Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas

1. Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas Método Gráfico

2. Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas Fábio e João vão disputar uma partida de lançamento de dardos. Combinaram só valer ponto quando se acertasse o centro do alvo. Cada um lançaria dez vezes. Considere a seguinte situação: Terminada a partida, os dois, juntos, haviam marcado 6 pontos. Fábio ganhou por uma diferença de 4 pontos. Quantos pontos fez cada um? Representemos por x o total de pontos de Fábioe por y os pontos de João. Os números x e y são naturais.

3. 1ª Informação: A soma dos pontos obtidos foi 6. Podemos indicar essa informação por x + y = 6 A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados: (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),(6, 0) 2ª Informação: A diferença entre os pontos obtidos por Fábio e por João é 4. Podemos indicar essa informação por x - y = 4 A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados: (4, 0), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6)

4. A única solução comum às duas equações é o par ordenado (5, 1). Logo concluímos que Fábio fez 5 pontos e João, 1 ponto. X + Y = 6 X – Y = 4 As equações representadas constituem um exemplo de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas. O par ordenado (5, 1), que verifica simultaneamente as duas equações, é a solução do sistema.

5. Resolução de Sistemas

6. Método da Substituição Esse método consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e substituir a expressão encontrada na outra equação. Exemplo1: Resolver o sistema pelo método da substituição. Vamos escolher, por exemplo, a equação X + Y = 5 e isolar a incógnita X. X = 5 – Y X + Y = 5 X – Y = 3 Agora, substituindo x por (5 – Y) na equação X – Y = 3, temos: (5 – Y) – Y = 3. Resolvendo a equação achamos Y = 1 Substituindo Y por 1 na equação X + Y = 5, encontramos o valor de X = 4. Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 1)

7. Exercício de Fixação Resolva estes sistemas pelo método da substituição:

8. Método da Adição Para resolver um sistema pelo método da adição, adicionamos membro a membro as equações de modo a anular uma das incógnitas. Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da adição. Para resolvê-lo, vamos adicionar membro a membro as duas equações. X + Y = 8 X – Y = 6 2X = 14, logo X = 7 X + Y = 8 X – Y = 6 Substituindo X por 7 na equação X + Y = 8, temos que Y = 1 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (7, 1)

9. Exercício de Fixação Resolva estes sistemas pelo método da adição:

10. Método da Comparação Para resolver um sistema pelo método da comparação, determinamos o valor de uma das incógnitas na equação 1 (por exemplo) , depois determinamos o valor da mesma incógnita na equação 2 e finalmente comparamos as igualdades das equações. Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da comparação. Iremos isolar a incógnita x em ambas as equações. X = 10 - Y X = 14 – 3Y 10 – y = 14 – 3 Y, logo Y = 2 X + Y = 10 X + 3Y = 14 Substituindo Y por 2 na equação X = 10 - Y, temos que Y = 8 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

11. Exercício de Fixação Resolva estes sistemas pelo método da comparação: X + Y = 20 X – 3Y = -12 Y = 3X + 2 2X – Y = -4 X + Y = 5 X – Y = 1 (3, 2) (12, 8) (2, 8)

12. Estas balanças estão equilibradas • Chame de x a massa da pêra e de y a massa da maçã. Determine o sistema de equações correspondente a essa situação. • Resolva o sistema • Quantos gramas têm a pêra e a maçã?