Jednotky a veličiny

1. www.a1pujcovnalodi.cz/out213.html www.a1pujcovnalodi.cz/out213.html Jednotky a veličiny Základem jak fyziky, tak techniky a i mnoha dalších lidských činností je měření a pozorování množství a kvality. Již od pravěku lidé potřebovali určovat množství zásob při skladování a výměnném obchodu. Aby bylo možné se o zásobách bavit, vznikly tzv. jednotky – tedy dohodnutá množství, ke kterým byly vztahovány skladové zásoby. Pro měření v rámci jednoho kmene či později města mohly sloužit jednotky jako kámen, loket, běh a tak podobně. Jednotky se ale až donedávna lišily i mezi blízkými městy, natož pak mezi národy. Různé pro nás exotické jednotky se ostatně i v Evropě neoficiálně používají dodnes – zkuste například v anglické hospodě chtít půllitr piva. Neuspějete. Snaha unifikovat jednotky celosvětově začala být vyvíjena v období francouzské revoluce. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. Jednotky a veličiny O standardizovaný celosvětový systém jednotek se stará Mezinárodní úřad pro míry a váhy v Sèvres u Paříže (BIPM). Tím je od roku 1960 soustava SI. http://www.bipm.org/en/home/

3. Jednotky a veličiny Fyzika se zabývá studiem hmotných objektů, jejich vlastností a stavů, ve kterých se nacházejí. Fyzikální vlastnosti, stavy a jejich změny vyjadřujeme tzv. fyzikálními veličinami. Dejme tomu, že vlastnost jakéhokoliv objektu je kupříkladu množství hmoty v něm obsažené. Tuto vlastnost jsme pojmenovali veličinou hmotnost. Stanovit hodnotu fyzikální veličiny znamená porovnat ji s určitou, předem dohodnutou hodnotou veličiny téhož druhu, kterou volíme za jednotku. Jednotka hmotnosti je – překvapivě - kilogram. Hodnotu veličiny pak číselně udáváme jako násobek dohodnuté jednotky.Zjistíme-li například při vážení, že nějaké těleso má hmotnost 2x větší než zvolená jednotka, říkáme, že má hmotnost 2 kilogramy. Výsledek pak zapisujeme ve tvaru: Abychom při různých výpočtech a zápisech nemuseli neustále opakovat slova „hmotnost“ a „kilogram“, která je poměrně dlouhá zavedli jsme jejich značky – m pro hmotnost (z angl. mass) a kg pro kilogram.

4. Pobídka k pohybu Velikost změny polohy Vlastnost Velikost ve třech rozměrech Velikost v jednom rozměru Množství hmoty Velikost ve dvou rozměrech Veličina Délka Hmotnost Síla Objem Rychlost Plocha V l, s S F v m Zn. kilogram metr čtverečný Jednotka Newton metr metr za sekundu metr krychlový ms-1 kg N m3 Zn. jed. m m2 Růst neuspořádanosti vesmíru Čas t sekunda s Jednotky a veličiny Některé vlastnosti reálných objektů, příslušné veličiny, jednotky a značky : Toto jsou základní mechanické veličiny těles a vlastnosti k nim jsou většinou intuitivně jasné. Není tomu tak v případě času (definovat pojem „čas“ je dost problém, zkuste si sami) a není tomu například v případě veličiny „Energie“ (opět zkuste definovat). V pokročilejších partiích fyziky problematičnost spojení vlastnost – veličina vzrůstá.

5. Jednotky a veličiny Kilogram – jednotka hmotnosti je rovna hmotnosti mezinárodního prototypu.

6. Jednotky a veličiny Metr – vzdálenost, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy Původní jednotka metru také vycházela z prototypu, nyní je založena na vlnové délce vyzařování kryptonu 86.

7. Jednotky a veličiny Sekunda – doba trvání 9 192 631 770 záření odpovídajícímu přechodu mezi dvěmi hladinami hyperjemné struktury základního stavu atomu cesia 133.

