Elementi di Teoria dei giochi

1. Elementi di Teoria dei giochi

2. Teoria dei giochi Studio dei modelli matematici di cooperazione e conflitto tra individui intelligenti e razionali. • Razionalità: ciascun individuo massimizza la sua utilità attesa rispetto a qualche credenza • Intelligenza: ciascun individuo comprende la situazione in cui è coinvolto, compreso il fatto che gli altri individui sono intelligenti e razionali.

3. Cos’è un gioco? Un gioco è descritto da quattro cose: • I giocatori • Le regole: ordine delle mosse, azioni possibili, informazione • Esiti (per ogni possibile profilo di scelte) • Vincite o utilità attesa.

4. Azioni vs Strategie Azioni L’insieme delle “mosse” a disposizione dei giocatori Strategia Piano completo di azione. La strategia specifica un’azione per ognuna delle situazioni in cui il giocatore può essere chiamato a decidere (indipendentemente dal fatto che poi venga effettivamente a trovarsi in quella situazione NB: In alcuni casi possono coincidere!

5. Dilemma del prigioniero • Due criminali che hanno commesso in complicità un grave delitto sono detenuti in celle separate (non possono comunicare). • Ci sono le prove solo per accusarli di un delitto minore la cui pena è 1 anno di reclusione • Ogni prigioniero può confessare il delitto grave o tacere. • Se confessa uscirà subito di prigione, mentre il complice avrà una pena di 20 anni di reclusione. • Se entrambi confessano saranno condannati ad una pena intermedia di 5 anni. • Se nessuno dei 2 confessa la pena sarà di 1 anno.

6. Dilemma del prigioniero Giocatori: I due criminali Regole: detenuti non possono comunicare, possono confessare o tacere, decidono contemporaneamente. Azioni: Confessare o tacere Strategie: confessare o tacere (coincidono con azioni in questo caso!) Vincite: gli anni di reclusione (vincite negative)

7. Gioco in forma strategica • Insieme dei giocatori i  N = {1,...,n} • Insieme delle strategie si Si • Funzione di vincita ui(s):S • Gioco in forma strategica  = {S1,...,Sn;u1,...,un} NOTAZIONE: Profilo di strategie (s1,...,sn)  S = S1...Sn

8. Gioco in forma strategica

9. Gioco in forma estesa Fornisce l’informazione per rispondere ai seguenti quesiti: • Chi gioca quando? • Cosa possono fare i giocatori? • Che informazione hanno i giocatori? • Quali sono le possibili vincite?

10. Gioco in forma estesa -5, -5 confessa confessa 2 tace 0, -20 1 confessa -20, 0 tace 2 tace -1, -1

11. Gioco dell’entrata • 2 imprese: X e Y • Y monopolista di un mercato; X decide se entrare o no • Se X entra, allora Y può produrre poco o tanto. • Se Y produce poco entrambe hanno profitto 1 • Se Y produce tanto entrambe avranno profitti -1 • Se X non entra avrà profitti nulli e Y può sempre produrre poco o tanto, ma resta monopolista • Se Y produce poco avrà profitto 2 • Se Y produce tanto avrà profitto 3

12. Gioco dell’entrata Giocatori: Le 2 imprese Regole: Impresa X decide per prima, Y può vedere l’azione di X Vincite: I profitti

13. Gioco dell’entrata Azioni X ENTRA o NON ENTRA Y produrre POCO o TANTO Strategie Impresa X ENTRA o NON ENTRA (coincide con azioni) Impresa Y Produrre POCO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRA Produrre POCO se X ENTRA, TANTO se X NON ENTRA Produrre TANTO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRA Produrre TANTO se X ENTRA, POCO se X NON ENTRA

14. Gioco in forma estesa -1, -1 tanto Y entra poco 1, 1 X tanto 0, 3 Non entra Y poco 0, 2

15. Gioco in forma strategica

16. Informazione • Informazione Perfetta: ciascun insieme informativo è composto da un nodo singolo (ad esempio gli scacchi, gioco di entrata) • Informazione imperfetta: in un qualche punto dell’albero di gioco un giocatore non è sicuro della storia passata del gioco, cioè ignora qualche azione passata. In altre parole qualche insieme di informazione contiene più di un nodo. (dilemma del prigioniero)

17. Rappresentazioni equivalenti

18. Strategie dipendono da informazione

19. Cos’è la SOLUZIONE di un gioco? • Se desideriamo prevedere l’esito verosimile di una situazione di interazione strategica dobbiamo prevedere il comportamento dei giocatori, cioè dobbiamo individuare la SOLUZIONE del gioco. • La soluzione di un gioco è un modello di comportamento dei giocatori che soddisfa delle condizioni di “plausibilità”.

20. Come definire la soluzione di un gioco? • Solitamente gli economisti usano l’IPOTESI DI RAZIONALITA’. • Problema: come definire la razionalità in situazioni di interazione strategica? Ricordiamo la definizione di teoria dei giochi: i giocatori sono razionalie intelligenti Il problema è formalizzare razionalità E intelligenza.

