Automne 2006

1. Sensibilisation au Programme de formation de l’école québécoise du 2e cycle du secondaireMathématique Automne 2006

2. But de l’atelier Se familiariser avec les composantes du Programme de formation du 2e cycle en mathématique

3. Parcours de formation secondaire

7. Les mathématiques au deuxième cycle du secondaire

8. Structure du Programme de formation Instruire - Vision du monde - Identité - Pouvoir d'action ÉLÈVE Domaines généraux de formation Compétences transversales Domaines d'apprentissage Qualifier Socialiser

10. 100 h 100 h 150 h 150 h 150 h 150 h 150 h 150 h 150 h 2005 2006 2007 2008 2009

11. La séquence Culture, société et technique … Prépare plus particulièrement à poursuivre des études dans le domaine des arts, de la communication et des sciences humaines ou sociales Ancrée culturellement, elle est susceptible d’éveiller un intérêt pour les causes sociales et l’esprit d’entreprise Contribue à la formation d’un citoyen autonome, actif et raisonné Vise à enrichir et à approfondir la formation de base en mathématique en traitant l’ensemble des champs mathématiques, et ce, à chaque année du cycle Aide l’élève à développer des aptitudes aussi bien pour traiter des données que pour optimiser des situations Met l'accent sur des situations auxquelles l’élève devra faire face dans sa vie personnelle et professionnelle

12. Prépare plus particulièrement à poursuivre des études dans des domaines techniques liés à l’alimentation, la biologie, la physique, l’administration, les arts et la communication graphique Permet l’exploration de situations qui combinent le travail manuel et intellectuel Favorise l’exploration de différentes sphères de formation Échelonne l’apprentissage des champs mathématiques de l’algèbre et de la géométrie sur deux ans et ceux des probabilités et de la statistique sur un an Met en relief les concepts et les processus associés à des instruments liés à certaines techniques La séquence Technico-sciences … Met l'accent sur la réalisation d’études de cas, le repérage d’erreur et d’anomalies, l’apport de correctifs ou l’émission de recommandations, et ce, dans des contextes variés

13. La séquence Sciences naturelles … Prépare plus particulièrement à poursuivre des études en sciences de la nature et est destinée aux élèves qui désirent éventuellement s’orienter vers la recherche Permet de comprendre l’origine et le fonctionnement de certaines phénomènes Mobilise des procédés de recherche, l’élaboration et l’analyse de modèles issus de diverses expériences Vise principalement le développement des concepts et des processus inhérents à l’algèbre et la géométrie, et la statistique est exploitée en rapport avec les fonctions Favorise l’élaboration de preuves ou de démonstrations dans lesquelles des relations ou des propriétés algébriques sont mises à profit Met l'accent sur des activités ayant un lien avec le domaine des sciences

14. Contexte pédagogique

15. Cycle d’enseignement EXamen EXposé (EX)5 EXplications EXemples EXercices

16. Contexte pédagogique • Situations d’apprentissage qui ... • font appel à la participation active de l’élève (différenciation) • contribuent au développement des compétences • (situations de communication, d'application et problème) • Différentes activités • de manipulation • d’exploration • de construction • de simulation • ludiques • projets • activités interdisciplinaires • Diverses ressources matériel de manipulation, divers outils et utilisation de la technologie

17. Comment varier nos pratiques pédagogiques? • Utiliser tantôt l’une des compétences, tantôt l’autre comme porte d’entrée pour la construction ou l’Intégration de nouveaux concepts et processus • Aider les élèves à s'approprier le contenu de formation pendant la situation d’apprentissage, après qu'ils aient tenté d’effectuer la tâche à l’aide de leurs connaissances antérieures et éprouvent le besoin d’en savoir davantage pour parvenir à leurs fins • Rendre l’exposé magistral interactif et le faire animer parfois par les élèves • Offrir un choix d’activités différentes (différenciation) • Faire travailler les élèves parfois en coopération, parfois seul • Varier le type de ressources à consulter ou utiliser: documentation, logiciels, experts, instruments, objets • Autres

