la dimension expérimentale des mathématiques un levier pour les apprentissages et l'enseignement

1. IUFM - Université Claude Bernard Lyon 1 Laboratoire LEPS EA4148 / LIRDHIST – Université Lyon 1 Laboratoire d'étude du phénomène scientifique Laboratoire Interdisciplinaire de Recherches en Didactique et en Histoire des Sciences et Techniques la dimension expérimentale des mathématiques un levier pour les apprentissages et l'enseignement étude exploratoire dans des situations d'enseignement et de formation au sein de l'enseignement spécialisé thierry.dias@iufm.univ-lyon1.fr http://perso.orange.fr/dias.thierry/

2. une thèse au sein d'un laboratoire  LEPS EA4148 équipe LIRDHIST problématique du LIRDHIST : étude des phénomènes d'enseignement et d'apprentissage relatifs aux disciplines scientifiques sur la base d'une approche épistémologique des contenus disciplinaires

3. introduction Le questionnement trouve son origine : 1. d'une expérience professionnelle d'enseignant en ZEP : de la difficulté de comprendre les mathématiques du côté des élèves 2. d'une expérience de formateur en IUFM : de la difficulté d'enseigner les mathématiques du côté des enseignants 3. d'un travail de recherche en DEA sur la dimension expérimentale des mathématiques Sont fortement interrogés : le statut des objets mathématiques, les liens qu'ils tissent avec la réalité, le rôle des actions des individus dans la construction de la connaissance. la potentialité de la dimension expérimentale s'exprime dans le rapport problématique qu'entretiennent les objets mathématiques avec la réalité au sein de situation didactiques (Brousseau)

4. introduction • éthique dans notre recherche • Dans un contexte d'enseignement/apprentissage, les terrains d'expérimentation permettent une confrontation à la contingence qui doit simultanément : • nourrir la recherche, • contribuer au développement professionnel des enseignants, • et renforcer les apprentissages des élèves.

5. 1 – méthodologie de la recherche 2 – étude didactique 3 – étude épistémologique 4 – investigation dans l'ASH 5 – scénario de formation

6. 1 – méthodologie de la recherche organisation générale hypothèses de travail questions de recherche

7. étude didactique QUOI étude épistémologique dimension expérimentale des mathématiques irrigue une recherche fonde POURQUOI COMMENT scénario de formation investigation dans l'ASH alimente permet poursuite des recherches

8. étude didactique étude épistémologique • 1. La dimension expérimentale des mathématiques est fondée sur l'articulation entre forme et contenu en référence aux objets et à leur lien avec la réalité. 2. La constitution du milieu doit prendre en compte simultanément les dimensions apprentissage et enseignement. 4 hypothèses de travail scénario de formation investigation dans l'ASH • 4. Les liens qui unissent la recherche, la formation et l'enseignement sont au service de la diffusion et de la construction des connaissances. 3. La confrontation à la réalité de la classe doit être consistante et transférable, elle doit s'opérer dans un milieu de type expérimental.

9. questions de recherche étude et exploration épistémologique en quoi la dimension expérimentale des mathématiques participe-t-elle de l’élaboration des objets mathématiques? étude didactique quelles sont les caractéristiques d’un milieu propice à l'expérimentation en mathématiques ? investigation contextualisée, le contexte de l'enseignement spécialisé permet-il de mener une recherche en didactique susceptible de dégager des invariants qui soient aussi transférables à l'enseignement ordinaire ? application sous forme de scénario de formation un modèle construit dans le champ de l'épistémologie et de la didactique permet-il d'enrichir la recherche sur la formation ?

10. 2 – étude didactique

11. étude didactique différents modèles de milieu BLOCH, 2002 faire des maths, faire faire des maths et regarder ce que cela donne CONNE, 1999 Nature, organisation et structuration du milieu pour une relation efficiente entre professeur, élève et savoir. Analyser, comprendre les dysfonctionnements du processus enseigner/apprendre. une réflexion à mener en trois dimensions !

