Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2 (teoria degli oligopoli)

1. Esercizi e complementi di Economia dei Sistemi Industriali 2(teoria degli oligopoli) Introduzione alla Teoria dei GiochiParte prima

2. TEORIA dei GIOCHI • Oggetto di studio • Le scelte di agenti razionali in un contesto di interazione strategica • Contesto di scelta • Un contesto di scelta è detto strategico quando le conseguenze di un’azione per un agente dipendono: • non soltanto dalle azioni da lui compiute • ma anche dalle azioni compiute da altri agenti

3. Il termine gioco • Il termine gioco è utilizzato per definire un generico contesto strategico Gioco cooperativo I giocatori possono comunicare e stabilire accordi vincolanti primadi iniziare a giocare Gioco non cooperativo I giocatori non possono comunicare e stabilire accordi vincolanti primadi iniziare a giocare Le imprese prima di competere sul mercato stabiliscono accordi vincolanti I giocatori scelgono le proprie strategie indipendentemente (non agiscono in modo concertato)

4. CLASSIFICAZIONI • GIOCHI STATICI I giocatori scelgono contemporaneamente • GIOCHI DINAMICI I giocatori effettuano la loro scelta secondo una sequenza prestabilita di mosse • DESCRIZIONE DI UN GIOCO NON COOPERATIVO • FORMA NORMALE o STRATEGICA • FORMA ESTESA

5. DESCRIZIONE IN FORMA NORMALE G(N, S, u) • La descrizione in forma normale è caratterizzata da 3 elementi: • Un insieme di giocatori N = {1, 2, ..,n} • Un insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) Si a disposizione di ciascun giocatore iN • si Si indica una generica strategia pura • S = S1 S2 …  Snindica l’insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie pure • s = (s1, s2, … , sn )  Sindica una generica combinazione di strategie pure • Una funzione di payoffui : S  Rper ciascun giocatorei  N • ui (s)è il payoff del giocatorei se i giocatori scelgono la combinazione di strategies = (s1, s2, … , sn )

6. DILEMMA DEL PRIGIONIERO Numero dei giocatori Insieme di strategie pure (spazio delle strategie pure) a disposizione di entrambi i giocatori

7. PAYOFF DEI GIOCATORI

8. DUOPOLIO DI COURNOT E BERTRAND

9. Dilemma del Prigioniero • Modelli di Cournot e Bertrand • GIOCHI STATICI CON INFORMAZIONE COMPLETA • I giocatori scelgono le loro strategie “simultaneamente" (è sufficiente che ciascun giocatore scelga la propria strategia senza conoscere la scelta dell'altro) • IMPORTANZA DELLA STRUTTURA INFORMATIVA DEL GIOCO • Un gioco G è caratterizzato da informazione completa se tutti i giocatori conoscono gli elementi che caratterizzano il gioco. • N = {1, 2, ..,n} • S = S1 S2 …  Sn • ui : S  R i N

10. Informazione Completa Nel Dilemma Del Prigioniero • Entrambi i giocatori conoscono la (bi)matrice del gioco • PREDIZIONE SULL'ESITO DEL GIOCO • Procedura risolutiva: eliminazione iterata di strategie strettamente dominate

11. NOTAZIONI

12. DEFINIZIONI

13. LA PROCEDURA La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che giocatori razionali non scelgono strategie strettamente dominate nessuna credenza da parte di un giocatore, e relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima

14. ESEMPIO 1 Giocatore 2 Giocatore 1

15. ESEMPIO 2 Giocatore 2 Giocatore 1

16. ESEMPIO 3

17. ESEMPIO 3

18. RAZIONALITA’ DEI GIOCATORI • La procedura della eliminazione iterata di strategie strettamente dominate è basata sulla considerazione che: • giocatori "razionali" non scelgono strategie strettamente dominate. • Nessuna credenza da parte di un giocatore, relativa alle scelte degli avversari, è tale da rendere una strategia dominata una scelta ottima. • L'applicazione del procedimento per un numero arbitrario di passi richiede la seguente assunzione: • la "razionalità" dei giocatori è conoscenza comune (common knowledge) • tutti i giocatori sono razionali; • tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali; • tutti i giocatori sanno che tutti i giocatori sanno che tutti sono razionali, ecc..

