1 / 42

Ortogonal

Ortogonal. Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR. Ortogonal.

marius
Download Presentation

Ortogonal

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Ortogonal

  2. Yang dibahas : • Ortogonal • Basis ortogonal • Ortonormal • Matrik ortogonal • Komplemen ortogonal • Proyeksi ortogonal • Faktorisasi QR

  3. Ortogonal • Himpunan vektor {v1, v2, ….., vk} dalam Rn disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika : • Basis standar {e1, e2, ….., en} dalam Rnadalah himpunan ortogonal. vi . vj= 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k

  4. Contoh : Tunjukkanbahwa {v1, v2, v3} adalahhimpunanortogonaldalam R3jika : Jawab : Harusditunjukkanbahwasetiappasangadalahortogonal v1 . v2= 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0 v2 . v3= 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0 v1 . v2= 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0 Kesimpulan : {v1, v2, v3} adalahhimpunanortogonal

  5. Teori 1.Jika {v1, v2, ….., vk} adalahhimpunanvektorbukannol yang ortogonal, makavektor-vektortersebutadalahbebas linier. Bukti : Jikac1, c2, …., ck adalahskalarsehingga : c1v1+ …+ ckvk=0 kemudian (c1v1+ …+ ckvk) . vi= 0 . vi= 0 Atauhal yang sama : c1(v1. vi)+ ….. +ci(vi. vi)+ ……+ ck(vk. vi) = 0 Karena {v1, v2, ….., vk} adalahhimpunanortogonal, semuaperkaliantitikpasanganvektoradalahnolkecuali (vi. vi), sehinggapersamaandapatdiringkasmenjadi : ci(vi. vi)= 0

  6. Dengan hipotesa : vi ≠ 0 sehingga vi. vi≠ 0, oleh karena itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci. Hal ini juga berlaku untuk semua i = 1, ….. k, sehingga disimpulkan bahwa {v1, v2, ….., vk} adalah bebas linier. Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rnadalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu :

  7. Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : Jadi vektor u = ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah satu vektor tersebut. adalah basis W, namuntidak dan v =

  8. adalahvektordalamW yang ortogonal Anggap denganu. KarenawdalambidangW : x-y+2z = 0, makau.w = 0 diperolehpersamaan : x+y = 0. Denganmenyelesaikan SPL : x-y+2z = 0 x+y = 0 Didapatkan : x = -z dany = z Jadivektortidaknolwdapatdituliskandalambentuk :

  9. denganmudahdapatdibuktikan Jikadiambil bahwa [u,w] adalahhimpunanortogonaldalamW , sehinggamerupakan basis ortogonalWdan dim W=2. Teori 2.Jika {v1, v2, ….., vk} adalah basis ortogonaldarisubruang W dariRndanwmerupakanvektordalamW, makaskalarunikc1,…., ck dapatditulis : w = c1v1+ …+ ckvk Menghasilkan : untuki= 1, ……, k

  10. yang menjadi basis ortogonal Contoh soal : Carilah koordinat dari B ={v1, v2, v3}dengan Jawab :

  11. Jadi : w = c1v1+ c2v2 + c3v3 = 1/6 v1 + 5/2 v2+ 2/3 v3 Sehinggakoordinatw yang menjadi basis ortogonalBadalah :

  12. Ortonormal Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan ortonormal. Catatan : Jika S= {q1,….., qk}adalah himpunan vektor ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan Kenyataannya bahwa setiap qimerupakan vektor satuan dengan kata lain : qi . qi = 1. Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika:

  13. Contohsoal : Tunjukkanbahwa S = {q1,q2} adalahhimpunanortonormaldalamR3 jika: Jawab : Jikaterdapathimpunanortogonal, makadapatdenganmudahditentukanhimpunanortonormalnyayaitumenormalisasisetiapvektorhimpunanortogonaltersebut. ortonormal

  14. Contohsoal: Bangun basis ortonormaluntukR3darivektor-vektor : Jawab : daripenyelesaiansoalsebelumnyadiketahuibahwav1, v2, dan v3 adalah basis ortogonal, jaditinggalmenormalisasisetiapvektordiperoleh : Jadi {q1, q2, q3}merupakanbasis ortonormaluntukR3 ,

