PROBABILIDAD

1. PROBABILIDAD Conceptos básicos

2. Probabilidad • A la Estadística Descriptiva le concierne el resumen de datos recogidos de eventos pasados. • A la Estadística Inferencial le concierne el cálculo de la probabilidad de que algo ocurra en el futuro. • En muchas situaciones, la toma de decisiones se efectúa en condiciones de incertidumbre. • La teoría de la probabilidad resulta muy útil en estos casos.

3. Enfoques de la probabilidad • Clásico. Los resultados de un experimento son igualmente posibles. • Empírico ó de frecuencia relativa. Se basa en el número de veces que ocurre el evento.

4. Subjetivo. Se basa en la probabilidad que le asignen a determinado evento, personas con experiencia en el campo y que tengan más información.

5. Distribuciones de Probabilidad • Una distribución de probabilidad es un listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cada resultado. • Por ejemplo, si se lanza al aire una moneda.

6. Algunos conceptos • Variable aleatoria. Cantidadqueresulta de un experimentoque, porazar, puedeadoptardiferentesvalores. • Porejemplo, si se cuenta el número de alumnosque no vinieronhoy a clase, puedetomarvalores de 0, 1, 2, . . . El número de ausenciasesuna variable aleatoria. • Variable aleatoriadiscreta. Adoptasolamentevaloresclaramenteseparados(el ejemplo de la moneda).

7. Variable aleatoria continua. Resulta de un proceso de medición, por lo que no conoceremos el resultado exactamente. • Las variables aleatorias discretas y continuas , al organizar sus posibles valores, forman las distribuciones de probabilidad discretas y continuas, respectivamente.

8. Algunos ejemplos de distribuciones discretas y continuas

9. Distribuciones de probabilidaddiscretas • Binomial Características: • Los resultadospueden ser éxito ó fracaso. • La v.a. permitecontar el número de éxitos en unacantidadfija de pruebas. • La probabilidad de éxito y fracasoes la mismaparacadaprueba. • Las pruebas son independientes, esdecir, el resultado de unaprueba no influye en el resultado de otraprueba.

10. Modelo matemático. El 5% de los engranajes de tornillo producidos en una fresadora automática de alta velocidad Carter-Bell se encuentra defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que, en seis engranajes seleccionados al azar ninguno se encuentre defectuoso?¿Exactamente uno?¿Todos?

11. Hipergeométrica. Características • Los resultadospueden ser éxito ó fracaso. • La v.a. es el número de éxitos de un númerofijo de pruebas. • Las pruebas no son independientes. • Los muestreos se realizan con unapoblaciónfinita sin reemplazo, por lo que la probabilidad de éxito cambia en cadaprueba.

12. Modelomatemático • Play Time Toys tiene 50 empleados en el área de ensamble. Cuarentaempleadospertenecen al sindicato y diez no. Se eligen al azarcincoempleadosparaformar un comitéquehablará con la empresasobre los horarios de inicio de los turnos.¿Cuáles la probabilidad de quecuatro de los cincoempleadospertenezcan al sindicato?

13. Poisson. Características • La v.a. es el número de vecesqueocurre un eventodurante un intervalodefinido. • La probabilidad de queocurra el eventoesproporcional al tamaño del intervalo. • Los intervalos no se superponen y son independientes.

14. Modelo matemático Un promedio de dos automóviles ingresan por minuto a cierta autopista. La distribución de ingresos se aproxima a una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún automóvil ingrese en determinado minuto?

15. Distribuciones de ProbabilidadContinuas • Distribución normal. Características. • Tiene forma acampanada. • El área total bajo la curvaesigual a 1.0 • La media, mediana y moda son iguales y están en el centro de la curva. • Las colas de la curva se extiendenindefinidamente en ambasdirecciones.