8. Jednotky a veličiny Ampér – velikost konstantního proudu, který mezi dvěmi paralelními vodiči zanedbatelného průřezu vzdálených 1 metr vyvolá sílu o velikosti 2x10-7 Newtonů. Pozn. : definice má smysl, neboť 1 N = kg.m.s-2 a jednotky kilogram, metr i sekunda již jsou definovány. 2x10-7 N 1 A 2x10-7 N 1 A Pozn. : Ampér je jako základní jednotka z historických důvodů – mnohem logičtější by jako základní jednotka byl elementární náboj ( 1 e ≈ 1.602x10-19 C )

9. Jednotky a veličiny Kelvin – jednotka termodynamické teploty o velikosti zlomku 1 / 273.16 termodynamické teploty trojného bodu vody.

10. Jednotky a veličiny Mol – jednotka látkového množství. Mol je počet elementárních částeček stejný jako počet atomů 12C v 0,012 kilogramu této látky. Pozn. : při používání této jednotky musí být vždy specifikováno, co se myslí elementární částečkou (atom, molekula, iont, elektron a tak podobně). NA≈ 6,022 x 1023

11. Jednotky a veličiny Kandela – jednotka svítivost. 1 cd má zdroj, který v daném směru emituje monochromatické záření o frekvenci 540x1012 Hz s prostorovým výkonem 1/683 wattů na steradián. Pozn. : všechny použité odvozené jednotky vycházejí z již definovaných základních.

12. Násobky jednotek a standardizované přípony 1021 101 Násobek 102 1015 103 106 1018 109 1012 1024 yotta peta mega hekto deka kilo exa giga tera zetta Předpona P Z Zn. Y E T k h G M da p a d Zn. c μ n m z y f atto femto yokto piko mikro nano deci centi mili Předpona zepto 10-21 10-9 10-3 10-24 Násobek 10-1 10-6 10-2 10-18 10-15 10-12 Jednotky a veličiny Soustava SI obsahuje jednotky vedlejší, násobky jednotek a jednotky odvozené :

13. Jednotky a veličiny Tvar odvozených jednotek plyne z jejich definičních vztahů. Jsou složeny s jednotek základních, některé mají pro jednoduchost vlastní jména. Například jednotku rychlosti utvoříme z definičního vztahu pro rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu: Jednotky se dosadí do definičního vztahu a případně vykrátí. Uzavřeme-li veličinu do hranatých závorek, znamená to, že hovoříme o její jednotce. Tímto způsobem se ze základních konstruují všechny jednotky. Například jednotka síly je Protože jednotka síly kgms-1 je příliš dlouhá a často používaná, dostalo se jí vlastního názvu Newton. Je ale třeba vždy mít na paměti, že značka N je pouze zástupné označení značku kgms-1.

14. veličina jednotka název Značka rychlost (v) ms−1 zrychlení (a) ms−2 Některé odvozené jednotky a jejich názvy hybnost (p) kgms−1 moment hybnosti (L) kgm2s−1 síla (F) kgms−2 newton N moment síly (M) kgm2s−2 frekvence (f) s−1 hertz Hz práce a energie (W), (E) kgm2s−2 joule J výkon (P) kgm2s−3 watt W moment setrvacnosti (I) kgm2 tlak (p) kgm−1s−2 pascal Pa Jednotky a veličiny V tabulce jsou uvedeny některé odvozené jednot-ky ze základní mechaniky spolu s jejich případnými názvy a značkami. Vši-mněte si, že se v jedno-tkách odvozených vysky-tují pouze tři jednotky základní – kilogram, metr a sekunda. V klasické mechanice se jiné nevy-skytují a mezi hlavními jednotami SI jsou ty „hlavnější“. Soustavě SI se někdy říká kgms soustava. Pozn. : Existují i jiné soustavy. Kupříkladu cmgs, kde jsou základními mechanickými jednotkami gram, centimetr a sekunda. Z této soustavy pochází například jednotka energie ”erg”, se kterou se lze setkat ve starší sci-fi literature.

15. Příklad Rozměrová analýza Z matematiky jsme zvyklí, že jakákoliv neznámá v libovolné rovnici či nerovnici je proste číslo a není třeba hlouběji uvažovat nad jeho významem. Fyzika sice používá matematické metody a své předpovědi a domněnky vyvozuje také na základe vzorců, ovšem neznámé ve fyzikálních rovnicích nejsou jen pouhá čísla. Jsou to veličiny, a hodnota veličiny bez udání jednotky nemá smysl! Dosadíme-li do fyzikální rovnice číselnou hodnotu požadované veličiny bez toho, abychom si ověřili, že tak činíte také v požadovaných jednotkách, budeme se pravděpodobně velmi divit, co nám to vychází za nesmysly. Voják vystřelil z pušky kolmo vzhůru k nebi. Výbuch střelného prachu předal střele o hmotnosti 0.05 kilogramu energii 1210 J. V jaké výšce se nachází střela, je-li její rychlost právě 500 km/h?

