Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • ZS Nr 2, Gimnazjum Nr 24 • ID grupy: 98_86_MF_G1 • Opiekun: Izabela Żałoba • Kompetencja: matematyczno – fizyczna • Temat projektowy: Historia liczby • Semestr/rok szkolny: • III 2010/2011

3. Uczeni indyjscy, którzy mieli dusze poetyckie uważali, że ciągłe powtarzanie tego samego słowa jest nudne. ( np: 11 - jeden, jeden ). Używali więc różnych synonimów nazw liczb. Jeden zwykła nazwa liczby jeden "pierwszy ojciec" (Brahma) początek, ciało, Księżyc, Ziemia

4. Dwa zwykła nazwa liczby dwa • boskie bliźnięta, "pierwsi rodzice" oczy, skrzydła. • Podobnie określali liczby: trzy, cztery, pięć, sześć... • Dziewięć zwykła nazwa liczba dziewięć • cyfry, planety, otwory (ciała ludzkiego)

5. Te synonimy sprawiły, że Hindusi polubili taki zapis. Zobaczmy jak ciekawie prezentuje się liczba: • 4320000 • niebo(0), powietrze(0), przestrzeń(0), pustka(0), pierwsi rodzice(2), Rama(3), Veda(4), (czytamy od prawej do lewej). • VEDA - wiedza

6. Nasze opisy • oczy (2) ciało (1) - Mateusz • niebo (0) księżyc (1) – Iza • 90 przestrzeń (0) planety (9) – Paweł

7. NUMER NASZEGO GIMNAZJUM • 24 • veda (4) skrzydła (2)

8. Systemy liczbowe • Sposoby zapisywania i nazywania liczb. • W każdym z systemów liczbowych do zapisywania liczb służą ustalone znaki (zwane cyframi), którym przypisane są określone wartości liczbowe. • Systemy liczbowe różnią się między sobą zarówno używanymi znakami jak i regułami, za pomocą których zapisywane są liczby. • 1, I, ∩, ς, >, X, 5,

9. Rodzaje systemów liczbowych pozycyjne addytywny (niepozycyjny) System egipski System rzymski System grecki • System jedynkowy • System dwójkowy • System dziesiętny

10. System pozycyjny • Systemy pozycyjne to takie, w których wartość danej cyfry zależy od tego jaka pozycje zajmuje ona w liczbie. Przykładami systemów pozycyjnych są m.in. systemy: dziesiętny, • jedynkowy, • dwójkowy, • szesnastkowy. • (wszystkie zostały opisane niżej).

11. System Addytywny (niepozycyjny) • niepozycyjne (addytywne) – wartość liczbowa układu znaków jest równa sumie wartości poszczególnych znaków. W tym systemie nie jest ważna kolejność występowania znaków.Systemy niepozycyjne (addytywne) to takie w których wartość danej liczby jest suma wartości znaków cyfrowych z których się ona składa. Najpopularniejszym systemem addytywnym jest: • system arabski którego używamy na co dzień i wykorzystuje on symbole 1,2,3,4,5,6, ... • system egipski • system rzymski • system grecki (zostały one opisane w prezentacji).

12.  System egipski system niepozycyjny. • Powszechnie znany jest fakt, iż Egipcjanie do zapisu słów stosowali hieroglify, czyli obrazki przedstawiające różne przedmioty, postacie czy zwierzęta. Podobnie było z liczbami. System zapisu liczb opierał się na siedmiu hieroglifach przedstawiających kolejne potęgi liczby 10.

13. Aby zapisać w tym systemie określoną wartość, należało powtórzyć odpowiednią liczbę razy właściwe liczebniki. Sposób żmudny, ale skuteczny 400 = 100+100+100+100 Zapis egipski >> >> zapisz rok swoich urodzin w systemie egipskim. ς >>>> > ∩ ∩ ∩ ∩ III >>>> ∩ ∩ ∩ ∩ 1000 +900 +80 + 3 = =1983

14. Hieroglify egipskie

15. System Karbowy • Prosty system liczenia pojawił się około 30.000 lat p.n.e. Polegał on na żłobieniu w kościach karbów, których ilość oznaczała określoną liczbę. • Początkowo dla wyrażenia jednostek stosowano pojedyncze kreski. Np. liczbę 18 zapisywano tak: • \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ • Jednak zapis ten jest mało czytelny - porównaj go z zapisem np. liczby 17 czy 19. Można się pomylić?

16. Oczywiście. Aby więc zwiększyć czytelność zapisu liczb co piątą kreskę stawiano pod innym kątem od pozostałych. Teraz liczbę 18 zapisywano tak: \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \ \/ \ \ \ Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy jednostki. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej występowało dużo piątek, to co drugą piątkę zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak: \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \

17. System ten stosowany jest w ograniczonej formie do dnia dzisiejszego, więc można go nazwać najdłużej używanym wynalazkiem człowieka.

18. System Rzymski • System karbowy wyewoluował w znany nam dzisiaj system rzymski. Rzymianie, jako ludzie praktyczni, uprościli zapis karbowy odrzucając niepotrzebne kreski po lewej stronie. W efekcie zapis liczby 18 wyglądał teraz tak: • XVIII • Pięknie - Rzymianie też byli z tego zadowoleni. Idąc za ciosem wymyślili dalsze reguły. Reguły te możemy zapisać następująco: • I – 1, II – 2, III – 3 liczbę 4 przedstawiamy w postaci IV – co należy rozumieć 5-1 = 4 • V – 5 X – 10 • IX – 9 ( 10- 1 =9 ), L – 50, LX – 60 ( 50+10=60 ) • C – 100, D – 500, M – 1000

19. Rzymianie do zapisywania liczb poza siedmioma, które przetrwały do dziś, używali dodatkowo ↁ oznaczający 5000 oraz ↂ oznaczający 10000. • Dodatkowo stosowano notację pozwalającą zapisywać większe liczby. • Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznaczało liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznaczało mnożenie przez 1000.

