1 / 70

MATERI PEMBELAJARAN POWERPOINT

MATERI PEMBELAJARAN POWERPOINT. BY:Retno Ningtyas FKIP MATEMATIKA. MATERI YANG ADA. LOGIKA. HIMPUNAN. logaritma. LOGARITMA. Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Kegunaan logaritma

mara-leach
Download Presentation

MATERI PEMBELAJARAN POWERPOINT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATERI PEMBELAJARAN POWERPOINT • BY:RetnoNingtyas • FKIP MATEMATIKA

  2. MATERI YANG ADA LOGIKA HIMPUNAN logaritma

  3. LOGARITMA

  4. Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

  5. Kegunaan logaritma • Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

  6. Rumus dasar logaritma: • bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis) • Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c. • xlog x = 1 • x^nlog xm = m/n • blog x + blog y = blog (x.y) • blog x - blog y = blog (x:y) • (alog b)(blog c) = alog c • b log xn = n.blog x • b log x = klog x : klog b

  7. Penghitungan yang lebihmudah • Logaritmamemindahkanfokuspenghitungandaribilangan normal kepangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanyasama, makabeberapajenispenghitunganmenjadilebihmudahmenggunakanlogaritma:: • Penghitungandenganangka • Penghitungandenganeksponen • IdentitasLogaritma

  8. Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

  9. Penghitungan yang lebih mudah • Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::

  10. HIMPUNAN

  11. PENGERTIAN • Himpunanadalahkumpulanobjek-objek yang keanggotaannyadidefinisikandenganjelas. • Dalammatematika, himpunanadalahsegalakoleksibenda-bendatertentu yang dianggapsebagaisatukesatuan. Walaupunhalinimerupakanide yang sederhana, tidaksalahjikahimpunanmerupakansalahsatukonseppentingdanmendasardalammatematika modern, dankarenanya, studimengenaistrukturkemungkinanhimpunandanteorihimpunan, sangatlahberguna.

  12. Himpunanhanyamembicarakanobjek-objek yang berlainansaja. • Metode Rosteryaitudenganmenuliskansemuaanggotahimpunandidalamtandakurung {...........}contoh:himpunanbilanganganjil N = {1,3,5,7,9,.......} • Metode Ruleyaitudenganmenyebutkansyaratkeanggotaannyacontoh: N = {x½x adalahbilanganasli}

  13. Elemen (Anggota)                               notasi : Îsetiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebutelemen/anggota himpunan itu.contoh:A ={a,b,c,d}a Î A (a adalah anggota himpunan A)e Ï A (e bukan anggota himpunan A) • Himpunan kosong notasi : f atau {}yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggotacontoh :A = { x | x² = -2; x riil}A = f

  14. Teorihimpunan, yang barudiciptakanpadaakhirabad ke-19, sekarangmerupakanbagian yang tersebardalampendidikanmatematika yang mulaidiperkenalkanbahkansejaktingkatsekolahdasar. Teoriinimerupakanbahasauntukmenjelaskanmatematika modern. Teorihimpunandapatdianggapsebagaidasar yang membangunhampirsemuaaspekdarimatematikadanmerupakansumberdarimanasemuamatematikaditurunkan.

  15. Notasi Himpunan • Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

  16. Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

  17. Himpunan-himpunanbilangan yang cukupdikenal, sepertibilangankompleks, riil, bulat, dansebagainya, menggunakannotasi yang khusus. • Bilangan • Asli = • Bulat = • Rasional= • Riil = • Kompleks=

  18. Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

  19. Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

  20. Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

  21. Himpunankosong • Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memilikianggota-anggotaapel, jeruk, mangga, danpisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memilikiduaanggota, yaitubilangan 5 dan 6. Kita bolehmendefinisikansebuahhimpunan yang tidakmemilikianggotaapa pun. Himpunaninidisebutsebagaihimpunankosong. • Himpunankosongtidakmemilikianggotaapa pun, ditulissebagai:

  22. Himpunan semesta notasi : Syaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakancontoh :K = {1,2,3}S = { x | x bilangan asli } atauS = { x | x bilangan cacah } atauS = { x | x bilangan positif } dsb.

