887110 Introduction to Discrete Structures

1. 887110 Introduction to Discrete Structures เซต

2. ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลุ่มของสิ่งต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ ซึ่งเราจะเรียกสมาชิกในกลุ่มว่า “สมาชิกของเซต”

3. ตัวอย่างของเซต

4. การเขียนอธิบายเซต • นิยมใช้อักษรอังกฤษพิมพ์ใหญ่เขียนแทนชื่อเซต เช่น A, B • วิธีการเขียนอธิบายเซต สามารถเขียนได้ 2 วิธี ดังนี้ • การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก มีหลักการในการเขียน ดังนี้ • เขียนสมาชิกทั้งหมดของเซตไว้ภายในวงเล็บปีกกา • คั่นสมาชิกแต่ละตัวด้วยเครื่องหมาย “,” • สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว • กรณีสมาชิกของเซตมีจำนวนมากเขียนเฉพาะ 3 ตัวแรกและใช้จุด 3 จุดเพื่อแทนว่ายังมีสมาชิกตัวอื่นๆอีก • ตัวอย่างเช่น • A = {1, 2, 3, 4, 5} • B = {…, -2 , -1 , 0 , 1 , 2}

5. แบบฝึกหัดที่ 1 • จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก • เซตของชื่อจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ “ข” {ขอนแก่น} • เซตของสระในภาษาอังกฤษ {a, e, i, o, u} • เซตของจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10 {2, 4, 6, 8} • เซตจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 10 {1, 3, 5, 7, 9}

6. การเขียนอธิบายเซต (ต่อ) • การเขียนแบบบอกเงื่อนไข มีหลักการ ดังนี้ • เขียนภายใต้วงเล็บปีกกา { } • กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย | (| อ่านว่า "โดยที")่ แล้วตามด้วยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x} • ตัวอย่างเช่น • A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 5} • อ่านว่า x เป็นสมาชิกของเซต A โดยที่ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน 5 • B = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

7. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆสัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆ • I แทนเซตของจำนวนเต็ม • I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ • I+แทนเซตของจำนวนเต็มบวก • N แทนเซตของจำนวนนับ • Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ • R แทนเซตของจำนวนจริง

8. แบบฝึกหัดที่ 2 • จงเขียนแทนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก • N = {1, 3, 5} N = {x | x เป็นจำนวนคี่บวกตั้งแต่ 1 ถึง 5} • P = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} P = {x | x เป็นจำนวนเต็ม} • K = {10, 20, 30, …} K = {x | x = 10n และ n เป็นจำนวนเต็มบวก}

9. รูปแบบของเซต • เซตว่าง  (Empty Set) • คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย • เขียนแทนด้วย { } หรือ  • เช่น  เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 4 กับ 5 • เซตจำกัด (Finite Set) • คือ เซตที่สามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เช่น • {} มีจำนวนสมาชิกเป็น 0 • {1,2,3,…,100) มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 100 • เซตอนันต์ (Infinite Set) • คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน • เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}

10. แบบฝึกหัดที่ 3 • เซตต่อไปนี้ เซตใดเป็นเซตจำกัด เซตใดเป็นเซตอนันต์ • {x | x เป็นจำนวนเต็มคู่} เซตอนันต์ • {1, 2, 3, …, 100} เซตจำกัด • {x | x เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว} เซตอนันต์ • {x | x เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว และน้อยกว่า 100} เซตอนันต์

11. ความสัมพันธ์ของเซต • เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) - เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน • เซต A เท่ากับ เซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์เป็น A = B • เซต A ไม่เท่ากับ เซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์เป็น A  B • ตัวอย่าง • A = {1,2,3,4,5} , B = {5,4,3,2,1} จะได้ว่า A = B • C = {สีแดง, สีน้ำเงิน, สีขาว} , D = {สีแดง, สีน้ำเงิน, สีเหลือง} จะได้ว่า C  D เพราะ สีขาว  C แต่ สีขาว  D

12. ความสัมพันธ์ของเซต (ต่อ) • เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) - เซตสองเซตจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และ สมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง • เซต A เทียบเท่ากับ เซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์เป็น A  B • ตัวอย่าง A = {1,2,3,4,5} , B = {a, b, c, d, e} จะได้ว่า A  B แต่ เซตทั้งสองมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และจับคู่แบบ 1:1 ได้พอดี ดังนั้น A  B • หมายเหตุ • ถ้า A = B แล้ว A  B • ถ้า A  B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

13. แบบฝึกหัดที่ 4 • เซตแต่ละข้อต่อไปนี้เซตใดบ้างที่เท่ากัน • A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {5, 4, 3, 2, 1} • C = {x | x เป็นจำนวนเต็มคู่ที่น้อยกว่า 10 } D = {2, 4, 6, 8} • E = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ x2= 49} F = {7} • A = B • C ≠ D E ≠ F

