İSTATİSTİK VE OLASILIK I

1. İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü İSTATİSTİK VE OLASILIK I 6. Hafta: Kesikli Olasılık Dağılımları Öğr. Gör. Dr. Berk Ayvaz 2013

2. Kesikli Olasılık Dağılım Türleri

3. 1- Binom Dağılımı • Bir X olayının meydana gelmesinde iki durum söz konusu olduğu zamanlarda bu olayın binom dağılımı gösterdiği söylenir. • Başarılı-başarısız, yazı-tura, kız-erkek vs. iki sonuçlu olaylar binom dağılımına uyarlar. • Binom dağılımında başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı ise q=1-p ‘dir. • Gerçekte başarı denilen kavram, üzerinde durulan olayın meydana gelmesi, başarısızlık ise gelmemesi durumudur. • Mesela, bir para atıldığında yazı gelme olasılığı üzerinde duruyorsak yazı gelme olasılığı p, gelmeme olasılığı ise 1-p=q olarak gösterilir. • Bu dağılım Bernoulli dağılımı diye tanınır. • Üzerinde durulan olayın n denemede x defa meydana gelme olasılığının oluşturduğu dağılıma Binom dağılımı denir. • Binom dağılımının olasılık fonksiyonu şu şekildedir.

4. 1- Binom Dağılımı • X değerleri 0, 1, 2,….. gibi kesikli değerler alabileceğinden ve sadece bu değerler için nokta olasılıkları hesaplanabileceğinden binom dağılımı kesikli bir dağılımdır.

5. Örnek 1 • Bir sigortacı sigorta poliçesi satmak için farklı firmalarla görüşmeler yapmaktadır. Satış yapma olasılığı 0,4 olduğunu düşünelim. Bu kişinin 5 farklı firma ile görüştüğü bilinmektedir. Bu görüşmelerden 2 tanesinin başarılı geçme olasılığı nedir?

6. Çözüm 1

7. Binom Dağılımının Özellikleri • Binom dağılımının parametresi p’dir. • Ortalama = n.p • Varyans = n.p.q= n.p.(1-p) • Standart sapma =

8. Örnek 2 • Bir proseste üretilen ürünlerin %15’inin kusurlu olduğu biliniyor. Bu prosesten şansa bağlı olarak alınan 3 birimlik bir ürün örneğinde; • 2 ürünün kusurlu olma olasılığı nedir? • En az 2 ürünün kusurlu olma olasılığı nedir?

9. Çözüm 2

10. Örnek 3 • Bir toplantıya katılan 20 katılımcıya akşam yemeği çağrıları gönderilmiştir. Davet edilen her katılımcı için daveti kabul olasılığı 0,9 ‘dur. • Bu daveti en çok 17 kişinin kabul etme olasılığı nedir?

11. Çözüm 3 • Rassal değişken X daveti kabul sayısını göstersin. • O zaman X= 17 , n= 20 , ve p=0,9 olan bir binom dağılımına uyar.

12. Örnek 4 • Cıvata üretimini yapan bir firmada kalite kontrol mühendisi üretilen ürünlerin kalitesini denetlemektedir. 20 adetlik cıvata kutusunda 5 adet civatanın kusurlu olduğu bilinmektedir. Bu kutudan 4 adet cıvata çekildiğinde; • Bir civatanın kusurlu olma olasılığı nedir? • En az bir civatanın kusurlu olma olasılığı nedir?

13. Çözüm 4 • P= 5/20= 0,25 • = • P(X= 1 - =] =

14. Örnek 5 Yeni geliştirilen bir füze, hedefin 50 m yakınına düştüğünde hedefi imha etmektedir. Füzenin hedefi imha etme olasılığı 0.40’tır. Prototip olarak üretilen 5 tane füze yapay bir hedefe atılıyor. Buna göre, hedefe atılan a) 5 füzeden 1 tanesinin hedefi imha etme olasılığını bulunuz. b) 5 füzeden en az 4 tanesinin hedefi imha etme olasılığını bulunuz.