19. Situation-problème / ¤ Situations d’apprentissage et d’évaluation Situation de communication Situation d’application Des situations pour chaque compétence et pour différentes intentions Reconnaissance de compétences Aide à l’apprentissage Situation d’apprentissage Situation d’évaluation Situation d’apprentissage Situation d’évaluation ¤ Construction des concepts et des processus Concepts et processus déjà appris

20. Situationqui développe des compétences

21. Figures géométriques et sens spatial Sur un parchemin, avec la carte de l’île Hammer, on a trouvé ce texte : « Le trésor est enterré à la même distance de l’arbre A et de la tour T. Il est à 350 m de l’arbre et à moins de 400 m du puits P. » Saurais-tu situer ce trésor? Source : Académie de Rennes, EDAP 22, 1998-1999, Problèmes de construction, p. 10

22. Figures géométriques et sens spatial Sur un parchemin, avec la carte de l’île Hammer, on a trouvé ce texte : « Le trésor est enterré à la même distance de l’arbre A et de la tour T. Il est à 350 m de l’arbre et à moins de 400 m du puits P. » a) Trace le segment reliant A et T. b) Comment se nomme la droite dont les points sont situés à égale distance des extrémités du segment AT? c) Trace cette droite. d) À l’aide de l’échelle donnée, situe l’emplacement du trésor sur cette droite. e) Cet emplacement est-il à 350 m du point A et à moins de 400 m du point D? f) Y aurait-il un autre emplacement possible pour le trésor?

23. Compétences mathématiques

24. Compétences mathématiques Métacognition Une compétence est un savoir-agir fondé sur la mobilisation et l’utilisation efficaces d’un ensemble de ressources Savoir et savoir-faire Savoir-être Compétence Pouvoir Vouloir Transfert Cognition Motivation Savoir-agir • Résoudre une situation-problème • Déployer un raisonnement mathématique • Communiquer à l’aide du langage mathématique

25. Décoder les éléments qui se prêtent à un traitement mathématique Représenter la situation-problème par un modèle mathématique Résoudre une situation-problème Élaborer une solution mathématique Échanger l’information relative à la solution Valider la solution Résoudre une situation-problème : composantes

26. Appropriation Investigation Distanciation Discrimination Gestion des ressources Contrôle et régulation Exemplification Processus de résolution d'une situation-problème Planification Organisation Généralisation

28. Émettre des conjectures Construire et exploiter des réseaux de concepts et de processus mathématiques Déployer un raisonnement mathématique Réaliser des preuves ou des démonstrations Déployer un raisonnement mathématique : composantes

29. Conjecture Raisonnement par disjonction des cas Raisonnement par analogie Preuve intellectuelle Preuve pragmatique Raisonnement inductif Raisonnement déductif Validation Preuve directe Preuve indirecte Raisonnement par l’absurde Raisonnement à l’aide d’un contre-exemple Eurêka! Conclusion

31. Explication, preuve et démonstration selon Balacheff Explication Preuve Démonstration Source : Arsac,Gilbert et autres. Initiation au raisonnement déductif au collège.. Lyon, Presses universitaires de Lyon, 1992.

32. Vérification Explication Découverte ou invention Communication Persuasion ou conviction Montrer la probabilité, la plausibilité ou la certitude de la valeur de vérité d’une conjecture Rendre intelligible le caractère de vérité, acquis pour le locuteur, d’une conjecture ou d’un résultat Permettre de construire de nouveaux objets mathématiques et de découvrir de nouvelles démarches ou stratégies Conceptualiser des objets mathématiques et transmettre des savoirs mathématiques Convaincre les membres d’une communauté (ex. enseignant et groupe-classe) par le truchement d’une argumentation appropriée de la probabilité, de la plausibilité ou de la certitude de la valeur de vérité d’une conjecture Fonctions de la preuve ou de la démonstration « Est-ce que c’est vrai? » ou « Pourquoi est-ce vrai? »

33. Interpréter des messages à caractère mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique Produire ou transmettre des messages à caractère mathématique Réguler une communication à caractère mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique : composantes