  23. Himpunan bagian                                     notasi : Ì atau ÉHimpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.Ditulis : A Ì Bf atau B É Acontoh:A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì Cketentuan : • himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang • himpunan ( f Ì • himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n • A )himpunan A adalah himpunan bagian dari

  24. HB = 2ncontoh: jika A = {a,b,c}maka himpunan bagian dari A adalah :{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f seluruhnya ada 2³ = 8POWER SET 2shimpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari Scontoh:S = {a,b,c}2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }

  25. Himpunan sama                   notasi : =Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.Ditulis A = Bcontoh:K = {x | x²-3x+2=0}L = {2,1}maka K = L • Himpunan lepas               notasi : //Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.Ditulis A // Bcontoh:A = {a,b,c}B = {k,l,m}Maka A // B

  26. Gabungan (union)              notasi:ÈGabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.A È B = { x | x Î A atau x Î B }

  27. Irisan (intersection)                                notasi : ÇIrisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

  28. Komplemen                                               notasi: A', Ac, AKomplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.A'= { x | x Î S dan x Ï A }

  29. 1. Komutatif • A Ç B = B Ç AA È B = B È A • 2. Asosiatif • A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç CA È (B È C) = (A È B) È C • 3. Distributif • A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) • 4. De Morgan •   ____      _     _(A È B)= A Ç B  ____      _     _(A Ç B)= A È B

  30. Jika n menyatakan banyaknya anggota himpunan, maka berlaku hubungan : • 2 HIMPUNAN                                    ____n(s) = n (A È B) + n (A È B) • 3 HIMPUNAN                                         ________n(S) = n (A È B È C) + (A È B È C) • di mana • n (A È B) = n (A) + n (B) - n (A Ç B) • di mana • n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A Ç B) - n (A Ç C) - n (B Ç C) + n (A Ç B Ç C)

  31. Himpunan bilangan asliHimpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.N = {1,2,3,4,5,6,......} • Himpunan bilangan primaHimpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.P = {2,3,5,7,11,13,....} • Himpunan bilangan cacahHimpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

  32. Himpunan bilangan bulatHimpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} • Himpunan bilangan rasionalHimpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain • Himpunan bilangan irasionalHimpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.contoh: log 2, e, Ö7

  33. Himpunan bilangan riilHimpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3 • Himpunan bilangan imajinerHimpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1contoh: i, 4i, 5i • Himpunan bilangan kompleksHimpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.contoh: 2-3i, 8+2

  34. ] HimpunanKuasa • Himpunankuasaatauhimpunanpangkat (power set) dariAadalahhimpunan yang terdiridariseluruhhimpunanbagiandariA. Notasinyaadalah . • JikaA = {apel, jeruk, mangga, pisang}, maka : • { { }, • {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, • {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, • {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, • {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, • {apel, jeruk, mangga, pisang} }

  35. ] HimpunanDenumerabel • Jikasebuahhimpunanekivalendenganhimpunan , yaituhimpunanbilanganasli, makahimpunantersebutdisebutdenumerabel. Kardinalitasdarihimpunantersebutdisebutsebagaikardinalitas . • Himpunansemuabilangangenappositifmerupakanhimpunandenumerabel, karenamemilikikorespondensisatu-satuantarahimpunantersebutdenganhimpunanbilanganasli, yang dinyatakanoleh

  36. Himpunan Tercacah • Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel

  37. Himpunan Non-Denumerabel • Himpunan yang tidaktercacahdisebuthimpunan non-denumerabel. Contohdarihimpunaniniadalahhimpunansemuabilanganriil. Kardinalitasdarihimpunanjenisinidisebutsebagaikardinalitas . Pembuktianbahwabilanganriiltidakdenumerabeldapatmenggunakanpembuktian diagonal. • Himpunanbilanganriildalam interval (0,1) jugamemilikikardinalitas , karenaterdapatkorespondensisatu-satudarihimpunantersebutdenganhimpunanseluruhbilanganriil, yang salahsatunyaadalah .

  38. Subhimpunan • Dari suatuhimpunan, misalnyaA = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapatdibuathimpunan-himpunan lain yang elemen-elemennyaadalahdiambildarihimpunantersebut. • {apel, jeruk} • {jeruk, pisang} • {apel, mangga, pisang} • Ketigahimpunandiatasmemilikisifatumum, yaitusetiapanggotahimpunanituadalahjugaanggotahimpunanA. Himpunan-himpunaninidisebutsebagaisubhimpunanatauhimpunanbagiandariA. Jadidapatdirumuskan: • B adalahhimpunanbagiandari A jikasetiapelemen B jugaterdapatdalam A.

  39. Superhimpunan • Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

  40. Kesamaan dua himpunan • Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

  41. Kelas • Suatuhimpunandisebutsebagaikelas, ataukeluargahimpunanjikahimpunantersebutterdiridarihimpunan-himpunan. Himpunanadalahsebuahkeluargahimpunan. PerhatikanbahwauntuksembaranghimpunanA, makahimpunankuasanya, adalahsebuahkeluargahimpunan. • Contohberikut, bukanlahsebuahkelas, karenamengandungelemenc yang bukanhimpunan.

