Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 1 w Gryficach • ID grupy: 98/22_mf_g2 • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Tajemnice tabliczki mnożenia • Semestr: IV • Rok szkolny: 2011/2012

3. NASZA GRUPA Iza Chomiakowska Grzegorz Piotrowski Kamila Jędzejczak Karina Górecka Grupa 2 Luiza Terka Michał Furmaniuk Stawicka Kamila Bartosz Husa Oskar Szyjanowski

4. TAJEMNICE TABLICZKI MNOŻENIA

5. TABLICE MATEMATYCZNE • Tablice matematyczne to zbiory wartości różnych funkcji matematycznych dla różnych wartości ich argumentów. • Najprostszym przykładem tablicy matematycznej jest tabliczka mnożenia. • Tablice matematyczne służyły ułatwianiu obliczeń matematycznych, astronomicznych, fizycznych, statystycznych itp. Obecnie, na skutek upowszechnienia się elektronicznych technik obliczeniowych, tablice matematyczne wychodzą z użytku.

6. TABLICZKA MNOŻENIA • Tabliczka mnożenia - tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych. Najczęściej w formie kwadratowej tablicy (macierzy), w której kolejne wiersze i kolejne kolumny odpowiadają kolejnym liczbom mnożonym przez siebie, a gdzie na skrzyżowaniu wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia. Najczęściej spotykana jest tabliczka "do stu", o dziesięciu kolumnach i dziesięciu wierszach, w której na skrzyżowaniu dziesiątego wiersza i dziesiątej kolumny znajduje się wynik mnożenia 10×10=100.

7. Tabliczka mnożenia

8. Liczby trójkątne • W matematyce liczba trójkątna to liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczbnaturalnych: • Kolejne liczby trójkątne to • 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... n-tą liczbę trójkątną można wyznaczyć ze wzoru: co przy pomocy symbolu Newtona można zapisać jako: • Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych: • różnica: tn + 1 − tn = n + 1, suma: tn + 1 + tn = (n + 1)2.

9. Historia tabliczki mnożenia Tabliczka mnożenia - tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych. Najczęściej w formie kwadratowej tablicy (macierzy), w której kolejne wiersze i kolejne kolumny odpowiadają kolejnym liczbom mnożonym przez siebie, a gdzie na skrzyżowaniu wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia. Najczęściej spotykana jest tabliczka "do stu", o dziesięciu kolumnach i dziesięciu wierszach, w której na skrzyżowaniu dziesiątego wiersza i dziesiątej kolumny znajduje się wynik mnożenia 10×10=100. Spotykane są także tabliczki o wymiarach większych (np. 12×12 lub 20×20), a także zestawienia wyników mnożeń liczb całkowitych w formie innej, niż kwadratowa macierz, ale na przykład w formie zestawienia.

10. Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb: 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

11. Trójkąt pascala • Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią. Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia. • Uważa się, że trójkąt ten został odkryty na przełomie XI i XII w. przez Chińczyków i niezależnie przez Omara Chajjama XI. W XVII w. matematyk francuski Blaise Pascal połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwany został trójkątem Pascala.

12. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTA PASCALA - DWUMIAN NEWTONA w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1. Inaczej: licząc miejsca w wierszu od zera, liczba stojąca na miejscu k w wierszu n jest równa Przykład: W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe.

13. Własności trójkąta PASCALA • Na skrajnych bocznych (zerowy) rzędach trójkąta są jedynki. • W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4, ...). • W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10, ...).

14. Własności trójkąta PASCALA • W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) • W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej. • Uogólniając, w n-tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n-komórkowe. • Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej.

15. NA PRZYKŁAD:

16. Własności trójkąta PASCALA • Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2. • Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.

17. Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego: 0 1 # 1 1 1 # # 2 1 2 1 # # 3 1 3 3 1 # # # # 4 1 4 6 4 1 # # 5 1 5 10 10 5 1 # # # # 6 1 6 15 20 15 6 1 # # # # 7 1 7 21 35 35 21 7 1 # # # # # # # # 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 # # 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 # # # #

18. Zastosowanie trójkąta Pascala • W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne.

19. LICZBY TRÓJKĄTNE • Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem ich geometryczna ilustracja:

20. Przykład • Numer liczby: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Liczby trójkątne:1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba  trójkątna o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych

21. Liczba kwadratowa •  Liczba kwadratowa to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić w następujący sposób: • Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić według wzoru:gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego.

22. zastosowanie • Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej. • Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania?

23. Piramidy z klocków

24. Gauss i liczby newtonowskie • Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

25. LICZBY WIELOKĄTNE • Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ulożone w więcej niż 1 wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową. • Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy.

26. LICZBY WIELOŚCIENNE • Gdy weźmiemy pod uwagę przykłady: • 1, 2, 3, 4, 5, 6... • 1, 3, 6, 10,15, 21... • 1, 4, 10, 20, 35, 56...albo • 1, 4, 7, 10, 13, 16... • 1, 5, 12, 22, 35, 51... • 1, 6, 18, 40, 75, 126... Liczby pierwszego wiersza tworzą ciąg arytmetyczny, drugiego wiersza są sumami liczb pierwszego, liczby trzeciego wiersza są sumami liczb drugiego wiersza. Liczby drugiego wiersza zwą się liczbami wielobocznymi, trzeciego wiersza piramidowego. Zależnie od różnicy ciągu arytmetycznego, liczby wieloboczne zwą się trójkątnymi, czworobocznymi, pięciobocznymi itd., podobnie liczby trzeciego wiersza.

27. UKRYTE WŁASNOŚCI TABLICZKI MNOŻENIA

29. KWADRAT MAGICZNY • Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

30. KWADRAT MAGICZNY • Wg chińskiego mitu cesarz Yu, który żył w trzecim tysiącleciu przed naszą erą, natknął się nad dopływem Żółtej Rzeki na świętego żółwia z dziwnymi znakami na skorupie. Nazwano je Lo Shu. Te znaki to liczby układające się w kwadrat:

31. Kwadrat magiczny

32. Kwadratowy kwadrat • W roku 1770 Leonhard Euler ułożył pierwszy kwadrat magiczny z kwadratami (drugimi potęgami), złożony z 16 kratek (4×4), z sumą magiczną 8515.

33. Kwadratowy kwadrat 3 na 3 • Natomiast próby ułożenia „kwadratowego” kwadratu magicznego 3×3 spełzły na niczym i „spełzają” do dziś. Trzy lata temu francuski matematyk Christian Boyer złagodził wymagania: wystarczy, aby kwadratami było tylko siedem liczb - jednak kwadrat powinien być całkiem inny niż poniższy( jak dotąd jedyny znany, w którym tylko dwie liczby nie są kwadratami), czyli z dokładnością do różnych rodzajów przekształceń. Suma magiczna wynosi • w tym przypadku 541875.

34. Zadanie • Kwadrat 3×3 jest półmagiczny ( bez magii na przekątnych) oraz kwadratowy, ale inaczej. • Osiem płytek z liczbami należy umieścić na żółtych polach tak, aby: - sumy trzech liczb w każdym z czterech rzędów były różnymi kwadratami; - po wpisaniu w środkowe pole odpowiedniej liczby, sumy liczb w dwóch rzędach wskazanych strzałkami także tworzyły kwadraty, ale kolejne (następujące bezpośrednio po sobie w ciągu kwadratów liczb całkowitych dodatnich).

35. Zadanie

36. Rozwiązanie: 5 30 1 9 132 3 2 7 0

37. ciekawostka • Spójrzmy teraz na pewną geometryczną ciekawostkę. Nazwijmy ją geometryczną tabliczką mnożenia. Dlaczego geometryczną? Sami odpowiedzcie sobie na to pytanie przyglądając się poniższym rysunkom. Przedstawiona poniżej geometria figur w kole redukuje się de facto do czterech cyfr: 1,2,3,4 ponieważ pozostałe cyfry: 5,6,7,8 tworzą identyczną geometrię jak 1,2,3,4. Można powiedzieć, że 0 i 9 symbolizują w tym przykładzie  "nieskończoność", w której pojawiają się różne kształty.

38. Geometria tabliczki mnożenia Liczby tradycyjnej tabliczki mnożenia zostają zredukowane do pojedynczej cyfry np. 10=1+0=1

39. Geometria tabliczki mnożenia Zredukowana tabliczka mnożenia zawiera symetrycznie rozmieszczone liczby, które tworzą układy geometryczne

40. Geometria tabliczki mnożenia Okręgi naniesione są na następujące liczby, zaczynając od centrum (7,2),(3,6),(9),(8,1),(6,3),(4,5),(3,6),(2,7),(1,8) suma liczb wynosi 9

41. Geometria tabliczki mnożenia Geometryczny wzór zredukowanego ciągu binarnego 1,2,4,8,7,5 zawarty jest w zredukowanych ciągach tabliczki mnożenia

43. Dalsza część symetrycznie dla 5 jak dla 4, dla 6 jak dla 3, 7-2, 8-1 i 9-0

44. Ciekawostka – Troidalna tabliczka mnożenia

45. Lustrzane odbicia 7 i 2 w tabliczce mnożenia

46. Mnożenie sposobem „na 9” • Dziewiątka jest bardzo miłą cyfrą, zwłaszcza dla tych, którym z trudnością przychodzi zdobycie tej najważniejszej ze wszystkich „zdobyczy" matematycznych - tabliczki mnożenia. Otóż można zupełnie nie uczyć się mnożenia przez 9. Po co sobie obciążać pamięć?

47. Mnożenie sposobem „na 9” • Wystarczy mieć 10 palców u rąk, obie ręce położyć na stole i unosić odpowiedni palec, a mnożenie samo się dopełni i trzeba będzie tylko odczytać rezultat. • Jeśli np. chcemy pomnożyć 9 przez 3, podnosimy trzeci palec od lewej strony i czytamy: liczba palców w lewo od podniesionego będzie oznaczała dziesiątki iloczynu (2), a liczba palców w prawo - jedności (7). Jeśli chcemy 7 pomnożyć przez 9, unosimy siódmy palec od lewej strony i czytamy: 63.

48. Symbolika tabliczki mnożenia • A co, jeśli przyśni ci się tabliczka mnożenia? • U dzieci są to dobre stopnie z arytmetyki. • U dorosłych symbolizuje nabytą wiedzę.

49. Suwak logarytmiczny • (suwak rachunkowy) – prosty przyrząd ułatwiający obliczenia. Suwak, w znanej dziś postaci, był używany przez około 150 lat. W latach 80-tych ubiegłego stulecia, gwałtownie został wyparty przez kalkulator, później komputer. Wynaleziony w 1632 roku przez Williama Oughtreda, zainspirowany linijką logarytmiczną Edmunda Guntera. • Suwak logarytmiczny umożliwia mnożenie, dzielenie i wiele innych działań np. logarytmowanie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Spełnia rolę tablic trygonometrycznych.

50. Mnożenie na Suwaku logarytmicznym • Mnożenie 2x3. Jedynka przesuwki ustawiona nad pierwszym czynnikiem (2). Wynik (6) odczytujemy pod drugim czynnikiem (3). Zauważmy, że w takim ustawieniu możemy odczytać wszystkie inne mnożenia przez 2