19. ESEMPIO 4 Impresa 2 Impresa 1 Due imprese scaricano su un lago Profitto delle due imprese = 10 milioni di euro Costo per il depuratore = 6 milioni di euro Multa per avere superato i limiti di inquinamento previsti dalla nuova normativa = 7 milioni di euro PROBLEMA DI FREE-RIDING

20. ESEMPIO 5 Impresa 2 Impresa 1 • non ci sono strategie dominate da eliminare • In questo caso l’eliminazione delle strategie strettamente dominate non risolve il gioco, in generale non risolve tutte le classi di problemi • Ci serve un criterio di soluzione più forte • Il criterio con maggiore forza di predizione è l’equilibrio di Nash

21. EQUILIBRIO DI NASH Una combinazione di strategie è un equilibrio di Nash se per ogni giocatore i e per ogni strategia ammissibile un equilibrio di Nash richiede che la strategia di ogni giocatore i sia ottimale rispetto alle strategie ottimali degli avversari

22. EQUILIBRIO DI NASH risolve il problema: • Per ogni giocatore i la strategia si* e la migliore risposta del giocatore i alle strategie prescritte per gli altri n-1 giocatori • Nessun giocatore, preso singolarmente, desidera deviare dalla strategia prescritta • L'equilibrio di Nash è una predizione sull'esito del gioco strategicamente stabile o autovincolante (self-enforcing)

23. EQUILIBRIO DI NASH Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne s'= (s’i, s’-i), allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash Le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma non e vero il contrario Non è detto che una strategia che sopravvive alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate faccia parte di un equilibrio di Nash

24. ESEMPIO 5 Impresa 2 Impresa 1 • Non ci sono strategie dominate da eliminare • Per determinare l’equilibrio di Nash si procedeper ispezione • Si marcano le strategie pure di ciascun giocatore che sono risposte ottime alle strategie pure dell’avversario sottolineando il payoff corrispondente • Se in una casella risultano sottolineati entrambi i payoff, allora è stata individuata una combinazione di strategie caratterizzata dal fatto che ciascuna è la risposta ottima all’altra (equilibrio di Nash)

25. OSSERVAZIONE tutte le strategie sopravvivono alla eliminazione iterata di strategie strettamente dominate, ma solo la combinazione (A3, B3) soddisfa le seguenti condizioni: Se l'eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne , allora queste strategie sono l'unico equilibrio di Nash PROPOSIZIONE

26. ESEMPIO 6 e 7

27. ESEMPIO 8 (BATTAGLIA DEI SESSI) • Entrambi i giocatori desiderano trascorrere la serata insieme piuttosto che da soli, tuttavia “Iui" preferisce la partita mentre “Iei" preferisce il balletto • Ciascun giocatore consegue: • un payoff pari a 2 se entrambi vanno allo spettacolo da lui/lei preferito • un payoff pari a 1 se entrambi vanno allo spettacolo preferito dall'altro • un payoff pari a 0 se ognuno trascorre la serata da solo LEI LUI

28. ESISTENZA DELL'EQUILIBRIO DI NASH Teorema. (Nash, 1950) Ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio di Nash (eventualmente in strategie miste) Definizione: Un gioco è finito se il numero dei giocatori e quello delle strategie pure è finito. Altrimenti è infinito. Definizione:

29. r calcio 2/3 balletto q 1/3 balletto calcio 1 0 1 LEI q 1-q 1*r + 0*(1-r) LUI r 0*r + 2*(1-r) 1-r Equilibrio di Nash in strategie miste: ((2/3,1/3);(1/3,2/3))

30. MATCHING PENNIES r testa 1/2 croce q 1/2 croce testa 1 0 1 q 1-q r 1-r Equilibrio di Nash in strategie miste: ((1/2,1/2);(1/2,1/2))

31. Teorema (Glicksberg, Debreu; 1952) • Un gioco per il quale valgano le seguenti ipotesi: • il numero dei giocatori è finito • Si è un sottoinsieme compatto e convesso di uno spazio euclideo per ogni giocatore iN • ui é una funzione continua in sS per ogni iN • ammette almeno un equilibrio di Nash. Se inoltre ui é una funzione quasi-concava in si per ogni iN, allora ammette almeno un equilibrio di Nash in strategie pure.