O que é logaritmo?

1. Você já ouviu falar em logaritmo? O que é logaritmo?

2. A invenção dos logaritmos • Na passagem da Idade Média para a Idade Moderna (séculos XIV a XVI), os países da Europa Ocidental sofreram profundas transformações. Acompanhando essas mudanças econômicas, políticas e sociais, ocorreu também um extraordinário desenvolvimento da arte, da cultura e das ciências. • Essa revolução cultural ficou conhecida como o Renascimento. Foi a época em que as grandes navegações ampliaram os limites do mundo.

3. O desenvolvimento da navegação e da Astronomia trouxe consigo cálculos aritméticos longos e trabalhosos. Cada vez mais havia necessidade de descobrir um processo que permitisse simplificar esses cálculos. Muitos matemáticos passaram a se ocupar com esse problema. • A solução foi encontrada, ao mesmo tempo, por Jost Bürgi (1552-1632), relojoeiro, matemático e inventor suíço, e John Neper (1550-1617), teólogo escocês.

4. Bürgi, em 1620, e Neper, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, que permitiam a simplificação de cálculos aritméticos complicados. • Logo após a publicação de sua primeira tabela, Neper, juntamente com o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), elaborou uma nova tábua, mais fácil de ser utilizada, contendo os chamados logaritmos decimais. • Atualmente, embora as tábuas de logaritmos já não sejam tão usadas como instrumento d cálculo, os logaritmos continuam sendo de grande importância em áreas do conhecimento humano.

5. Mas, o que é logaritmo? • Reproduzimos, a seguir, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 1617. Na versão original, os números indicados na coluna 10m variavam de 1 a 1000 e os indicados na coluna m apresentavam até catorze casas decimais:

6. Analisando um trecho da tabela de Briggs, podemos escrever: 102,004321 = 101 102,008600 = 102 102,012837 = 103 102,017033 = 104 102,021189 = 105

7. Os expoentes de 10 são denominados logaritmos. • Assim: - O expoente 2,004321 é o logaritmo de 101 na base 10. - O expoente 2,008600 é o logaritmo de 102 na base 10. • E assim por diante. • O que significa dizer que o número 2,004321 é o logaritmo de 101 na base 10? • Significa que 102,004321 é igual a 101 (na verdade, aproximadamente igual).

8. Na escrita, usa-se o símbolo log para simplificar a notação de logaritmo. Escrevemos: log10 101 = 2,004321. • Desse modo, a tabela de Briggs pode ser reescrita com a seguinte indicação:

9. A palavra logaritmo foi empregada pela primeira vez por Neper e se originou da composição das palavras gregas logos(razão) e arithmos (números)

10. Definição de logaritmos • Considere N e a números reais positivos, com a 1. Definimos: onde: a: base do logaritmo N: logaritmando x: logaritmo de N na base a

11. Exemplos: 1) log10 105 = 2,021189 equivale a 102,021189 = 105. 2) log3 9 = 2 equivale a 32 =9. 3) log5 5 = 1 equivale a 51 = 5. 4) log7 1 = 0 equivale a 70 = 1. 5) log10 0,1 = -1 equivale a 10-1 = 0,1. 6) log2 215 = 215 equivale a 215 = 215.

12. As restrições impostas à base a (a > 0 e a 1) do logaritmo garantem a existência da unicidade de qualquer número positivo. • Exemplo: Se log2 7 = x, então 2x = 7. Observando o gráfico da função y = 2x, verificamos que esse valor existe e é único. • Observação: Quando a base do logaritmo é 10, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim, log10 N = log N.

13. O uso dos logaritmos • Como calcular (1,05)100, sem usar calculadora? • O valor dessa potência pode ser obtido facilmente através de uma tabela de logaritmos. • Considere N = (1,05)100 e observe a tabela abaixo:

14. Temos: log10 1,05 = 0,021189, isto é, 100,021189 = 1,05 • Assim: N = (1,05)100 = (100,021189)100 = 102,118900 • O número cujo logaritmo é 2,11890 é obtido na tabela: 131,49. Logo, N = (1,05)100 = 131,49.

15. Os logaritmos também podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento humano. Por exemplo, na medição de terremotos. Para medir a energia liberada pelo tremor em forma de ondas, uma das escalas mais utilizadas é a escala Richter. • Considere R1 e R2 indicações das intensidades de dois terremotos na escala Richter; e M1 e M2, energias liberadas por esse tremores. • A relação entre R1 e R2 é dada por:

16. O logaritmo e o cálculo mental • Determinados cálculos que envolvem logaritmos são tão simples que podem ser feitos mentalmente. • Exemplo: Descobrir o valor de x, em cada item: a) log2 x = 5 b) log3 9 = x c) logx 8 = 3 d) log 10x = 7

17. Solução: a) log2 x = 5  25 = x. Portanto, x = 32. b) log3 9 = x  3x = 9. Portanto, x = 2. c) logx 8 = 3  x3 = 8. Portanto, x = 2. d) log 10x = 7. Lembrando que log N = log10 N, temos: log 10x = 7  log10 10x = 7. Logo, 10x = 107. Portanto, x = 7.

18. O uso da tabela no cálculo de logaritmos • Exemplo: Consultando a tabela ao lado, calcular: a) 2,375 . 4,850 b) 11,519 : 5,773 c) (1,995)10 d)

19. Solução: a) log 2,375 = 0,3757 significa que100,3757 = 2,375. log 4,850 = 0,6857 significa que100,6857 = 4,850. Assim: 2,357 . 4,850 = 100,3757 . 100,6857 = 100,3757 + 0,6857 = 101,0614. Pela tabela, 101,0614 = 11,519, isto é, log 11,519 = 1,0614. Logo, 2,375 . 4,850 11,519.

20. Solução: b) log 11,519 = 1,0614 significa que101,0614 = 11,519 log 5,773 = 0,7615 significa que100,7615 = 5,773. Assim: 11,519 : 5,773 = 101,0614 : 100,7615 = 101,0614– 0,7615 = 100,2999. Pela tabela, 100,2999 = 1,995, isto é, log 1,995 = 0,2999. Logo, 11,519 : 5,773 1,995.

21. Solução: c) log 1,995 = 0,2999 significa que 100,2999 = 1,995. Assim: (1,995)10 = (100,2999)10 = 100,2999 . 10 = 102,999. Pela tabela, 102,999 = 998,686, isto é, log 998,686 = 2,999. Logo, (1,995)10 998,686.

22. Solução: d) log 998,686 = 2,9994 significa que 102,9994 = 998,686. Assim: Pela tabela, 101,4997 = 31,602, isto é, log 31,602 = 1,4997. Logo, 31,602.