37. Indicateurs de progressionde laCompétence 3

38. Contenu de formation

39. Visées de l’activité mathématique Interprétation du réel Généralisation Anticipation Prise de décisions Domaines généraux de formation Santé et bien-être Orientation et entrepreneuriat Environnement et consommation Médias Vivre-ensemble et citoyenneté Compétences disciplinaires Résoudre une situation-problème Déployer un raisonnement mathématique Communiquer à l’aide du langage mathématique Compétences transversales Choix des Contenus deformation Esprit de chacune des séquences Culture, société et technique Technico-sciences Sciences naturelles Champs mathématiques Arithmétique et algèbre Probabilités et statistique Géométrie Graphe

40. 068 416-514 426-526 436-536 Comparaison de l’articulation des contenus entre les 068 et le programme de formation du 2e cycle Séquence Technico-sciences Séquence Culture, société et technique Séquence Sciences naturelles

44. FIN

45. Indicateur relatif aux registres de représentation sémiotique Indicateur relatif aux types de phrases ou de textes utilisés Indicateur relatif à l’interprétation d’un message mathématique Indicateurs de progressionCompétence 3 Indicateur relatif à l’adaptation d’un message mathématique au contexte et à l’interlocuteur Indicateur relatif aux éléments du langage mathématique que l’on retrouve dans un message mathématique Indicateur relatif à l’organisation d’un message mathématique

46. Indicateur relatif aux registres de représentation sémiotique • L’élève traduit un message mathématique produit sous divers registres de représentation en explorantle message. • L’élève traduit un message mathématique produit sous divers registres de représentation en identifiantdes faits, des concepts et des relations. • L’élève traduit un message mathématique produit sous divers registres de représentation en identifiantses relations internes et son organisation. • L’élève traduit un message mathématique produit sous divers registres de représentation en transcrivantdes faits, des concepts et des relations. • L’élève traduit un message mathématique produit sous divers registres de représentation en structurantun ensemble d’éléments et de relations entre ces derniers et leurs attributs.

47. Indicateur relatif aux types de phrases ou de textes utilisés • L’élève produit un message élémentaire non structuré(éléments isolés et partiellement erronés) en utilisant des éléments du langage mathématique. • L’élève produit un messageélémentaire(éléments isolés) en utilisant des éléments du langage mathématique. • L’élève produit un message structuré simple (phrases courtes ou isolées) en utilisant des éléments du langage mathématique. • L’élève produit un message structuré complexe (texte) en utilisant des éléments du langage mathématique. • L’élève produit un message structuré complexe et complet (texte) en utilisant des éléments du langage mathématique.

48. Indicateur relatif à l’interprétation d’un message mathématique • L’élève explore un message mathématique en identifiant des données afin de dégager une information déterminée. • L’élève explore un message mathématique en sélectionnant des données afin de dégager une information déterminée. • L’élève explore un message mathématique en analysant des données afin de dégager une information déterminée. • L’élève explore un message mathématique en synthétisant des données afin de dégager une information déterminée. • L’élève explore un message mathématique en comparantdes données afin d’expliquer des différences et des similitudes et de dégager une information déterminée.

49. Indicateur relatif à l’adaptation d’un message mathématique au contexte et à l’interlocuteur • L’élève adapte un message mathématique lorsque des attitudes, des démarches et des critères à ajuster lui sont donnés. • L’élève adapte un message mathématique en percevant des attitudes, des démarches et des critères à ajuster. • L’élève adapte un message mathématique en ajustant ses attitudes, ses démarches et ses critères. • L’élève adapte un message mathématique en percevant et en comprenant les attitudes, les démarches et les critères à modifier. • L’élève adapte un message mathématique en modifiant ses attitudes, ses démarches et ses critères.

50. Indicateur relatif aux éléments du langage mathématique que l’on retrouve dans un message mathématique • L’élève mobilise des particuliers (des faits)lorsqu’il produit ou interprète un message mathématique. • L’élève mobilise des classes (des concepts) lorsqu’il produit ou interprète un message mathématique. • L’élève mobilise des relations lorsqu’il produit ou interprète un message mathématique. • L’élève mobilise des opérations lorsqu’il produit ou interprète un message mathématique. • L’élève mobilise des structures lorsqu’il produit ou interprète un message mathématique.