16. Rozměrová analýza Závěr : střela má rychlost 500 km/h deset kilometrů pod zemí. Nesmysl – kde je chyba?

17. Rozměrová analýza Chyba : rychlost jsme do vzorce dosadili c kilometrech za hodinu, ale správně tam patří v metrech za sekundu (všechny ostatní jednotky dosazené do vzorce jsou základní). Tedy: To už je celkem rozumný výsledek, zanedbáme-li odpor vzduchu.

18. Rozměrová analýza Způsobu, jakým zjistit, co do vzorců dosazovat, či dokonce ověřit, zda nemáme vzorec odvozený chybně, se říká rozměrová analýza. Spočívá v jednoduchém faktu, že vzorec je rovnice, a tedy levá i pravá strana se musí rovnat jak číselně, tak jednotkami. Podívejme se na předchozí vzorec s pohledu jednotek a zkoumejme jednotky nalevo i napravo : Výška je vzdálenost a má tedy rozměr metru. Výraz napravo musí mít rovněž rozměr metru: Odtud snadno zjistíme, co zadávat za jednotky rychlosti.

19. Rozměrová analýza Výrazy v kroužcích musí mít stejné jednotky, neboť nelze sčítat hrušky a jablka. Tedy: Abychom mohli zadat rychlost v kilometrech za hodinu, jednotka energie by musela být velmi zuřivá (figuroval by v ní nějaký násobek či podíl 3,6) a zcela nepochybně nepoužívaná.

20. Součet či rozdíl dvou stejných veličin má stále tu samou jednotku! Rozměrová analýza Pokračujme dále: Pravá strana má opravdu rozměr metru. O.K.

21. Rozměrová analýza Pomocí rozměrové analýzy lze dokonce odhadnout i tvar neznámého vzorce! Vezměme například matematické kyvadlo a snažme se odhadnout, jak bude vypadat vzorec pro periodu kyvu. g Předpokládejme, že tato perioda nezávisí na počáteční výchylce alespoň pro malé úhly (což odpozoroval mladý Galileo Galilei při pozorování kyvů lucerny zavěšené od stropu kostela) a zauvažujme nad dalšími veličinami, na kterých perioda může záviset. Jsou to délka závěsu, hmotnost závaží a gravitační zrychlení – cokoliv dalšího je pro náš problém irelevantní. Předpokládejme dále, že perioda na těchto veličinách bude záviset jako mocninná funkce vztahem l m kde C je nějaká bezrozměrná konstanta (číslo). Víme, že perioda T má rozměr času (s) a jednotky dalších veličin jsou rovněž známé. Dosaďme je tedy a hledejme koeficienty α, β a γ.

22. Rozměrová analýza g l Ještě upravme levou stranu, aby rovnost byla zřejmá: m Odtud plyne :

23. Rozměrová analýza Tedy : g l m Dále už můžeme jen spekulovat – jelikož kyvadlo opisuje část kružnice, objeví se v konstantě C číslo π respektive jeho násobek malým celým číslem (takové čísla jsou ve fyzice nejčastější, to víme ze zkušenosti). První odhad vzorce pro T je tedy Pozn. : toto samozřejmě není exaktní postup, vzorec bychom museli dokázat z teorie a experimentem. Je to ale dobré vodítko pro první chvíli – tzv. metoda uhodnutí.

24. z A [xA, yA ,zA] y zA yA xA x René Descartes 1596 - 1650 Souřadné systémy Fyzikální procesy, zejména pohybové, musí být popisovány vzhledem k nějaké vztažné soustavě – třem prostorovým a jedné časové souřadnici. Nejjednodušší souřadný systém jsou vzájemně kolmé osy označené x, y a z. Tento systém se jmenuje podle svého tvůrce René Descarta (latinsky Renatus Cartesius). Poloha tělesa je zde určena vzdálenostmi od bodu, ve kterém se osy protínají (počátek).