14. สับเซต (Subset) • ข้อกำหนด • เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต Bเขียนแทนด้วยA  B • เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวของเซต A ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A  B • ข้อควรจำ •  เป็นสับเซตของทุกเซต นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆแล้ว   A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซตเสมอ) • เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง นั้นคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆแล้ว A  A

15. ตัวอย่างสับเซต • ตัวอย่างที่ 1 A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5} ดังนั้น A  B • ตัวอย่างที่ 2 C = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = { 1, 2, 3, …} D = {x | x เป็นจำนวนคี่} = {…, -3, -1, 0, 1, 3, …} ดังนั้น C  D ( อ่านว่า C ไม่เป็นสับเซตของ D)

16. สับเซต (ต่อ) • นิยามสับเซตแท้ เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A  B และ A  B • ตัวอย่าง A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5} ดังนั้น A  B • จำนวนสับเซต ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n ตัว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2nเซต และในจำนวนนี้จะเป็นสับเซตแท้ 2n – 1 เซต

17. แบบฝึกหัดที่ 5 • จงหาสับเซตทั้งหมดของเซตต่อไปนี้ • {1}  , {1} • {1, 2}  , {1}, {2} , {1,2} • {-1, 0, 1} , {-1}, {0}, {1}, {-1,0}, {-1,1}, {0,1}, {-1,0,1}

18. เพาเวอร์เซต (Power Set) • เพาเวอร์เซตของเซต A หมายถึง เซตใหม่ที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(A) • ตัวอย่างที่ 1 A = {1} สับเซตทั้งหมดของ A คือ {} , {1} ดังนั้น P(A) = {  , {1} } • ตัวอย่างที่ 2 B =  สับเซตทั้งหมดของ B คือ  ดังนั้น P(B) = {}

19. เพาเวอร์เซต (Power Set) • จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของเซตจำกัดจะเท่ากับ 2nเมื่อ n เป็นจำนวนสมาชิกของเซตนั้น • เช่น ถ้ากำหนดให้ A = {1, 2, 3} พบว่า เซต A มีสมาชิก 3 ตัว ดังนั้น P(A) จะต้องมีเท่ากับ 23 หรือ 8 ตัว เขียนแจกแจงสมาชิก ได้ดังนี้ P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c},  }

20. แบบฝึกหัดที่ 6 • จงหาเพาเวอร์เซตของแต่ละเซตต่อไปนี้ • {5} {, {5} } • {0, 1} {, {0} , {1} , {0,1}} • {2, 3, 4} {, {2}, {3}, {4}, {2,3} , {2,4} , {3,4} , {2,3,4}}

21. การเขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์(Venn – Euler Diagrams) • เป็นการเขียนแผนภาพแทนเซต เพื่อทำให้เราสามารถศึกษาเรื่องเกี่ยวกับเซตได้ง่ายและเข้าใจได้ดียิ่งขึ้น • การเขียนแผนภาพเวนน์นั้น จะใช้รูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทน เอกภพสัมพัทธ์ (U) และรูปปิดวงกลม หรือ วงรีแทนสับเซตของ เอกภพสัมพัทธ์ U A B

22. แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต 1 • แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แบ่งเป็นกรณีต่างๆ ได้ 5 กรณี ดังนี้ • กรณีที่ 1 (disjoint set) : เซต A และ เซต B ไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลย U A B

23. แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต 2 • แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แบ่งเป็นกรณีต่างๆ ได้ 5 กรณี ดังนี้ • กรณีที่ 2 (joint set) : เซต A และ เซต B มีสมาชิกซ้ำกันบางส่วน U A B

24. แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต 3 • แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แบ่งเป็นกรณีต่างๆ ได้ 5 กรณี ดังนี้ • กรณีที่ 3 (A = B) : เซต A เท่ากับ เซต B U A B

25. แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต 4 • แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แบ่งเป็นกรณีต่างๆ ได้ 5 กรณี ดังนี้ • กรณีที่ 4 (A  B) : เซต A เป็นสับเซตแท้ของเซต B U B A

26. แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต 5 • แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แบ่งเป็นกรณีต่างๆ ได้ 5 กรณี ดังนี้ • กรณีที่ 5 (B  A) : เซต B เป็นสับเซตแท้ของเซต A U A B

27. แบบฝึกหัด • จงเขียนแผนภาพแทนเซตต่อไปนี้เมื่อกำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์เป็น N • A = {1,2,3,…,10} B = {1,3,5,7,9} • A = {1,2,3,…,10} B = {1,3,5,7,9} C = {1, 3, 5} • A = {1,2,3,…,10} B = {1,3,5,} C = {2, 4, 6}

