UNIDAD 4

1. UNIDAD 4 LA DERIVADA “El concepto de límite de una función, El cambio: motor fundamental del universo, Derivación de funciones” Dr. Daniel Tapia Sánchez

2. En esta actividad aprenderás a: • Describir con sus palabras el concepto de derivada. • Interpretargeométricamente la derivada. • Definirla derivada de unafunción en un punto. • Interpretarla derivadacomounarazón de cambio.

3. Estos son los temas que estudiaremos: 4.1 El concepto de límite de una función 4.2 El cambio, motor fundamental del universo 4.2.1 El cambio en el universo 4.2.2El cambio en la Mercadotecnia 4.2.3Cómo cambian las funciones? 4.3 Derivación de funciones 4.3.1 Definición de la Derivada 4.3.2 Reglas de derivación.

4. 4.1 El concepto de límite El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande

5. Sea una función y un número real. La expresión significa que se puede acercar tanto a como se quiera haciendo suficientemente cercano a .

6. 4.2 El cambio, motor fundamental del Universo. • La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo. • La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo • La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición • La inflación: Como cambian los precios con el tiempo • El cáncer: Cómo crecen los tumores con el tiempo • Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo • Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?

7. 4.1 El cambio, motor fundamental del Universo. Las funciones “describen” la evolución de las variables dinámicas de los sistemas

8. 4.2.3¿Cómo cambian las funciones?

9. ¿Cómo cambian la función?.

10. ¿Cómo cambia la función?. • Cuando va de 0 a 1 crece en 4 • Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece) • Cuando va de 1 a 2 crece en 10 • Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)

11. ¿Cómo cambia la función entre x y x’?

12. ¿Cómo cambia la función entre x y x’?

13. ¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’?

14. ¿Cómo cambia esta otra función entre x y x’? La recta azul es la secante a la curva

15. 4.2 Definición de la derivada La derivada de una función es la razón de cambio de dicha función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores de y, cuando x cambia una cierta cantidad.

16. La Pendiente de una Curva La derivada de una función puede analizarse también a partir de la pendiente de una curva. ¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?

17. Q y P x a x y = f(x) El problema de la recta tangente Pendiente de la recta secante:

18. y Q El problema de la recta tangente y = f(x) P a x x Pendiente de la recta secante:

19. y El problema de la recta tangente y = f(x) Q P x a x Pendiente de la recta secante:

20. y El problema de la recta tangente y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:

21. y El problema de la recta tangente y = f(x) Q P a x x Pendiente de la recta secante:

22. y El problema de la recta tangente y = f(x) P a x Pendiente de la recta tangente:

23. Cómo determinamos la derivada de una función? Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.

24. Reglas para encontrar la derivada de una función. Sea la función: La derivada de esta función es:

25. Derivadas especiales Sea la función: La derivada de esta función es:

26. Derivadas especiales La derivada de esta función es: Sea la función:

27. Ejemplos de derivadas Sea la función: La derivada de esta función es:

28. Ejemplos de derivadas Sea la función: La derivada de esta función es:

29. Ejemplos de derivadas Sea la función: La derivada de esta función es:

30. Derivada de una suma y diferencia de funciones La derivada de la suma o diferencia es: Sea la función:

31. Ejemplos Sean las funciones:

32. Ejercicios propuestos Deriva las siguientes funciones:

33. Derivada de un producto de funciones Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

34. Ejemplo Consideremos el siguiente producto de funciones Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4 y recordando la regla para derivar productos de funciones tenemos que

35. Ejercicios propuestos Resuelve el producto de funciones:

36. Ejercicios propuestos Deriva este otro producto de funciones:

37. Derivada de un producto de varios factores Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir su derivada será:

38. Ejemplo: Derivemos la siguiente expresión:

39. Derivada de un cociente: Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

40. Ejemplo: Consideremos el siguiente cociente de funciones Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones tenemos que

41. Ejemplo: Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.

42. Ejemplo: Sea

43. Ejemplo: Sea

44. Derivada de una función elevada a una potencia: Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

45. Ejemplo: Consideremos el siguiente cociente de funciones Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena tenemos que

46. Ejemplo Sea La función puede escribirse también de la siguiente forma: y

47. Ejemplo Sea

48. Ejemplo

49. x en radianes Derivadas de las funciones trigonométricas