25. z r A [xA, yA ,zA] y r(A,B) z B [xB, yB ,zB] A [xA, yA ,zA] y x zA yA xA x Souřadné systémy Vzdálenost bodu od počátku: Vzdálenost dvou bodů:

26. z y dx dy dz x Souřadné systémy Chceme-li provádět v kartézském systému integraci, volíme elemen-tární rozdělení intervalu jako úseč-kové (1D), obdélníkové (2D) respek-tive krychlové (3D). Reálná funkce jed-né reálné proměnné – definiční obor dě-líme na úsečky (in-tegrujeme dle dx). Reálná funkce dvou reálných proměnných – definiční obor dělíme na obdélníčky (integ-rujeme dle dx . dy). Pozn. : reálná funkce tří reálných proměnných již nejde jednoduše zobrazit, princip je však stejný – definiční obor dělíme na kvádry (integrujeme dle dx . dy. dz).

27. x r y φ Souřadné systémy Někdy je výhodnější popsat prostor tzv. polárními souřadnicemi. Převod z kartézského popisu R2 na polární a zpět je jednoduchý: Pozn. : pro r = 0 nemá úhel smysl a bere se φ = 0.

28. y r . dφ dr r Na této plošce stavíme „sloupečky“ φ dφ x Souřadné systémy Chceme-li provádět dvourozměrnou integraci v polárních souřadnicích, volíme elementární rozdělení následovně : Protože elementární ploška se při integraci stane nekonečně malou (infinitezimální), není třeba se na ní dívat jako na část mezikruží, ale lze s ní zacházet jako s obdélníčkem – tedy vnitřní polo-měr je roven vnějšímu poloměru. Tyto délky jsou část obvodu kruhu o poloměru r, jejich velikost je tedy r . dφ . Integrujeme-li v polárních souřad-nicích, je třeba integrovat dle r . dr . dφ :

29. Příklad Souřadné systémy Spočítejte plochu kruhu v polárních souřadnicích. Použijeme následující trik – v polárních souřadnicích zintegrujeme funkci f(r,φ) = 1. Takto sice teoreticky počítáme objem válce s podstavou kruhu o výšce jedna, ale právě díky své jednotkové výšce bude obsah jeho podstavy číselně roven jeho objemu. Řešíme integrál Pozn. : Obdobný výpočet v kartézských souřadnicích by byl nesmírně pracný. V polárních souřadnicích by rovněž šel snadno spočítat objem rotačního paraboloidu z přednášky o integrálním počtu.

30. Souřadné systémy Polární souřadnice v R3 jsou o něco složitější: z R precese r y rotace R x

31. detektor Souřadné systémy Polární souřadnice se například výtečně hodí na popis experimentů částicové fyziky: φ – rotace kolem svazku θ – úhel od svazku

32. z dr r y R x Souřadné systémy Při integraci volíme následující rozdělení Df (podmnožia R3): Tento člen se dá odvodit obdobně jako pro R2. Díky infinitezimalitě elementárního objemu zanedbáme zakřivení. Potom první rozměr podstavy je dán poloměrem r a úhlem dθ, druhý rozměr podstavy polo-měrem R a úhlem dφ. Výška útvaru je pak dr. Celkový objem pak lze spočítat jako Pozn. : v jazyku analýzy ve více rozměrech je tento člen Jakobián substituce

33. Příklad Souřadné systémy Spočítejte objem koule v polárních souřadnicích. Opět budeme integrovat v polárních souřadnicích funkci f(r,φ,θ) = 1. Dosadíme Pozn. : Obdobný výpočet v kartézských souřadnicích by byl opět nesmírně pracný.

34. Příklad Souřadné systémy Spočítejte povrch koule v polárních souřadnicích. Na první pohled je toto jiná úloha než předchozí, ale jen do okamžiku, než si uvědomíme, že jediný rozdíl, je to, že poloměr r je nyní konstanta r = R. Integrační element nebude tedy vypadat takto nýbrž takto Element je nyní plocha – část povrchu koule. Integrujeme jen přes úhly θ a φ :

