí na o, tedy je algoritmus nejcitlivější na hrany právě v nesvětlejších (nejtmavších) místech. • Závislé t funguje alespoň tak dobře jako pevné t. • Konstanta K1: ve většině případů je výsledek s nenulovým K1 obdobný nulovému případu, v některých situacích je ale výrazně lepší • Jak získat nejlepší K1 a K2? • Zkoušením pro konkrétní vstup, ideální hodnoty neznáme. Autoři odporučují K1 z [0.0,0.6] a K2 z [2.0,8.0]. • Jak vybrat faktor L? • Velké L – příliš hrubá mapa hran, malé L způsobí malý rozsah bloku a znehodnocení vyhledávání hran. Experimenty určily jako nejlepší volbu L = 8.

16. Výsledky algoritmu Následující obrázky – vždy čtveřice: • Původní obrázek • Po užití pružinového algoritmu • Matice okrajů • Pružinový algitmus bez použití matice okrajů Rozlišení: 100 dpi

17. Naskenovaný obrázek, chybová difúze

18. Foto z CD, chybová difúze

19. Problémy algoritmu • Posunutí toho, co posunuto být nemá a neposunutí toho, co posunuto být má • Červí efekt chybové difúze označen za hranu • Nerozpoznání hranice LH obdélníku • => Někdy tečky prosáknou mezerou v matici hran

20. Shrnutí – pružinový algoritmus • Algoritmus vylepšuje rozmístění osamělých pixelů v oblastech extrémního tónu. Používá k tomu přesun teček definováním vztahů se sousedními tečkami a přesunutím na energeticky nejvýhodnější pozici. Přesouvá pouze tečky v regionech, kde nebyla detekována hrana, aby se předešlo případnému rozmlžení ostrých linií.

21. Obrázek vytvořen Photoshopem, rozptylování maticí 128x128

22. Algoritmus úpravy hustoty pulsů ve 2D (2-D PULSE DENSITY MODULATION BY ITERATION FOR HALFTONING)PDM Autoři: R.Eschbach a R.Hauck Binarizační algoritmus pro vylepšení výsledku půltónování a rozptylování. Myšlenka: Obrázek lze chápat jako spojitou vektorovou funkci (Fx,Fy). A body binární reprezentace mohu vyjádřit jako přítomnost nebo nepřítomnost pulsu fixní velikosti.

23. Fyzikální model Obecný algoritmus PDM: Použití pro kódování spojitého signálu. Jak? Fixní pulsy a měnící se rozteče pulsů Nalezení odpovídajícího rozložení: Vyjádření pulsů jako bodů se silami, které mezi body působí. Body = centra pulsů Síly mezi body jsou závislé na roztečích tak, aby rovnovážná pozice vyjadřovala odpovídající rozložení Výpočet síly působící mezi dvěma body Fíj =K(Iij)/D2ij(1) Dij – vzdálenost mezi dvěma body K(Iij) – závislá na velikosti signálu v středu mezi body i a j

24. Implementace cyklem v 1D I(x) – nyní 1D signál, v pro naše účely nekonstantní Případ konstantní I(x): Logické omezení: Maximální velikost I je dána minimální možnou roztečí pulsů D0 Dij = D0/I Tedy 0<I<=0. Síly působí pouze mezi sousedícími body. Def. Rovnovážný stav F12=…=Fij=…F N-1,N = F0 Rovnovážný stav tedy vede ke vztahu K(I)= D20 F0 /I2

25. Případ nekonstantní I(x) Zobecnění ( do (1) dosadíme (4) ): Fij= D20 F0 /I2D2ij (5) F0 – libovolná, ale nenulová Rovnovážný stav s použitím (5) se dosáhne: Pro každý bod spočtu síly působící mezi ním a sousedy. Bod posunu podle výsledné síly. To celé provádím, dokud není velikost posunů menší, než zvolená přesnost. V případě 1D vede libovolné původní rozložení pulsů vždy na stejné výsledné rozložení

26. 1D – úprava hustoty pulsů • Signál f(x) • Výchozí rozmístění, použity stejné rozteče • Pružiny= působící síly, Křivky = posun bodů, situace po 100 cyklech (d) Výsledné rozložení pulsů

27. Implementace cyklem ve 2D Rozšíření 1D konceptu na 2D Každý bod nyní sdílí vzájemné působení s množinou bodů, tzv. sousedů Počet sousedů však na rozdíl od 1D není zřejmý. Logické omezení ve 2D D2ij = D20/I Dáno poměrem plochy odpovídající pulsu a plochy okolí – to je vždy čtverec vzdálenosti.

28. Síly působící mezi body Modifikace 1D na 2D: Fij= eijD20 F0 /I2D2ij eij – jednotkový vektor Cyklus probíhá stejně jako v 1D, pouze s vektorovými veličinami.

29. Vlastnosti 2D PDM • Výsledek je různý v závislosti na počátečním rozložení pulsů Důvody • Výběr sousedů není jednoznačný • Sousedi bodu mohou být v různých cyklech různí • Výběr sousedů Autoři algoritmu použili 8 nejbližších bodů

30. Výsledky algoritmu Obrázky (a) vytvořeny náhodnou distribucí bodů, (b) po 43 cyklech 2D PDM

31. 2D PDM - Shrnutí • PDM – obzvláště vhodné pro scannery • Fyzikální koncept aplikovatelný na libovolný počet dimenzí. • Výsledek algoritmu závisí na • Počátečním rozmístění bodů • Parametrech algoritmu • Počtu sousedů (Chybová difúze místo náhodné distribuce výrazně zlepší výsledek) • Problémy algoritmu Časově velmi náročný – praktická použitelnost spíše v rozumné kombinaci s jinými PDM metodami