  15. Teori 3.Jika {q1, q2 .….., qk} basis ortonormaldarisubruang WdariRndan w adalahvektordalamW, maka : w = (w. q1 )q1 + (w. q2 )q2 +………+ (w.qk)qk Matrikortogonal Definisi : Suatumatrik Q ukuran n x n yang memilikikolomberbentukhimpunanortonormaldisebut: matrikortogonal. Teori 4.Kolommatrik Q ukuran m x n berbentukhimpunanortonormaljikadanhanyajika QTQ = In Teori 5.Matrikbujursangkar Q adalahortogonaljikadanhanyajika Q-1 = QT

  16. Contohsoal : Tunjukkanbahwamatrik-matrikberikutiniadalahortogonaldancarilahmatrikinversnya ! Jawab : KolommatrikAmerupakanvektor-vektor basis standardariR3jelasmerupakanortonormal, sehingga A adalahortogonaldan

  17. Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut : Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan

  18. Teori 6.Ambil Q matriknxn, makapernyataanberikutinimemilikiarti yang sama : • Q adalahortogonal. Teori 7. Jika Q adalahmatrikortogonal, makaelemenbarismerupakanhimpunanortonormal. Teori 8. Ambil Q merupakanmatrikortogonal. • Q-1adalahortogonal • det Q = • Jikaλadalahnilaieigendari Q, maka • Jika Q1dan Q2adalahmatrikortogonalnxn, makademikianjugauntuk Q1Q2

  19. Komplemenortogonal Definisi : AmbilWsubruangdariRn. SebuahvektorvdalamRnortogonaldenganW jika v ortogonaldengansetiapvektordalam W. Himpunansemuavektor yang ortogonaldengan W disebutkomplemenortogonaldari W ditulissebagai: = {v dalamRn: v.w = 0 untuksemuaw dalam W} v W l =danW = w l

  20. adalahsubruangdariRn. Teori 9. AmbilWsubruangdariRn. • W • JikaW = span (w1, ……, wk), makavberadadalam jikadanhanyajikav. wiuntuksemuai= 1, …….,k Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemenortogonaldariruangbaris A adalahruang null A dankomplemenortogonaldariruangkolom A adalahruang null AT = {0}

  21. Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang : • baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonaldari Rn • kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari RmDisebut : subruang fundamental dari matrik A mx n null (A) null (AT) 0 0 TA baris (A) kolom (A) Rn Rm

  22. Contohsoal : • Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari : danbuktikanbahwa : Jawab : Denganmereduksieselonbarisdari A diperoleh :

  23. baris (A) = baris (R) Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan : r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4} Denganmenyelesaikanpersamaanhomogen Rx = 0 diperoleh :

  24. Null (A) = span (u, v) dengan : Untuk menunjukkan menunjukkan setiap vektor r ortogonal dengan u dan v. Selanjutnya, dapat dilihat bahwa : r3 = r1 + 2r2dan r5 = -r1 + 3r2 + 4r4 dan v = u = cukupdengan

  25. Dengandemikianr3danr5tidakmemberikankontribusiapapunpadakolom (R), sehinggavektorkolomr1, r2danr4adalahbebas linier danmerupakanvektorsatuan. Jadi basis kolom A = span{a1, a2, a3} dengan : Perhitungan null(AT) dilakukandenganreduksibaris :

  26. Jikaydidalam null(AT) dengany1 = - y4, y2 = -6 y4 dan y3 = -3y4 , makadapatdiperolehhasil : null(AT) = Denganmudahdapatdibuktikanbahwavektortersebutortogonaldengana1, a2, a3 sehinggaterbuktibahwa :

  27. 2. Ambil W adalahsubruang R5yang dibangunoleh : Tentukan basis dari Jawab : subruang W dibangunolehw1,w2dan w3samadenganruangkolomdari :

  28. Teori 10 menyatakan Sehingga dapat dihitung : y didalam y1= –3 y4 – 4 y5, y2= – y4 – 3 y5 dan y3= –2 y5 Sehinggadiperoleh : Ada 2 vektor basis untuk jikadanhanyajika :

  29. Proyeksiortogonal Definisi : AmbilWsubruangdariRndan {u1, u2 .….., uk} merupakan basis ortogonal W. UntuksetiapvektorvdalamRn, makaproyeksiortogonal v pada Wdidefini-sikansebagai : Komponen v ortogonalke W adalahvektor : v v perpu(v) u u2 p2 proyu(v) p p1 W u1