35. Kinematika hmotného bodu Nejjednodušší fyzikální soustava je hmotný bod (HB), který se pohybuje v prostoru a čase. Pojem HB je samozřejmě abstrakce, model, kterým nahrazujeme reálné těleso nebo částici. Odhlížíme v něm od tvaru a velikosti tělesa a kromě geometrické polohy tělesu přiřazujeme už jen jednu fyzikální veličinu – hmotnost. Kinematika je nauka o pohybu – zajímá nás průběh polohy HB v závislosti na čase, nikoliv už příčina pohybu. Zkoumáme tedy trajektorii – křivku, po které HB vykonává pohyb. V okamžiku t je bod na trajektorii v poloze l, po uplynutí času Δt se posune o Δl. Parametr l tu v podstatě měří délku po křivce – jako když u automobilu udáváme, na kolikátém kilometru dálnice je. Střední (průměrná) rychlost HB je pak definována jako

36. Kinematika hmotného bodu Chceme–li rychlost okamžitou, musíme úsek Δs (a tedy i Δt) poslat v limitě k nule: nebo, jelikož dráha je spojitou a hladkou (bez ostrých špiček) funkcí času: Obdobně pak definujeme velikost změny rychlosti (zrychlení): Pozn. : Povšimněte si Newtonova značení – derivace podle času se značí tečkou nad značkou veličiny.

37. Kinematika hmotného bodu Takto definované skalární (jednorozměrné) veličiny rychlosti a zrychlení nám ovšem pomohou jen v tom případě, že známe trajektorii. Obecně ale musíme udat polohu, rychlost a zrychlení HB vzhledem k ostatním objektům – tj. popsat je v nějaké vztažné soustavě (např. průsečnice obou stěn a podlahy laboratoře). V takovém případě jsou jednotlivé souřadnice HB funkcí času (respektive poloha je vektorovou funkcí času) : Rychlost a zrychlení se pak definují derivacemi po složkách:

38. Kinematika hmotného bodu Prozkoumejme směr vektoru rychlosti a zrychlení: Jelikož rozdíl dvou vektorů je jejich spojnice, a jelikož z geometrické představy víme, že výsledná spojnice přibližovaných bodů je tečna ke grafu funkce, můžeme tvrdit, že vektor rychlosti je v každém bodě směrem tečny k trajektorii hmotného bodu. Určit směr zrychlení již tak jednoduché není. Víme, že na těleso působí zrychlení nejen v okamžiku, kdy mění velikost rychlosti (řidič šlape na plyn), ale i tehdy, kdy velikost rychlosti zůstává stejná a mění se jen její směr (řidič točí volantem). Oba případy mohou nastat najednou a směr zrychlení je tedy relativně složitý (narozdíl od směru rychlosti). Pokusme se jej přesto nějak vyjádřit.

39. R R Kinematika hmotného bodu Vytyčme si dva význačné směry – tečný vektor a normálový vektor. Tečný vektor je shodný se směrem rychlosti, normálový je na něj kolmý. V R2 je pojem zřejmý, v R3 je to horší, neboť takových vektorů je nekonečně mnoho. Musíme vybrat jeden, a to takový, který leží v tzv. oskulační rovině. Tuto rovinu určíme následovně: Pokud na trajektorii položíme další dva body s1 a s2, určují nám jednak rovinu, jednak kružnici. Pokud oba body v limitě pošleme k s(t), tedy získáme oskulační rovinu a oskulační kružnici. Normála ke křivce v daném bodě je pak kolmá k tečně, směřuje ke středu oskulační kružnice a leží v oskulační rovině. Poloměru R oskulační kružnice se také říká poloměr křivosti trajektorie v daném bodě.

40. Kinematika hmotného bodu Normála lze určit i jinak. Pokud vezmeme tečný vektor, který definujeme jako POZOR! Zde vektory značí polohy na trajektorii, zatímco skaláry délku měřenou podél trajektorie! (nyní má velikost jedna), můžeme zkoumat jeho limitní vlastnosti: Ve dvou různých bodech trajektorie se tečné vektory liší a jejich rozdíl je zcela obecný. Pokud ale body pošleme v limitě k sobě, bude se rozdíl tečných vektorů blížit normálovému (alespoň co se týká směru). Nenulovou velikost zajistíme tak, že rozdíl tečných vektorů podělíme rozdílem l2 – l1 . Výsledná velikost limitního vektoru pak bude převrácená hodnota křivosti 1/R (nebudeme dokazovat) :

41. Kinematika hmotného bodu Zkusme se nyní na zrychlení podívat coby na derivaci násobku dvou funkcí – velikosti rychlosti a tečného vektoru (tj. násobíme skalární a vektorovou funkci): derivace rychlosti dle času Derivace tečného vektoru – pozor, složená funkce! tečný vektor rychlost normálový vektor tečný vektor Pozn. : Aby nedošlo k mýlce – každý člen tohoto výrazu je funkce času!