12. étude didactique une recherche en didactique… où l’on rencontre le premier tétraèdre élève ligne de communication, transmission élève : connaissances, compétences, affects espace de relation environnement surface de médiation enseignant savoir : transposition, situation didactique savoir enseignant : connaissances, expérience professionnelle, affects

13. étude didactique deux objets de recherche en didactique l'activité mathématique - les actions des sujets en situation - le statut de la connaissance - intuition, expérience, argumentation - dimension langagière les rapports dialectiques : - milieu / contexte - instruments / outils - étayage / adaptation - modéliser / expérimenter vers un modèle de milieu de type expérimental

14. étude didactique différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002) de la nature expérimentale du milieu : environnement didactique déterminé + valeurs des variables fixées  ce qui structure la méthodologie de la thèse "Il ne s'agit pas de partir de l'enseignement tel qu'il est mais plutôt de définir des possibles effectifs de l'enseignement, afin de pouvoir tester et falsifier ses hypothèses." (Bloch, 2002)

15. étude didactique différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002) étapes pour la constitution d'un milieu expérimental : - Construire une ingénierie didactique relative à un objet de savoir dans une institution donnée; - Anticiper les comportements des élèves dans la situation (interactions significatives avec les différents éléments du milieu) ; - Préparer le recueil des observables, leur organisation et leur interprétation; - Etablir une liste de références didactiques et épistémologiques susceptibles de pouvoir analyser les situations d'enseignement; - Analyser les connaissances mises en jeu dans la situation, les jeux possibles des élèves et du professeur.

16. étude didactique faire des maths, faire faire des maths, regarder ce que cela donne (CONNE, 1999) • analyser, comprendre le processus enseigner/apprendre : • faire des mathématiques, • faire faire des mathématiques, • "regarder ce que cela donne" • du faire au faire/faire : •  Quels sont les éléments didactiques à la disposition de l'enseignant pour entretenir « un bon rapport à l'ignorance » ? • du faire/faire au regarder… •  Comment comprendre le jeu des signes dans les interactions sujet/milieu/objet ?

17. 3 – étude épistémologique

18. étude épistémologique la dimension expérimentale des mathématiques les objets mathématiques • expérimenter en mathématiques : • rencontrer l'incertitude • construire un réel partagé • interagir avec des objets Gardies (2004), Gonseth (1936), Giusti (2000), Hacking (1989), Lelong (2004)

19. étude épistémologique notions soumise à l'étude épistémologique les objets mathématiques - leur mode d'existence (sensible, théorique), - leur lien avec la réalité (modélisations, représentations), - symbolisme et formalisme - référence culturelle. la dimension expérimentale des mathématiques - épistémologie du concept d'expérience - caractérisation d'une science expérimentale - caractérisation de la dimension expérimentale des mathématiques

20. étude épistémologique Les objets mathématiques mathématiques et réalité dialectique : objet sensible / objet théorique Je regardai : oh, prodige, ce fut un nouveau monde que je vis ! J'avais devant moi, visible, incarnée, cette beauté Circulaire qui ne m'était accessible jadis que par le calcul, l'hypothèse ou le rêve. Ce qui semblait être le Centre de l'Étranger était exposé à mon regard ; et cependant je ne voyais ni cœur, ni poumons, ni artères, mais seulement une Chose d'une harmonieuse beauté… qui n'avait pas de nom pour moi ; vous, mes lecteurs de Spaceland, vous l'appelleriez la surface de la Sphère. FLATLAND (Edwin A. Abbott, 1884)

21. étude épistémologique Les objets mathématiques les polyèdres réguliers : des objets au service de la compréhension du monde  passer de la dimension 2 à la dimension 3 "Dimensions par Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez " http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm

22. étude épistémologique Les objets mathématiques les polyèdres réguliers : des objets pour comprendre, interpréter et modéliser Kepler voit " les solides symétriques s'insérer les uns après les autres avec tant de précision entre les orbites appropriées que si un paysan demandait à quels crochets les cieux sont fixés pour ne pas tomber, il serait facile de lui répondre ". (...) animation 3D

23. étude épistémologique Les objets mathématiques les polyèdres réguliers au service de la modélisation La réalité telle que nous la percevons est une construction autonome de notre esprit dont les fins essentielles sont de rendre l'action possible. Gonseth (1936) une référence actuelle : la modélisation des hydrates de gaz modélisation des hydrates de gaz, Pour la science, sept. 2008

24. Léonard de Vinci Molécule de Fullerène étude épistémologique questions de signes, d'interprétants… graphe planaire de Cayley Icosaèdre tronqué

25. étude épistémologique la dimension expérimentale en question - dialectique objet sensible / théorique - dialectique expérience/expérimentation • Recourir à la dimension expérimentale en mathématiques, c'est permettre et surtout multiplier les allers et retours entre les objetssensibles (ou familiers) et formels par : • des confrontations (adéquation, non adéquation), • des vérifications (confirmer ou infirmer une hypothèse), • des argumentations (prouver un raisonnement, convaincre dans un débat).