  30. Contohsoal : Jika W bidangdalamR3denganpersamaan x-y+2z=0 dan komponen v yang ortogonalke W ! Jawab : Wterdiridarivektordenganbentuk : Carilahproyeksiortogonal v pada W dan

  31. danu2 = Diperoleh vektor basis W : u1= Proyeksi ortogonal v pada W adalah : v perpw(v) proyw(v) W

  32. Dan komponen v ortogonalpada W adalah : perpw(v) = v – projw(v)= Denganmudahdapatditunjukkanbahwaprojw(v) beradadalam W karenahasilnyamemenuhipersamaanbidang. Demikian pula halnyadenganperpw(v) adalahortogonalke W karenamerupakanperkalianskalardarivektor normal terhadap W.

  33. Dekomposisiortogonal Teori 11. Jika W merupakansubruangdariRndan v adalahvektordalamRn , makaadavektor-vektorunik w dalam W dan Teori 12. Jika W merupakansubruangdariRn, maka : dim W + dim dalam dapatdituliskan : v = w + = n

  34. Faktorisasi QR Teori 13. JikaA merupakanmatrikmxnyang memilikikolombebas linier, maka A dapatdifaktorisasisebagai QR dengan : Q adalahmatrikmxn yang memilikikolomortogonaldan R adalahmatriksegitigaatas yang invertible. Untukmelihatterjadinyafaktorisasi QR, misalkana1,…,an adalahkolombebas linier darimatrik A danq1,…,qnadalahvektorortonormal yang diperolehdarinormalisasimatrik A denganmenggunakanmetode Gramm-Schmidt. Untuksetiapi = 1,…..,n : Wi = span (a1,…,ai) = span (q1,…,qi)Sehinggajikaterdapatskalarr1i,r2i…,riidapatdituliskan : ai = r1iq1 + r2iq2 + …..+riiqiuntuki= 1, ……, n

  35. Diperolehhasil : a1 = r11q1 a2 = r12q1 + r22q2 an = r1nq1 + r2nq2 + …..+rnnqn Dituliskandalambentukmatriksebagaiberikut :

  36. Contohsoal : CarifaktorisasiQR dari : Jawab : Subruang W dibangunolehx1,x2dan x3samadenganruangkolomdarimatrik A. {x1,x2, x3}adalahhimpuanbebas linier, sehinggamerupakan basis dariW. Ambilv1 = x1, selanjutnyadenganmetode Gramm-Schmidt dihitungkomponen x2yang ortogonalpadaW1= span(v1)

  37. Untuk menghilangkan pecahan pada v2dilakukan perkali-an skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian v2 dirubah menjadi : Selanjutnya dihitung komponen x3ortogonal pada W2 =span(x1 ,x2) =span(v1 ,v2)= span basis ortogonal menggunakan

  38. Kembalidilakukanpenskalaanulang : Akhirnyadiperoleh basis ortogonal Untukmendapatkan basis ortonormaldilakukannormalisasisetiapvektor untukW

  39. A = QR, untukmencariRsuatumatriksegitigaatas, digunakankenyataanbahwaQmemilikikolomorto-normal sehinggaQTQ = I. Olehkarenaitu : QTA=QTQR = IR=R Diperolehhasilakhir :

  40. Diagonalisasiortogonaldarimatriksimetri Definisi : MatrikbujursangkarAdapatdidiagonalisaiortogonaljikaterdapatmatrikortogonalQdanmatrik diagonal Dsehinggadiperoleh : QTAQ = D Teori 14.Jika A dapatdidiagonalisaiortogonal , maka A adalahmatriksimetri Bukti : Karena Q-1 = QTdiperoleh QTQ = I = QQTsehingga : QDQT = QQTAQQT = IAI = A Tetapijuga : AT= (QDQT)T = (QT)T DTQT = QDQT = A Setiapmatrik diagonal adalahsimetri, maka A simetri .

  41. Latihansoal : • V=R3denganperkalianskalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3 Tentukanproyeksiortogonala= (1,2,1), b= (1,1,1) • V=R3denganperkalianskalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + a3b3 Wsubruang linier yang dibangunoleh {(-1,1,1), (1,1,1)} danv = (1,2,3) TentukanproyeksiortogonalvpadaW

More Related