15. Çözüm 5 Bu örnekte, p: Hedefin imha edilme sayısı p olarak tanımlanırsa, n=5 ve p=0.40 olduğu görülür.

16. Poisson Dağılımı • Poisson dağılımı, olasılık ve istatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan kesikli bir dağılımdır. • Bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılır. • İlgilenilen aralık uzunluğu, bir “birim” olarak ifade edilirse zamanla ilgili aralıklar “birim zaman”, uzayla ilgili aralıklar ise “birim uzay” olarak ifade edilir. • Birim zamana örnek olarak; Bir hafta, altı ay, bir yıl • Birim uzaya örnek olarak; Bir metre (uzunluk), bir dönüm (alan), 1/2 metre küp (hacim) v.b. verilebilir. • Aşağıda, Poisson dağılımı kullanılarak modelleme yapılabilecek bazı olaylara örnekler verilmiştir. • Dünyaya, bir haftada (birim zaman) düşen göktaşı sayısı. • Bir kavşakta, altı ayda (birim zaman) meydana gelen trafik kazası sayısı. • Bir maden ocağında, bir yılda (birim zaman) meydana gelen ve yaralanmayla sonuçlanan kaza sayısı. • Bir metre (birim uzunluk) uzunluğunda, bir çelik halattaki üretimden kaynaklanan hata sayısı. • 2dönüm (birim alan) büyüklüğünde bir domates serasındaki hastalıklı fide sayısı. • 1/2 metreküp (birim hacim) büyüklüğünde bir akvaryumdaki hasta Japon balığı sayısı. • Örneklerden de anlaşılabileceği üzere, Poisson dağılımı nadir (seyrek) gerçekleşen olayların modellenmesinde kullanılan bir dağılımdır.

17. Poisson Dağılımı • Binom dağılımı gibi kesikli bir olasılık dağılımıdır. • Bu dağılımda üzerinde durulan olayın meydana gelme ihtimali çok düşüktür. • N ‘nin büyümesi, p’nin de küçülmesi halinde binom dağılımı yerine poisson dağılımı kullanılır. • Daha net bir ifade ile n.polduğunda binom dağılımı poisson dağılımına dönüştürülür. = 0’dan t’ye kadar olan zaman diliminde bir olayın ortalama gerçekleşme sayısıdır. • Burada = poisson dağılımının ortalamasıdır. • Bu dağılımın varyansı da ’ya eşittir. • Poisson dağılımının ortalaması = n.p ile hesaplanır. • Poisson dağılımındaki e indisi yaklaşık olarak 2,71828 ‘e eşittir. e= 2,71828 Ortalama () = Varyans ( ) = Standart sapma ()=

18. Örnek 6 Bir çağrı merkezinde her bir dakikada 4 çağrı alındığını düşünelim. • 2 dakikalık bir zaman aralığında 6 adet çağrı gelme olasılığı nedir? • 3 dakika içinde en az 3 çağrı gelme olasılığını bulunuz.

19. Çözüm 6 • 2 dakikalık bir zaman diliminde beklenen çağrı sayısı =8 ‘dir. X verilen sürede kabul edilen çağrı sayısı ise; = 0,122138 • Süre 3 dakika olduğunda beklenen çağrı sayısı =12 ‘dir. X verilen sürede kabul edilen çağrı sayısı ise; )= 0,999478

20. Örnek 7 • Bir araştırmaya göre İngiltere’de 2000 çalışanı olan bir fabrikada bir yıl içinde yapılan grevlerin sayısı, ortalaması = 0.4 olan poisson dağılımına uymaktadır. • Bu durumda bir yılda en çok 1 grev olma olasılığını bulunuz.

21. Çözüm 7 P(X = 0,6703 = 0,2681 P(X

22. Örnek 8 • Bir otomobil galerisine aydaortalama 150 müşteri gelmektedir. Herhangi bir günde dükkanını açmayan galeri sahibi % kaç ihtimalle en az 3 müşteriyi kaçırmıştır?