26. 4 – investigation dans l'ASH

27. investigation dans l'ASH Ingénierie/organisation didactique - une situation d'enseignement/apprentissage en géométrie - un cadre de référence : la dimension expérimentale des mathématiques - un contexte : l'enseignement spécialisé • une méthodologie de type abductive: • ouverture aux faits surprenants ou inexplicables pour s’engager dans la recherche d’hypothèses explicatives • organisation et mise en relation de données

28. investigation dans l'ASH intérêt du modèle dans l'enseignement spécialisé • considérer l'élève en difficulté comme une conséquence d'un milieu porteur de déséquilibres et donc comme un problème didactique : •  nécessite une analyse des constituants du milieu • un élève en situation de handicap implique le besoin d'un renforcement d'une condition de développement (d'apprentissage) • demande une réflexion sur l'étayage • changement de posture professionnelle : rapport au savoir, à l'élève, à l'apprentissage, à la situation, au temps didactique J. Bruner (1983), J.M. Favre, A. Scheibler (2003), I. Bloch (2008)

29. investigation dans l'ASH plusieurs objets d'étude : la médiation du geste : opération sur les artefacts film : extrait du corpus "cas limite des hexagones" modélisation : une mise à jour de l'interprétation antagonisme du milieu et stabilité de la situation les surprises didactiques validation retour à l'abduction prendre en considération les expériences que les élèves réalisent de manière parfois marginale ou imprévue et leur permettre de les transformer en savoir

30. 5 – scénario de formation

31. scénario de formation Extension de l'utilisation des caractéristiques d'une situation du type "recherche des polyèdres" et du milieu associé à d'autres domaines de l'adaptation scolaire. - enrichir mutuellement la recherche, l’enseignement et les apprentissages - définir des ressources de formation - mettre en œuvre des dispositifs variés - créer de nouveaux environnements d'enseignement / apprentissage

32. scenario de formation le rallye-maths ASH : une ingénierie • L'ingénierie fait référence : • aux méthodes (démarches, références, contenus), • à la définition d'un répertoire d'actions et de leur programmation, • au suivi de leur mise en œuvre par des protocoles de formation, de coordination et d'évaluation. •  mise en relation les données de la recherche avec le terrain des classes par la médiation d'une formation des enseignants

33. scenario de formation le laboratoire un nouvel objet d'étude • Le laboratoire se caractérise par : • - une culture : celle du doute (hypothèses émises sur les rétroactions parfois inattendues, parfois antagonistes) et de la recherche de la validation, • - une démarche : l'expérimentation comme démarche de résolution des problèmes rencontrés, • la présence et l'utilisation d'instruments variés, • un lieu et un temps favorisant les situations d’action des sujets • une intense activité langagière et symbolique énonciative, descriptive puis peu à peu argumentative Borel (1904), Kahane (2002), Hacking (2005)

34. conclusions , résultats La richesse d'une étude exploration théorique fondée sur l'articulation épistémologie / didactique. étude épistémologique Les caractéristiques du milieu doivent contribuer à stabiliser l'environnement didactique pour permettre le développement cognitif des élèves et professionnel des enseignants. étude didactique investigation dans l'ASH La consistance d'une investigation sur le terrain de l'enseignement spécialisé par la mise en œuvre d'une situation didactique de résolution de problème. La diffusion des résultats par la mise en œuvre de projets pour les classes et par la formation initiale et continue des professeurs. scenario de formation

35. perspectives de recherches laboratoires de mathématiques comme objets d’études didactiques et comme lieu de développement professionnel des enseignants de l’ASH recherche IUFM Lyon, HEB Bruxelles, SSED (Genève), Université de Montréal (Canada) médiation instrumentale Comment les élèves s’approprient un objet pour en faire un instrument ? Quel rôle joue la médiation instrumentale dans la construction des savoirs mathématiques ? Comment caractériser cette médiation instrumentale dans l’apprentissage de mathématiques ? sémiose et processus de signification étude du transfert à l’enseignement ordinaire

36. la thèse, son rapport d'activité et les travaux de recherche sont consultables en ligne : http://pagesperso-orange.fr/dias.thierry/

37. merci de votre attention • Les feuilles du ginkgo tombaient des branches comme pluie menue, et mouchetaient de jaune le pré. Je marchais en compagnie de M. Okeda sur le sentier de pierres lisses. Je lui expliquai que j'aurais voulu isoler la perception de chaque feuille de ginkgo de la perception de toutes les autres, mais me demandais si c'était seulement possible. • (Italo Calvino, Si par une nuit d'hiver un voyageur) photo : Fanny LIGNON thierry.dias@iufm.univ-lyon1.fr http://perso.orange.fr/dias.thierry/