Esempi di giochi

1. Esempi di giochi Puzzles e giochi a informazione perfetta Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

2. Sliding tiles: Euristiche H1(n) = numero di tessere sbagliate H2(n) = somma delle distanze di Manhattan (cioè, il numero di caselle da quella desiderata di ogni tessera) Stato iniziale Stato finale H1(S) = ?? H2(S) = ?? Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

3. Sliding tiles: Euristiche migliori? • Tutte le euristiche ammissibili ma il meno ottimistiche possibili. • Come fare a migliorare ? • Per esempio: Manhattan distance ignora le interazioni tra le caselle. Se ne teniamo conto, almeno in parte, che succede ? Stato iniziale Stato finale H1(S) = ?? H2(S) = ?? Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

4. Non-additive pattern db • Considera le caselle di confine (più quella vuota) • Qual è il numero minimo (esatto) di mosse da fare tenendo conto delle loro posizioni, ma non delle posizioni delle altre caselle? Stato iniziale Stato finale • Calcoliamo questo numero per ognuna delle possibili permutazioni delle caselle di confine: 16!/(16-8)!=518.918.400 • Memorizziamo in una tabella: circa 495MB di spazio. • Come facciamo a calcolare tale numero minimo di mosse? Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

5. Non-additive pattern db • Utilizziamo una BFS a partire dallo stato finale. • Ognuna delle configurazioni viene incontrata e la sua distanza minima calcolata (proprietà della BFS) Stato finale d=1 d=1 • Memorizziamo in una tavola indicizzata • Utilizziamo la distanza di Manhattan per le altre caselle Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

6. Non-additive pattern db • Risultati: • Numero dei nodi generati ridotto din un fattore 346 • Running time ridotto di un fattore 6 • Se confrontanti solo con la Manhattan Distance • Limiti • Non si riescono a risolvere problemi grandi. • Esempio: il puzzle 24, contiene 25 posizioni, e le posizioni delle caselle di confine sono 25!/(25-10)! Numero troppo grande (provare per credere) Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

7. Sliding tiles: Disjoint pattern DB • Estendiamo la distanza di Manhattan, invece di una casella singola, gruppi di caselle. • Nell’esempio, un gruppo di 7 (casella vuota esclusa) e un gruppo di 8 Stato finale Stato iniziale: gruppo 1 e 2 • Vi sono 57.657.600 gruppi da 7 (da 0 a 33 mosse) e 518.918.400 gruppi da 8 (da 0 a 38 mosse). Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

8. Puzzles: Sokoban • Il giocatore deve spingere i pezzi attraverso un labirinto e portarli nel posto finale • Solo un pezzo alla volta può essere spinto • Gli altri pezzi ed i muri sono ostacoli contro cui non si può spingere. • Goal: • Risolvere il puzzle • Minimizzare spinte e mosse Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

9. Sokoban cont. • Sokoban è un problema NP-hard, e addirittura, PSPACE-complete. • Problema generale di motion-planning Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

10. Sokoban: cont. • Cosa rende Sokoban difficile ? Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

11. Sokoban: cosa lo rende difficile? • Alcune mosse sono irreversibili e possono portare ad uno stato di stallo • Lo spazio di ricerca, su una griglia sottostante 20X20 è enorme (come vedremo). Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

12. Sokoban: come attaccarlo ? • Knowledge representation • Algoritmi di ricerca • Capacità di apprendimento • Gestione di eccezioni e sub-goals. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

13. Sokoban: complessità ? Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

14. Due semplici problemi: complessità? • Qual è la dimensione dello spazio di ricerca in entrambi i casi ? • 1000 (pushes) • 23000 (pushes) • Poca speranza senza usare conoscenza specifica Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

15. Sokoban cont. • Sokoban può essere attaccato con versioni appropriate di IDA*, estese con tecniche di conoscenza specifiche del dominio. • I livelli più complessi di Sokoban sono ancora fuori dalla portata di un sistema automatico di risoluzione. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

16. Tavole per i deadlocks • Calcolare gli angoli morti. • Costruire una tavola per gli stalli. • Riduzione del branching factor Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

17. Analisi dinamica dei deadlock • Quale mossa può portare ad un deadlock? • Risolvi aggiungendo una “pietra” alla volta Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

18. Analisi dinamica dei deadlock Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

19. Analisi dinamica dei deadlock • Introduci una “penalità” per la mossa che porta ad uno stallo Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

20. Tavole di trasposizione • Riconosci sequenze di mosse già fatte. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

21. Dentro un tunnel ! • Quando sei in un tunnel non puoi che continuare sino a quando non esci dal tunnel. • Verifica se il tunnel è a senso unico o a doppio senso Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

22. Goal Area: suddivisione del problema • Problema 1: porta le pietre all’ingresso • Problema 2: sistema le pietre nella zona finale Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

23. Suddivisione del problema: tagli • Non è necessario considerare tutte le mosse legali. • Solo quelle rilevanti per la risoluzione del sotto-problema Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

24. Giochi a informazione perfetta: Othello • Othello (anche detto Reversi) è un gioco da tavolo astratto a informazione perfetta, per due giocatori. • Ogni giocatore dispone di 32 dischi bicolori (neri da un lato, bianchi dall'altro) ed il terreno di gioco è costituito da una tavola quadrata di 8 x 8 caselle di colore uniforme. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

25. Othello cont. • Prima di iniziare a giocare si posizionano due pedine bianche e due nere nelle quattro caselle centrali. • Regole: • Si muove alternativamente (inizia il nero) appoggiando una nuova pedina in una casella vuota in modo da imprigionare, tra la pedina che si sta giocando e quelle del proprio colore già presenti sulla scacchiera, una o più pedine avversarie. • A questo punto le pedine imprigionate devono essere rovesciate e diventano di proprietà di chi ha eseguito la mossa. • È possibile incastrare le pedine in orizzontale, in verticale e in diagonale e, a ogni mossa, si possono girare pedine in una o più direzioni. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

26. Othello: cont. • Sono ammesse solo le mosse con le quali si gira almeno una pedina, se non è possibile farlo si salta il turno. • Quando nessuno dei giocatori ha la possibilità di muovere (quasi sempre accade quando la scacchiera è piena), si contano le pedine e si assegna la vittoria a chi ne ha il maggior numero. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

27. Othello: cont. • I migliori programmi per Othello vincono facilmente contro esseri umani. • Nel 1997, Logistello sconfisse il campione mondiale Takeshi Murakami per 6:0. • Esseri umani non riescono a vincere contro i programmi perché riescono a guardare avanti nell’albero del gioco in grande profondità. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello

28. Othello: cont. • Da un punto di vista matematico, Othello è ancora insoluto. • E’ un gioco finito a informazione perfetta. Esiste una strategia vincente ? • Ipotesi: su una scacchiera (othelliera) 8 per 8 la migliore strategia per entrambi i giocatori porta ad un pareggio. • In generale, n per n, il problema di determinare se il primo a muovere ha una strategia vincente è PSPACE-complete. • Per 4 per 4, e 6 per 6 il secondo giocatore ha una strategia vincente. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello