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Superficies sorprendentes y caminos imposibles Mario Fioravanti mario.fioravanti@unican.es Colaboran: Sara Boo y Sara G

Superficies sorprendentes y caminos imposibles Mario Fioravanti mario.fioravanti@unican.es Colaboran: Sara Boo y Sara González. Hoy hablaremos de …. La Topología Los puentes de Königsberg. Euler y los grafos Centralitas telefónicas, caballos de ajedrez, …

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Superficies sorprendentes y caminos imposibles Mario Fioravanti mario.fioravanti@unican.es Colaboran: Sara Boo y Sara G

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Presentation Transcript

  1. Superficies sorprendentesy caminos imposiblesMario Fioravanti mario.fioravanti@unican.esColaboran: Sara Boo y Sara González ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  2. Hoy hablaremos de … • La Topología • Los puentes de Königsberg. Euler y los grafos • Centralitas telefónicas, caballos de ajedrez, … • Experimentos con cintas y cruces de Möbius (las superficies sorprendentes) • Representaciones planas • Juguemos a tres-en-raya sobre un … ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  3. Un paseo por la Tierra Si partimos de un lugar de la Tierra y avanzamos sin desviarnos, al cabo de un tiempo volveremos al punto de partida. ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  4. Si dos personas parten en direcciones perpendicula-res y van dejando en su camino una marca de hilo, una de color azul y la otra de color rojo, comprueban que en algún momento sus caminos se han cruzado. ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  5. Si la Tierra no fuera una esfera, ¿podría ocurrir que las dos personas que parten en direcciones perpendiculares vuelven al punto de partida, pero sus caminos no se cruzan? ¿Podría ocurrir que una persona camina sin desviarse y retorna al punto de partida, pero cabeza abajo? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  6. Topología La topología es una rama fundamental de las Matemáticas que estudia las propiedades de un objeto que se conservan por deformación o estiramiento. La redondez de una circunferencia no es una propiedad topológica. = ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  7. “geometría cualitativa” ¿tiene agujeros? ¿tiene borde? ¿está formada por varias componentes? no tiene borde tiene borde no tiene borde, tiene un agujero ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  8. ¿Cuántos agujeros tiene? tiene tres agujeros Topológicamente un cubo es equivalente a una esfera = = Y una taza es equivalente a un donut ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  9. Leonhard Euler (1707-1783) Geometría, cálculo, teoría de números, ecuaciones diferenciales, mecánica, hidrodinámica, electromagnetismo, astronomía ... El matemático más prolífico de todos los tiempos: 500 entre libros y artículos (800 páginas por año). Obras completas: ¿73 volúmenes? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  10. Infancia y juventud Basilea, Abril 1707 A los 13 años ingresa en la Universidad de Basilea para estudiar Teología, Humanidades y lenguas orientales. Juan Bernoulli A los 19 años finaliza sus estudios universitarios y concurre a un concurso convocado por la RealAcademia de Ciencias de París… ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  11. San Petersburgo Segunda estancia: 1766-1783 + 76 años 59 años Tercera etapa profesional: regreso a San Petersburgo 34 años 20 años Al año de llegar pierde la visión completamente, pero sigue haciendo cálculos mentalmente y durante los últimos 16 años de su vida dicta los resultados a alguno de sus 13 hijos. ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  12. Enumeraba de forma inmediata los 100 primeros primos y hasta su potencia 6. [1]-[2]-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89- 97-101-103-107-109-113-127-131-137-139-149-151-157-163-167-173-179-181-191- 193-197-199-211-223-227-229-233-239-241-251-257-263-269-271-277-281-283- 293-307-311-313-317-331-337-347-349-353-359-367-373-379-383-389-397-401- 409-419-421-431-433-439-443-449-457-461-463-467-479-487-491-499-503-509- 521-523-541 • 5416=25.071.688.922.457.241 (17 cifras) Se cuenta que tenía una memoria prodigiosa y una enorme capacidad de cálculo mental: • Recitaba La Eneida de memoria en latín ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  13. Los puentes de Königsberg Capital de Prusia Oriental. En 1945 pasa a llamarse Kaliningrado ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  14. El problema de los puentes es equivalente al recorrido de un grafo. ¿Cuáles son los grafos que se pueden recorrer sin pasar dos veces por la misma arista? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  15. ¿Qué es un grafo? • Vértices o nodos • Arcos o aristas • Caminos Grafo dirigido ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  16. ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  17. ¿Se puede recorrer este grafo, sin pasar dos veces por la misma arista? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  18. Un grafo se puede recorrer sin pasar dos veces por la misma arista si no tiene vértices impares (número de aristas en ese vértice) o solo tiene dos. Si todos los vértices son pares, al completar el reco-rrido se vuelve al mismo vértice de partida. Si tiene dos vértices impares, uno de ellos será el comienzo del recorrido y el otro el final. 4 3 3 3 2 4 4 3 3 3 Otra manera de verlo ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  19. 3 3 5 3 No se pueden recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo. ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  20. ¿Cuántos arcos tiene un grafo? Si sumamos el grado de todos los vértices … Supongamos que el grafo tiene n vértices: v1, v2, v3 , . . . , vn Nº de arcos = ½ (g(v1) + g(v2) + g(v3) + . . . + g(vn)). En cualquier grafo, la suma de los grados de todos los vértices es un número par. En una ciudad hay 15 centralitas telefónicas. Para mejorar las comunicaciones, se ha pensado en conectar algunas de ellas con cables. Se quiere conectar cada centralita con otras cinco, ¿es posible? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  21. ¿Podría ocurrir que una persona camina sin desviarse y retorna al punto de partida, pero cabeza abajo? August F. Möbius (1790-1868) Superficies de una sola cara (o no orientables) Astrónomo y matemático. Alumno de Gauss. Johann B. Listing (1808-1882) ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  22. La cinta de Möbius M. C. Escher (1898-1972) http://www.mcescher.com/ ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  23. Experimentos con bandas de Möbius 1. Con una tira de papel construimos un cilindro. ¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene? 2. Con una tira de papel construimos una cinta de Möbius. ¿Cuántas caras tiene? ¿Cuántos bordes tiene? 3. Construimos un cilindro y cortamos por la línea central. ¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes? 4. Construimos una cinta de Möbius y cortamos por la línea central. ¿Cuántas superficies se obtienen? ¿Con cuántas caras y bordes? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  24. … más experimentos con bandas de Möbius 5. Usamos una tira de papel con dos líneas que la dividen en tres partes y construimos una cinta de Möbius. Cortamos por las líneas. ¿Qué se obtiene? ¿Hemos obtenido alguna banda de Möbius? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  25. Experimentos con cruces de Möbius • Con una cruz (con una línea en el medio) unimos las aspas opuestas formando dos cilindros. • ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie? • Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene? 2. Con otra cruz similar, unimos dos de las aspas formando un cilindro y las otras dos formando una banda de Möbius. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie? Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  26. … más cruces 3. Con otra cruz similar, unimos los dos pares de aspas opuestas formando bandas de Möbius. ¿Qué características topológicas tiene la nueva superficie? Si cortamos por la línea central, ¿qué se obtiene? Compara el resultado con el de otros asistentes. 4. Usamos ahora la cruz que tiene un par de aspas divididas en tres partes. Unimos el par de aspas con una sola línea formando un cilindro y el par de aspas con dos líneas formando una banda de Möbius. Cortamos por las líneas, empezando por la banda de Möbius. ¿Qué se obtiene? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  27. Lo imposible, posible El folio sorprendente Con un folio y tijeras (sin usar pegamento) construye de una sola pieza la superficie que se muestra en el dibujo El cilindro con asa Podrías ahora construir esta figura (esta vez tienes que pegar dos bordes). ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  28. Hay que llevar agua, electricidad y gas a las tres casas, sin que se crucen las tuberías. ¿Es posible? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  29. Representaciones planas El cilindro A A B B La cinta de Möbius A B A B ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  30. ¿Cómo se jugaría a tres-en-raya en un cilindro? ¿Y en una cinta de Möbius? ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  31. Keizo Ushio John Robinson ICM 2006 - Madrid ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

  32. Bibliografía Barr, Stephen, Experiments in Topology, Dover, New York, 1964. Blanco, Miguel; Ruiz, Andrés; Corchete, Abilio, Taller de Matemáticas, Junta de Extremadura, Consejería de Educación y Juventud, Mérida, 1998. Polthier, Konrad,Imaging maths - Inside the Klein bottle, Plus Magazine 26, 2003, http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/index.html#kleinBottle_anim Weeks, Jeffrey, The shape of space, Marcel Dekker, New York, 1985. Rodríguez, J., Un paseo por la topología en la red, http://www.ual.es/~jlrodri/Topgen2/introduccion.html The MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/index.html ESTALMAT – 2008/09 Facultad de Ciencias

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