Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • I Liceum Ogólnokształcące im. Adama Asnyka w Kaliszu • ID grupy: 97_60_MF_G2 • Opiekun: Ewelina Lis-Jarnuszkiewicz • Kompetencja: • Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Paradoksy nieskończoności • Semestr/rok szkolny: 2011/2012 • …………………………………………………….

3. Paradoksy nieskończoności

4. Kilka definicji… • Paradoks - w uproszczeniu, jest to coś (np. stwierdzenie), co ma pozory fałszu, choć (po stosownej analizie) okazuje sie prawda (w odpowiednio zmodyfikowanym języku). • Antynomia- to sprzeczność logiczna. • Sofizmat. To rozumowanie, które ma pozory poprawności, ale (po stosownej analizie) okazuje sie niepoprawne. • Uwaga!!! • W terminologii anglosaskiej używa sie terminu paradox zarówno dla antynomii, jak i dla paradoksów.

5. Czym jest nieskończoność? • Nieskończoność (symbol: ∞) – byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku nieskończoności, symbolem podobnym do przewróconej ósemki (lemniskata). • Sam symbol zapewne oznacza powtarzalność cyfr w liczbach jak również to, że całkowita suma cyfr w liczbie dąży do określonej cyfry od 1 do 9 gdyż system dziesiętny jest ogólnie przyjętą symboliką.

6. Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał: • „…nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej…”

7. Dawno, dawno temu… • Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. • Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). • Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

8. Znane paradoksy

9. Hotel nieskończoność, czyli hotel hilberta • W pewnym hotelu jest nieskończona ilość pokoi, wszystkie są zajęte. Wyobraźmy sobie, że przychodzi jeszcze jeden gość i prosi o pokój. Co robi portier? Osobę z pokoju nr 1 przenosi do „2”, osobę z „2” do „3”,…, osobę z pokoju nr n do pokoju n+1. Następuje swoiste przekwaterowanie. W wyniku tych zmian, wolny staje się pierwszy pokój, gdzie zamieszka nowy gość… • A co zrobi pomysłowy portier, jeśli przyjedzie autobus z nieskończoną ilością gości?

10. W hotelu… • Cóż, jeśli przyjedzie dodatkowy autobus, nasz sprytny portier przekwateruje gości do pokoi parzystych, czyli osoba z pokoju o numerze n zamieszka w pokoju o numerze 2n, uzyskamy wtedy nieskończoną ilość pokoi o numerach nieparzystych… • Sytuacja jest podobna, gdy przyjedzie nieskończona liczba autobusów o nieskończonej liczbie pasażerów… • Wystarczy sprytne przekwaterowanie…

11. Paradoksy zenona z elei…

12. dychotomia • Sprinter ma do przebiegnięcia skończony dystans. Zanim jednak pokona całą odległość musi najpierw dobiec do 1/2 długości, ale zanim dobiegnie do 1/2 musi najpierw dobiec do 1/4, ale zanim dobiegnie do 1/4 musi najpierw dobiec do 1/8, i tak w nieskończoność. Wynika z tego, że biegacz ma do przebycia nieskończoną liczbę odcinków o skończonej długości. Ponieważ nie da się pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonym czasie, biegacz nigdy nie ukończy biegu. • Co więcej biegacz nie może w ogóle rozpocząć biegu

13. Achilles i żółw • Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dowolny, skończony dystans. Achilles potrafi biegać 2 razy szybciej od żółwia i dlatego na starcie pozwala oddalić się żółwiowi o 1/2 całego dystansu. Achilles, jako biegnący 2 razy szybciej od żółwia, dobiegnie do 1/2 dystansu w momencie, gdy żółw dobiegnie do 3/4 dystansu. • W momencie gdy Achilles przebiegnie 3/4 dystansu, żółw znowu mu "ucieknie" pokonując 7/8 dystansu. • Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw znowu będzie od niego o 1/16 dystansu dalej, i tak dalej w nieskończoność.

14. Rozwiązania paradoksów starożytnych • W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków daje odcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebny do pokonania go również jest skończony. • Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązać za pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi do czasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem.

15. Paradoks galileusza • W dziele „Discori” Galileusz zauważa, że liczb kwadratowych postaci 1, 4, 9, 16, . . . jest tyle samo co wszystkich liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, . . ., • Przeczyło to jednak intuicji, która mówiła, ze część musi być mniejsza od całości.

16. Paradoksy sumy nieskończonej • Przeanalizujmy: • 0 = 0 + 0 + 0 + . . . + 0 + . . . • 0 = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . + (1 − 1) + . . . • 0 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . . • 0 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . + (−1 + 1) + . . . = 1 • 0 = 1 • Cóż…

17. …oraz • Jeszcze jeden przykład. Weźmy s=0 • s = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . . • s = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . .) = 1 − s • s = ½ • Zatem 0 = ½ !!!!

18. Ile jest równa liczba 0,(9)??? • Niech x=0,999999999… Zatem • 10x=9,999999999… Odejmując stronami: • 9x=9 Po podzieleniu: • x=1 • Czyli 0,(9) = 1.