42. tečné zrychlení normálové zrychlení Kinematika hmotného bodu Zjistili jsme tedy, že zrychlení lze obecně rozložit do dvou na sebe kolmých složek: Tečné zrychlení zapříčiňuje změnu velikosti rychlosti (plyn), normálové pak změnu směru pohybu (volant).

43. v an R v an an Příklad v an v Kinematika hmotného bodu Určete tečné a normálové zrychlení při rovnoměrném pohybu HB na kružnici a při rovnoměrně zrychleném pohybu, kdy rychlost vzroste 2x za sekundu. Trajektorie je sama sobě oskulační kružnicí a poloměr křivosti je konstanta. Pro rovnoměrný pohyb je tedy a při rovnoměrně zrychleném je za předpokladu, že pohyb je rovnoměrně zrychlený od počátku měření času ( t = 0 ). Pozn. : Při pohybu na kružnici se normálovému zrychlení říká dostředivé. Pro obecné křivky největší problém spočívá v určení poloměru křivosti – tím se nebudeme zabývat.

44. Závislost dráhy na čase Víme-li, že rychlost je derivace dráhy a zrychlení derivace rychlosti, musí platit i opačné vztahy – integrální. Tedy : Z těchto vztahů lze určit závislost dráhy na čase pro libovolný průběh zrychlení. Ukažme si postup na případě rovnoměrně zrychleného pohybu, tj. a = konst. : Integrační konstanta se zde s ničím nevyruší! Musíme ji ve výpočtu ponechat. Označme ji v0, aby bylo jasné, že má rozměr rychlosti. Pozn. : Stejně bychom postupovali i pro obecný případ a ≡ a(t). Místo prvního členu by se pak ve vzorci vyskytoval výraz s dvěmi integracemi a(t) podle t.

45. Příklad x(t) y(t) h v l φ Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli Na základě tohoto vztahu lze řešit například veškeré úlohy o pohybu HB v homogenním gravitačním poli. Ukažte, že trajektorie HB při šikmém vrhu v homogenním gravitačním poli je parabola a spočítejte, jak daleko HB dopadne a jak vysoko vystoupá, znáte-li počáteční velikost rychlosti a úhel, pod kterým bod vrháme.

46. V každém okamžiku je poloha HB popsána funkcemi x(t), y(t), respektive vek-torovou funkcí . Veškeré pohyby se vlastně dějí v každé souřadnici zvlášť, nezávisle na sobě. Vektorový vztah vpravo nahoře se nám tedy rozpadá na soustavu dvou skalárních vztahů : x(t) y(t) h v l φ Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli V rovnicích se vyskytuje celkem šest konstant (dvě pro zrychlení, dvě pro počáteční rychlost, dvě pro počáteční polohu). Abychom mohli ve výpočtu pokračovat, musíme je nejprve určit.

47. x(t) y(t) h g v l φ Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli Zrychlení – víme, že na HB působí homogenní gravitační pole a uděluje mu gravitační zrychlení (které je nezávislé na hmotnosti). Jeho vektorový tvar je Po dosazení máme

48. x(t) y(t) h v l φ Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli Rychlost – počáteční rychlost je zadaná jako velikost a úhel. Víme, že vztahy pro vektorovou podobu jsou nicméně v závislosti polohy na čase necháme zatím kartézské souřadnice vx, vy (pro jednodušší opisování) a polární tvar dosadíme až na závěr. Tedy :

49. x(t) y(t) h v l φ Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli Poloha – hmotný bod začíná vrh v bodě [0, 0], tedy x0 = 0 a y0 = 0 : Abychom dokázali, že trajektorie je skutečně parabola, musíme najít závislost y na x (tj. vyloučit ze vztahů t). To je samozřejmě snadné.

50. Šikmý vrh v homogenním gravitačním poli Souřadnice y má na x zjevně parabolickou závislost. Odtud také snadno určíme, jak daleko HB doletěl.