16. Modelo matemático

17. Estandarización de datos • Un grupo de alumnos obtuvo 85 como promedio general en un examen con una desviación estándar de 6. Convertir las siguientes calificaciones a unidades estándar (a unidades z). • A) 90 • B) 70 • C) 85

18. Cálculo de áreasbajo la curva normal • De z = 0 a z = 1.23 • De z = 0 a z = -2.14 • De z = -1.28 a z = 3.11 • De z = 0.46 a z = 1.83 • De z = -1.45 a z = -0.28 • A la derecha de z = -2.44 • A la izquierda de z = -2.56 y a la derecha de z = 3.22

19. Aplicaciones • Un grupo de 40 alumnosobtuvo 85 comopromedio general en un examen con unadesviaciónestándar de 6. ¿Cuántosalumnosaprobaron? • De acuerdo a cifras del gobierno, el reembolsomedio de impuestos en 2004 fue de $2,454. Supongaque la desviaciónestándares de $650 y quelassumasdevueltastienenunadistribución normal. a) ¿Quéporcentaje de reembolso son superiores a $3,000? b)¿Quéporcentaje son superiores a $2,500 e inferiores a $3,500?

20. Distribuciones muestrales • En la práctica, cuando se investigaya sea un nuevoproducto, la proporción de votantesque se inclinarápor un candidato, etc., no se toma un elemento de la poblaciónparasuestudio y luegootroelemento, etc., sino se tomaunamuestra de determinadotamaño; por lo tanto, tendremosquetrabajar con distribucionesmuestrales.

21. Razones para muestrear • Establecercontacto con toda la poblaciónrequeriría mucho tiempo. • El costo de estudiartodos los elementosseríaprohibitivo. • Es imposibleverificar de manerafísicatodos los elementos de la población. • Algunaspruebas son de naturalezadestructiva. • Los resultados de la muestra son adecuados.

22. Distribuciónmuestral de la media Suponga que la tabla siguiente muestra la antigüedad en años en el trabajo de tres maestros del tecnológico. Suponga además que se seleccionan muestras aleatorias de tamaño 2 sin reemplazo.

23. a) ¿Cuáles la media de la población? b) ¿Cuáles la desviaciónestándar de la población? c) ¿Cuáles la distribuciónmuestral de la media paramuestras de tamaño 2? d) ¿Cuáles la media de la distribuciónmuestral de la media?

24. Teorema del Límite Central • Si todaslasmuestras de un tamaño particular se seleccionan de cualquierpoblación, la distribuciónmuestral de la media se aproxima a unadistribución normal. Estaaproximaciónmejora con muestrasmásgrandes. • Si el tamaño de la muestra (n) esigual ó mayor a 30, podemosconsiderarque los datosproceden de unadistribución normal.

25. La importancia del TLC esquenospermiteusarestadísticas de la muestraparahacerinferenciassobreparámetros de la población, sin saber la forma de la distribución de frecuencia de esapoblación, másque lo quepodamosobtener de la muestra.

26. Aplicación del TLC • La distribución de los ingresosanuales de todos los cajeros de un banco con cincoaños de experienciaestásesgadanegativamente (hacergráfica). Estadistribucióntieneuna media de $19,000 y unadesviaciósestándar de $2,000. Si extraemosunam.a. de 30 cajeros, ¿Cuáles la probabilidad de quesusgananciaspromedienmás de $19,750?

27. Ejemplos de distribuciones muestrales de una media con desviación estándar poblacional conocida • Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

28. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine: • El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. • El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

29. Distribución t de Student • Desarrolladapor William Gossett. • Publicósutrabajo con el seudónimo de Student. • La distribución t esmásbienunafamilia de distribucionescuya forma (y valores )dependen de los grados de libertad. • Tiene forma acampanada y essimétrica. • La distribución t esmásdensa en las colas y másbaja en el centroque la distribución de z. • Se utilizacuando el tamaño de muestraespequeño y se desconoce la varianzapoblacional (es lo queocurremásfrecuentemente).

31. Ejemplos de distribuciones muestrales de una media con desviación estándar poblacional desconocida • Supongaque un fabricante de alambre de aceroafirmaque la fuerzarequeridapara romper unaclase de alambre dada es de 500 libras. Para probarésto, se tomaunamuestra de 25 piezas de estetipo de alambre y se somete a tracción. La media y la desviaciónestándarresultan 465 libras y 55 libras, respectivamente. Suponiendoque los esfuerzos de rotura se puedenconsiderarcomounamuestraaleatoriatomada de unapoblación normal con μ = 500 ¿Qué podemosdecidirrespecto a la afirmación del fabricante?