19. Podobnie 0,4(9)… • x=0,4999999999… • 10x=4,9999999999… • 9x=4,5 • x=0,5 • Zatem 0,4(9) = 0,5 • Analogicznie inne przykłady, z 9 w okresie, np. • 2,(9)=3 • 3,67(9)=3,68 itd.

20. Nieskończoność w innej odsłonie czyli fraktale • Nieskończoność obserwujemy w przypadku fraktali. Powstają jako iteracje pewnych funkcji, najczęściej ciągu zbiorów, niejako kopiując „samego siebie” poprzez odwzorowania zwężające. • Mówiąc po prostu powstają poprzez powtarzanie w nieskończoność pewnego fragmentu, pewnego „zabiegu” czyli iterując postępowanie. • Zbiory fraktalne posiadają zadziwiające własności, szczególnie w kontekście wymiaru oraz tzw. samopodobieństwa.

21. Przykłady fraktali…

22. Fraktale w matematyce Dywan Sierpińskiego Trójkąt Sierpińskiego

23. Bryły fraktalne Kostka Mengera Piramida Sierpińskiego

24. Krzywa peano …to też fraktal… W każdym kroku długość krzywej zwiększa się trzykrotnie, oraz długość pojedynczego odcinka maleje trzykrotnie, z czego wynika, że długość w krzywej k-tym kroku wynosi 3k, a długość pojedynczego odcinka 1/3k.

25. Liczebność zbiorów

26. Moc zbioru • To własność zbioru, która opisuje jego liczebność. • Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. • Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów - zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru. Zbiory równoliczne mają tę samą moc.

27. Liczby kardynalne • Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi. • Liczba kardynalna jest naturalnym uogólnieniem liczby elementów zbioru skończonego, w szczególności moc zbioru n-elementowego wynosi dokładnie n. • Zatem mocą zbioru pięcioelementowego jest po prostu 5. • Znamy jednak jeszcze inne zbiory niż skończone, zbiór liczb naturalnych, wymiernych, podzielnych na 6 itp.

28. Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych • Zbiór parzystych (i nieparzystych) liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych (innymi słowy, zbiór nieskończony może być równoliczny ze swoim właściwym podzbiorem!) - funkcja wzajemnie jednoznaczna może być opisana, na przykład jako ciąg par {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), ... } • Zbiór liczb pierwszych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (argumentacja podobna jak wyżej) • Zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych. Funkcja wzajemnie jednoznaczna między tymi zbiorami może być opisana, na przykład, w postaci ciągu: {(1,0), (2,1), (3,-1), (4,2), (5,-2), (6,3), (7,-3)...}

29. Zbiór przeliczalny • Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować”. • Zbiór przeliczalny to zbiór skończony lub zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. • Zatem znanymi nam zbiorami przeliczalnymi to: zbiór liczb naturalnych i całkowitych oraz ich podzbiory. • A zbiór liczb wymiernych?

30. Czy zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny? Czy można go ustawić w ciąg nie pomijając żadnego elementu? Spróbujmy… • (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), …(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), …(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), ………………………………..(k,1), (k,2), (k,3), (k,4), ……………………………….. • Niewiarygodne, zapisując liczby w takiej tablicy, gdzie liczby w nawiasach oznaczają licznik i mianownik, wymieniamy wszystkie liczby wymierne dodatnie, nie pomijamy żadnej!

31. Wniosek… • Oznacza to, że zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, co przeczy intuicji. Przecież zbiór liczb wymiernych „wydaje się być” większy?! • Równoliczność zbiorów nieskończonych jest paradoksem nieskończoności.

32. Alef zero Najnowsza książka P.Coelho nosi właśnie tytuł „Alef”. Liczbę kardynalną zbioru liczb naturalnych – a więc i każdego nieskończonego zbioru przeliczalnego – oznacza się symbolem obok (czyt.: alef zero).

33. Moc zbioru liczb rzeczywistych • Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywana jest continuum.Jest to moc zbiorów nieskończonych nieprzeliczalnych. • UWAGA! Jaka jest moc zbioru, który jest przedziałem (0,1) lub (-12,5)? • Z uwagi na fakt, że liczba elementów każdego z tych zbiorów jest nieskończona i nieprzeliczalna, zatem moc każdego dowolnego przedziału ( odcinka) to continuum! • To przeczy intuicji… Wszystkich liczb rzeczywistych jest tyle samo, co liczb rzeczywistych zawartych miedzy 0 a 1!

34. Zatem… • Okazuje się więc, że mając trapez o różnych podstawach, możemy stwierdzić, że składają się one z takiej samej liczby punktów… • Podobnie, dwa różne kwadraty na płaszczyźnie składają się z takiej samej liczby punktów, czyli continuum.

35. Nieskonczonosc to niekonczacasie przygoda!

36. Nasz grupa: • Jakub Horny • Michał Szafrański • Agnieszka Balcerzak • Sylwia Witczak • Aleksandra Porada • Dominika Tyc • Mateusz Bilich • Karolina Kruk • Aleksandra Oleszczuk • Aleksandra Pietrzak