28. การกระทำกันระหว่างเซต (Operation of set) • หมายถึง การกระทำระหว่างเซตใดๆด้วยตัวกระทำ (Operation code)เกิดเป็นเซตใหม่ขึ้น • ตัวกระทำของเซต (Operation code) • ยูเนียน (Union) • อินเตอร์เซคชัน (Intersection) • คอมพลีเมนต์ (Complement) • ผลต่าง (difference)

29. ยูเนียน (Union) • การยูเนียนระหว่างเซต A กับเซต B จะได้เซตใหม่ที่มีสมาชิกประกอบไปด้วย สมาชิกทั้งหมดที่ได้จากเซต A หรือ สมาชิกทั้งหมดที่ได้จากเซต B • สามารถเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ A  B = { x | x  A v x  B}

30. แผนภาพเวนน์แสดงการ Union • ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แสดงโดยแผนภาพเวนน์ 5 กรณี โดยพื้นที่แรเงาเป็นผลลัพธ์ของ A  B ดังนี้ U U U A B A B A B U U B A A B

31. ตัวอย่าง 1 • ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {1, 2, 3} และ B = {1,3,5,7} จงหา A  B วิธีทำ A  B= {1,1,2,3,3,5,7} เหมือนเอาสมาชิกมาเทรวมกัน ยุบสมาชิกที่ซ้ำกัน จะได้ A  B = {1,2,3,5,7} • ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {1, 3} และ B = {1,2,3,4} จงหา A  B วิธีทำ จะเห็นว่าA  B ดังนั้น A  B = {1,2,3,4} นั่นคือ ถ้า A  B แล้วจะได้ A  B =B เสมอ

32. อินเตอร์เซคชัน (Intersection) • การอินเตอร์เซคชันระหว่างเซต A กับเซต B จะได้เซตใหม่ที่มีสมาชิกประกอบไปด้วย สมาชิกที่ซ้ำซ้อนกันของเซต A และ เซต B • สามารถเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้ ดังนี้ A  B = { x | x  A ^ x  B}

33. แผนภาพเวนน์แสดงการ Intersection • ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แสดงโดยแผนภาพเวนน์ 5 กรณี โดยพื้นที่แรเงาเป็นผลลัพธ์ของ A  B ดังนี้ U U A B A B U U B A A B

34. ตัวอย่าง 1 • ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {1, 2, 3} และ B = {0, 2, 4} จงหา A  B และ B  A วิธีทำ A  B= {2} เลือกเฉพาะสมาชิกที่ซ้ำซ้อนกัน และ B  A = {2} จะเห็นว่า A  B =B  A (สลับที่ได้) • ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {1, 3, 5} และ B = {2,4,6} จงหา A  B วิธีทำ จะเห็นว่าA กับ B ไม่มีสมาชิกซ้ำกันเลย ดังนั้น A  B = {} หรือ A  B = 

35. คอมพลีเมนต์ (Complements) • ถ้า A เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ U คอมพลีเมนต์ของเซต A จะได้เซตใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A • สามารถเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้ ดังนี้ A’ = {x | x  U ^ x  A}

36. ตัวอย่าง • ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1,2,3,4,5} และ A = {1, 2, 3} จงหา A’ วิธีทำ A’ ได้มาจากสมาชิกที่อยู่ใน U แต่ไม่ได้อยู่ใน A ดังนั้น A’ = {4, 5}

37. ผลต่าง (difference) • ผลต่างระหว่างเซต A กับเซต B จะได้เซตใหม่ที่มีสมาชิกประกอบไปด้วย สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A แต่ต้องไม่อยู่ในเซต B • สามารถเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ได้ ดังนี้ A - B = { x | x  A ^ x  B}

38. แผนภาพเวนน์แสดง Difference • ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A กับเซต B แสดงโดยแผนภาพเวนน์ 5 กรณี โดยพื้นที่แรเงาเป็นผลลัพธ์ของ A - B ดังนี้ U U A B A B U U B A A B

39. ตัวอย่าง 1 • ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {1, 3, 5} และ B = {1, 2, 3} จงหา A - B วิธีทำ A - B จะได้เซตใหม่ที่มีสมาชิกได้จากเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B ดังนั้น A – B = {5} • ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A = {-3,-1,0, 1, 2, 3, 8} และ B = {x | x  I+ } จงหา (A – B) วิธีทำA – B = {-3, -1, 0}

40. แบบฝึกหัด • กำหนดให้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = {0, 2, 4, 6, 8} , B = {1, 3, 5, 7} และ C = {3, 4, 5, 6} จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก • B C B C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} • A C A C = {4, 6} • C’ C’= {0, 1, 2, 7, 8}

41. แบบฝึกหัด • จากแผนภาพที่กำหนด จงแรเงาส่วนของพื้นที่เพื่อแทนเซตต่อไปนี้ • A B’ • A’ • A’ B

42. จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด • ถ้า A เป็นเซตจำกัด สามารถหาจำนวนสมาชิกของเซต A ได้ เขียนแทนด้วย n(A) • ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว • n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A B) • n(A – B) = n(A) – n(A  B) • n(B – A) = n(B) – n(A  B) • ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

43. การหาจำนวนสมาชิกของเซต 2 เซต การหาจำนวนสมาชิกของเซต 2 เซต สามารถทำได้โดยการใช้เทคนิคต่างๆเหล่านี้ • เทคนิคที่ 1 ใช้สูตร n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A B) ข้อแนะนำ เหมาะกับการแก้ปัญหาที่โจทย์บอกจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตมาให้แล้ว • เทคนิคที่ 2 ใช้การแทนที่ ทีละส่วนลงไปในแผนภาพเวนน์ • เทคนิคที่ 3 การแทนตัวแปรลงไปทีละส่วนในแผนภาพเวนน์ ข้อแนะนำ กรณีที่โจทย์ไม่ได้บอกจำนวนข้อมูลของแต่ละเซตมาตรงๆ เทคนิคนี้จะช่วยแก้ปัญหาได้ง่ายกว่าการใช้สูตร

44. ตัวอย่างการหาจำนวนสมาชิกของ 2 เซต ตัวอย่าง จากการสอบถามนักเรียน 100 คน พบว่านักเรียน 60 คนชอบเรียนวิชาฟิสิกส์, 30 คนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และชอบเรียนทั้งฟิสิกส์และคณิตศาสตร์จำนวน 20 คน จงหา จำนวนนักเรียนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชา วิธีทำ ให้ U แทนเซตของกลุ่มนักเรียนที่ถูกสอบถาม n(U) = 100 คน A แทนเซตของนักเรียนที่ชอบวิชาฟิสิกส์ n(A) = 60 คน B แทนเซตของนักเรียนที่ชอบวิชาคณิตฯ n(B) = 30 คน และ นักเรียนที่ชอบเรียนทั้งฟิสิกส์และคณิตฯ n(AB) = 20 คน จากสูตร นักเรียนที่ไม่ชอบเรียนทั้งสองวิชา n[(AB)’] หาได้จาก n[(AB)’] = n(U) – n(A U B) = 100 – 70 = 30 ดังนั้น นักเรียนที่ไม่ชอบเรียนทั้ง 2 วิชามี 30 คน

45. แบบฝึกหัด • จากการสอบถามพ่อบ้าน พบว่า มีผู้ที่ดื่มชาหรือกาแฟเป็นประจำจำนวน 120 คน มีผู้ที่ชอบดื่มชา 60 คน ชอบดื่มกาแฟ 70 คน จงหาจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ

46. การหาจำนวนสมาชิกของเซต 3 เซต • สำหรับเทคนิคในการหาจำนวนสมาชิกของเซต 3 เซตก็สามารถทำในลักษณะเดียวกันกับกรณีของเซต 2 เซตได้ • ในกรณีที่ต้องการแก้ปัญหาโดยการใช้สูตร สูตรที่ใช้แสดงได้ ดังนี้ n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) ข้อแนะนำสำหรับเทคนิคนี้ จะใช้ได้เมื่อโจทย์กำหนดจำนวนของตัวแปรต่างๆในสมการมาให้ครบ

47. ตัวอย่าง • ผลการสอบวิชาภาษาไทย สังคม และคณิตศาสตร์ของนักเรียน 45 คนเป็นดังนี้ • สอบได้ทั้ง 3 วิชา 18 คน • สอบภาษาไทยได้ 15 คน • สอบคณิตศาสตร์ได้ 9 คน • สอบสังคมได้ 13 คน • สอบตกวิชาคณิต กับ สังคม 8 คน • สอบตกวิชาคณิต กับ ภาษาไทย 7 คน • สอบตกวิชาสังคม กับ ภาษาไทย 5 คน จงหาว่าผู้สอบตกทั้ง 3 วิชามีกี่คน

48. แบบฝึกหัด • จากการสำรวจผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ จำนวน 3000 คน พบว่า มีผู้ถือหุ้นบริษัท ก, ข, และ ค ดังนี้ • ผู้ถือหุ้นบริษัท ก จำนวน 200 คน • ผู้ถือหุ้นบริษัท ข จำนวน 250 คน • ผู้ถือหุ้นบริษัท ค จำนวน 300 คน • ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ข จำนวน 50 คน • ผู้ถือหุ้นบริษัท ข และ ค จำนวน 40 คน • ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ค จำนวน 30 คน จากจำนวนผู้ถือหุ้นที่สำรวจ จงหาจำนวนผู้ถือหุ้นที่ไม่ใช่ของสามบริษัทนี้

49. เฉลย แบบฝึกหัด

50. มีคำถามไหมค่ะ ?