21. Applicazione dell’ipotesi di razionalità nei GFN • Per ogni giocatore ricerco la strategia che massimizza la vincita PER OGNI POSSIBILE SCELTA DEGLI ALTRI, • In altre parole cerco le RISPOSTE OTTIME in funzione di tutte le possibili strategie altrui.

22. Il dilemma del prigioniero 2 1 Non confesso Confesso Non confesso -0.5, -0.5 -3, 0 Confesso 0, -3 -1, -1 I numeri sono gli anni di prigione

23. Un concetto di equilibrio come soluzione: l’equilibrio di Nash Dato un gioco in forma strategica, un profilo di strategie s* S è unequilibrio di Nash in strategie pure se per tutti i giocatori i

24. INTERPRETAZIONIDELL’EQUILIBRIO DI NASH • NB: è definito come un profilo di strategie, non come un prodotto cartesiano, come abbiamo visto nel caso precedente.Questo dipende dal fatto che stiamo considerandoun concetto di equilibrio. • TreINTERPRETAZIONI: • Equilibrio di Nash come soluzione eduttiva • Equilibrio di Nash come punto di equilibrio di un processo dinamico (implicito) • Equilibrio di Nash come equilibrio di aspettative razionali.

25. Pari o dispari: non esiste un equilibrio in strategie pure 2 1 P D P +1, -1 -1, +1 D -1, +1 +1, -1

26. Strategie miste • Due tipi di strategie: • pure • miste • Due tipi di equilibrio • In strategie pure • In strategie miste

27. Definizione • Un profilo di strategie miste = (1,...,n) èun equilibrio di Nash se per ogni i,

28. Il gioco dell’entrata 0, 0 Guerra Entra IBM Accomoda Telex 2, 2 Fuori 1, 5

29. La forma normale del gioco dell’entrata IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5 1, 5

30. Equilibri nel gioco dell’entrata: le strategie ottime per Telex IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5 1, 5

31. Le strategieottime perIBM IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5 1, 5

32. Due equilibri IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5 1, 5

33. L’equilibrio credibile 0, 0 Guerra Entra 2 Accomoda 1 2, 2 Fuori 1, 5

34. L’equilibrio non credibile 0, 0 Guerra Entra Accomoda 1 2, 2 Fuori 1, 5

35. Problemicon gli equilibri di Nash Equilibrio di Nash: ogni giocatore deve agire ottimamente date le strategie altrui, cioè ogni giocatore gioca una risposta ottima alle strategie degli altri giocatori.Problema: la condizione di ottimizzazione è posta solo all’inizio del gioco.Perciò qualche equilibrio di Nash nei giochi dinamici può coinvolgere minacce non credibili.

36. Un nuovo concetto di soluzione per risolvere il problema della credibilità

37. Perfezione nei sottogiochi(Selten, 1965) • Applica una nozione di comportamento razionale (in particolare l’equilibrio di Nash) ogni volta che si fronteggia una situazione strategica ben definita. • La nozione di sottogioco proprio modella l’idea di “una situazione strategica ben definita”.

38. Il concetto di sottogioco Sottogioco 0, 0 Guerra Entra IBM Accomoda Telex 2, 2 Fuori 1, 5

39. Un esempio di non esistenza di sottogiochi propri 0, 0 Guerra Entra 2, 2 Accomoda IBM Telex Guerra 1, 5 Fuori Accomoda 1, 5

40. Credibilità e perfezione nei sottogiochi • Equilibri perfetti nei sottogiochi: gioca un equilibrio in tutti i sottogiochi. • Questo implica che i giocatori fanno minacce e promesse che poi hanno un incentivo a rispettare effettivamente.

41. Comportamento razionale nel sottogioco 0, 0 Guerra 2 Accomoda 2, 2

42. Definizione Un equilibrio Nashdièperfetto nei sottogiochi se specifica delle strategie di equilibrio Nash in ogni sottogioco proprio di . In altre parole, i giocatori devono scegliere razionalmente in ogni occasione durante il gioco.

43. Unprincipio generale • L’idea di giocare in modo ottimale ad ogni occasione del gioco è chiamata induzione a ritroso. • L’induzione a ritroso induce un equilibrio perfetto nei sottogiochi • Nei giochi ad informazione perfetta, si giocano delle risposte ottime ad ogni nodo decisionale.

44. Esempio 2: un gioco ad informazione perfetta

45. Il gioco in forma normale • Tre equilibri Nash in strategie pure: {R,ll}, {L,lr}, and {R,rl}. • {L,lr} e {R,rl} coinvolgono minacce non credibili.

46. Esempio 2: induzione a ritroso

47. Esempio 3: Stackelberg • Un impresa per prima stabilisce quanto produrre, successivamente una seconda impresa, dopo aver osservato la decisione della prima, decide a sua volta quanto produrre. • E’ un gioco ad informazione perfetta • La strategia dell’impresa che muove per seconda è una funzione.

48. OLIGOPOLIO

49. Calcolo degli equilibri per i giochi con un continuo di possibili strategie • Uso del calcolo differenziale per massimizzare l’utilità e risolvere i giochi • Equilibrio come soluzione di condizioni del primo e secondo ordine.

50. Concorrenza nelle quantità tra due imprese • Concorrenza alla Cournot • L’equilibrio di Cournot si colloca tra monopolio e concorrenza perfetta