  42. Kardinalitas • Kardinalitasdarisebuahhimpunandapatdimengertisebagaiukuranbanyaknyaelemen yang dikandungolehhimpunantersebut. Banyaknyaelemenhimpunan {apel,jeruk,mangga,pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} jugamemilikielemensejumlah 4. Berartikeduahimpunantersebutekivalensatusama lain, ataudikatakanmemilikikardinalitas yang sama. • DuabuahhimpunanAdanBmemilikikardinalitas yang sama, jikaterdapatfungsikorespondensisatu-satu yang memetakanApadaB. Karenadenganmudahkitamembuatfungsi

  43. LOGIKA

  44. Apakahlogikaitu ?

  45. Seringkali Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah). • Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu.

  46. Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

  47. SEJARAH LOGIKA

  48. ManusiabelajarlogikasejakjamanYunaniKuno. Aristoteles (384 - 322 SM) adalahseorangfilsuf yang mengembangkanlogikapadajamanitu, yang padawaktuitudikenaldengansebutanlogikatradisional. • Terdapat 5 aliranbesardalamlogika, yaitu : • 1. AliranLogikaTradisional • Logikaditafsirkansebagaisuatukumpulanaturanpraktis yang menjadipetunjukpemikiran. • 2. AliranLogikaMetafisis • Susunanpikiranitudianggapkenyataan, sehinggalogikadianggapsepertimetafisika. Tugaspokoklogikaadalahmenafsirkanpikiransebagaisuatutahapdaristrukturkenyataan. Sebabituuntukmengetahuikenyataan, orangharusbelajarlogikalebihdahulu. • 3. AliranLogikaEpistemologis • Dipeloporioleh Francis Herbert Bradley (1846 - 1924) dan Bernard Bosanquet (1848 - 1923). Untukdapatmencapaipengetahuan yang memadai, pikiranlogisdanperasaanharusdigabung. Demikianjugauntukmencapaikebenaran, logikaharusdihubungkandenganseluruhpengetahuanlainnya. • 8

  49. 4. AliranLogikaInstrumentalis (AliranLogikaPragmatis) • Dipeloporioleh John Dewey (1859 - 1952). Logikadianggapsebagaialat (instrumen) untukmemecahkanmasalah. • 5. AliranLogikaSimbolis • Dipeloporioleh Leibniz, Boole dan De Morgan. Aliraninisangatmenekankanpenggunaanbahasasimboluntukmempelajarisecaraterinci, bagaimanaakalharusbekerja. Metode-metodedalammengembangkanmatematikabanyakdigunakanolehaliranini, sehinggaaliraniniberkembangsangatteknisdanilmiahsertabercorakmatematika, yang kemudiandisebutLogikaMatematika (Mathematical Logic). G.W. Leibniz (1646 - 1716) dianggapsebagaimatematikawanpertama yang mempelajariLogika

  50. Sebelummembahastentangpernyataan, akankitabahasterlebihdahuluapa yang disebutkalimat . Kalimatadalahkumpulankata yang disusunmenurutaturantatabahasa. Kataadalahrangkaianhuruf yang mengandungarti. Kalimatberartirangkaiankata yang disusunmenurutaturantatabahasadanmengandungarti. Dalamlogikamatematikahanyadibicarakankalimat-kalimatberarti yang menerangkan (kalimatdeklaratif/indicative sentences). • Contoh : • 1. 4 kurangdari 5 • 2. Indonesia terdiriatas 33 propinsi • 3. 2 adalahbilangan prima yang genap • 4. 3 adalahbilangangenap • dantidakakandibicarakankalimat-kalimatseperti : • 5. Berapaumurmu ? (Kalimattanya) • 6. Bersihkantempattidurmu ! (Kalimatperintah) • 7. Sejukbenarudaradisini ! (Kalimatungkapanperasaan) • 8. Mudah-mudahanterkabulcita-citamu. (Kalimatpengharapan) • Dari contoh-contohdiatas, terlihatbahwakalimat 1, 2, dan 3, bernilaibenar, sedangkalimat 4 bernilaisalah. Kalimat 5, 7, dan 8, tidakdapatditentukannilaibenaratausalahnya. Nilaibenarartinyaadakesesuaianantara yang dinyatakanolehkalimatitudengankeadaansesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitubenardalamartimatematis.

More Related