23. Çözüm 8 • Aylık değeri 150 olduğuna göre günlük =5 ‘tir. • 3 veya daha fazla müşteriyi kaçırma olasılığı hesaplamak için; P(3)+P(4)+….+P(150)= 1- [P(0)+P(1)+P(2)] =0,8754

24. Örnek 9

25. Çözüm 9

26. Binom Dağılımının Poisson Yakınsaması • Herbirinde başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede başarıların sayısı X olsun. Başarı sayısı X’in dağılımı, np ortalama ile binomdur. • Ancak deneme sayısı n büyük ve np orta büyüklükte (tercihen np) iken bu dağılım, ortalaması =np olan poisson dağılımına yakınsar. • Bu durumda yakınsayan dağılımın olasılık fonksiyonu şu şekilde bulunur:

27. Örnek 10 Bir analist bütün küçük şirketlerin %3.5 ‘inin gelecek yıl işasedeceğini tahmin etmektedir. Bu tahminin doğru olduğu varsayımıyla 100 küçük şirketten oluşan rassal bir örneklemde gelecek yıl en az 3 işasolması olasılığını tahmin ediniz.

28. Çözüm 10 • İşassayısı X’in dağılımı n=100 ve p=0,035 ile binomdur. Dağılımın ortalaması: • Binom dağılımını yakınsamak için ortalaması = 3,5 olan Poisson dağılımını kullanacağız. Bu durumda işassayısı X’in olasılık fonksiyonu şöyle yakınsayabilir. 1- [P(0)+P(1)+P(2)] = = 0.0302 = = 0.1057 = = 0.1850 1- [P(0)+P(1)+P(2)]= 1-(0.032+0.1057+0.1850)= 0,679

29. Hipergeometrik Dağılım • Binom dağılımı ve hipergeometrik dağılım aynı tür olaylara uygulanır. • Fark örneklemenin şeklinde ortaya çıkar. • Binom dağılımında sınırsız anakütleden iadesiz çekilişler veya sınırlı anakütleden iadeli çekilişler söz konusudur. • Bu yüzden binomdaki p değeri çekilişten çekilişe değişim göstermez. • Hipergeometrik denemede ise sınırlı anakütledeniadesiz çekilişler söz konusudur. • Bir başka ifade ile binom olaylarında çekilişler birbirlerinden bağımsız iken hipergeometrik olaylarda bir sonraki çekiliş bir öncekine bağımlıdır. • İstatistiki kalite kontrol çalışmalarında en elverişli olasılık dağılımı hipergeometrikdağılımdır. • Hipergeometrik dağılım formülü yardımıyla bir X olayının olasılığı; n: örnekteki birim sayısı N: anakütledeki birim sayısı x: Örnekte üzerinde durulan birim sayısı A: anakütlede üzerinde durulan birim sayısı Hibir şekilde x değeri A’dan büyük olamaz.

30. Hipergeometrik Dağılımın Özellikleri • Dağılımın parametresi: p= • Ortalama: np • Varyans: np.(1-p). • Standart Sapma:

31. Örnek 11 2 istatistik, 3 bilgisyarve 4 yöneylem hocasından 3 kişilik sayısal yöntemeler bilim jürisi seçilecektir. Jüride en az 1 istatistik hocası bulunma ihtimalini hesaplayınız.

32. Çözüm 11 Jüriye girebilecek toplam hoca sayısı: N=9 Jüride yalnız 3 hoca olabileceği için n=3 İstatistik hocasının jüride bulunma ihtimali araştırıldığı için A=2 Buna göre 2 istatistik hocasından 1 veya 2 ‘sinin jüride bulunma ihtimali ; [P(1)+P(2)] = + =

33. Örnek 12 • Not ortalaması 85’in üzerinde olan 4 iktisat ve 7 işletme bölümü öğrencisinden 3 kişilik bir temsilci grubu oluşturulacaktır. Grupta en fazla bir iktisatçı bulunması ihtimali nedir?

34. Çözüm 12 ÇÖZÜM: N=11 n=3 A=4 (x1) [ P(1) + P(2) ] = + =