20. Zapamiętaj ! • Lody L – 50 • Czekoladowe C – 100 • Dobrze D – 500 • Mrożone M - 1000

21. Oto kilka przykładów zapisu rzymskiego liczb. •  III = 3 • 1 = 3 VII    = 5 + (2 • 1) = 7 XIV   = 10 + (5 - 1) = 14 XXIX = (2 • 10) + (10 - 1) = 29 CXLV = 100 + (50 - 10) + 5 = 145 CDXIX = (500 - 100) + 10 + (10 -1) = 419 DCCLXXVIII = (500 + 2 • 100) +(50 + 2 •10) + (5 + 3 • 1) = 778 MCMLXXXIX = 1000 + (1000 - 100) + (50 + 3 • 10) + (10 - 1) = 1989 MMCCCLII = (2 • 1000) + (3 • 100) + 50 + (2 • 1) = 2352

22. Rzymski zapis staje się bardziej skomplikowany w przypadku dużych cyfr. • Ich odczytanie może czasem sprawiać trudności. Oto kilka wybranych przykładów : • DCCCXLV = 800 (DCCC) + 45 (XLV, czyli {50 – 10} + 5), a więc 845CMXLIX = 900 (CM) + 49 (XLIX, czyli {50 – 10} + {10 – 1}), a więc 949MCDLXXVII = 1000 (M) + 400 (CD) + 77 (LXXVII, czyli 50 + 20 + 7), a więc 1477MDCCXXIV = 1000 (M) + 700 (DCC) + 24 (XXIV), a więc 1724MMCMXVIII = 2000 (MM) + 900 (CM) + 18 (XVIII), a więc 2918

23. System rzymski jest do dziś

24. Do dziś jest jednak używany zwyczajowo do zapisywania liczb w pewnych szczególnych przypadkach. • W Polsce zapisuje się cyframi rzymskimi: • numery liceów (ale nie szkół podstawowych i gimnazjów), • numery klas • lat studiów, • wieki, • tomy dzieł, • numery pięter, wydziałów w instytucjach. • Zwyczajowo zapisuje się czasami również: miesiące, rok powstania budowli oraz numeruje rozmaite grupy klasyfikacyjne (szczególnie na ich wyższych poziomach).

25. System grecki • W starożytnej Grecji nie istniały obowiązujące normy państwowe . • Grecja nie była złączonym państwem tworzyło ją kilka innych państw mających własne waluty , system wag i miar. • Systemy bardzo się różniły.W owych czasach liczby wykorzystywano głównie w transakcjach handlowych . Zobaczymy teraz 2 najpowszechniejsze sposoby

26. System akrofoniczny, który stosowany był w pierwszym milenium przed naszą erą • Akrofoniczny” oznacza, iż symbole liczb pochodzą od pierwszej litery nazwy liczby, tak więc symbol pochodzi od skrótu nazwy liczby. Oto symbole dla liczb 5, 10, 100, 1000, 10000.

27. Opuściliśmy symbol dla jedności, czyli “I”, która jest naturalną prostą notacją nie pochodzącą z żadnej pierwszej litery cyfry. Dla cyfry 5 symbolem powinien być P, jeżeli nazwa brzmi Pente; jednak później nastąpiły zmiany w greckim alfabecie, a nazwa liczby pozostała bez zmian. Pierwotnie Pente brzmiało Gente. System liczbowy był oparty o zasadę addytywności, podobnie jak liczby rzymskie. Oznacza to, że 8 jest po prostu VIII, czyli symbol 5 razem z dodanymi trzema symbolami jedności. „ Oto liczby 1-10 w systemie greckim

28. Akrofoniczny system liczbowy miał specjalny symbol dla 5. Dzięki temu skróceniu uległa ilości wymaganych znaków. Ponadto, w greckim systemie istniały pośrednie symbole dla 50, 500, 5000 oraz 50000, ale nie były to nowe symbole a raczej symbole złożone utworzone z liczby 5.Na przykład liczba 9999 wymagała napisania 36 znaków. OTO JAK WYGLADALY ZłOŻONE LICZBY  Współcześnie uważamy, że liczby stanowią zbiory przedmiotów, np. liczba 2 to zbiór dwóch przedmiotów. Natomiast starożytni Grecy mieli inną ideę liczby, niż my dzisiaj. Najczęściej stosowano ten szczególny system liczbowy w rachunkach pieniężnych. Należy zauważyć, że nie istniał aspekt pozycji w systemie i zero nie było potrzebne jako wskaźnik pustego miejsca. Symbol H reprezentowało 100 i nie ma tu problemu z zerami ani dziesiątkami..

29. Alfabetyczny •     W alfabecie są litery duże i małe. Litery stare to: digamma, koppa, i san. Pierwsze dziewięć liter stanowią symbole dla liczb 1, 2, …,9. Proszę zauważyć, iż 6 reprezentuje przestarzała litera digamma Istniał również drugi system liczbowy w starożytnej Grecji, w którym nazwy liczb pochodzą od liter alfabetu. Warto tu zauważyć, iż starożytni Grecy byli jedną z pierwszych cywilizacji, którzy używali litery alfabetu. Alfabet ten, po niewielkich zmianach, przejęli od Fenicjan, którzy go wynaleźli. Klasyczny grecki alfabet składa się z 24 liter, używanych razem z 3 starszymi literami, które obecnie wyszły z użycia Następne dziewięć liter są symbolami dla 10, 20, …., 90. Liczbę 90 reprezentuje stara litera koppa. Pozostałe 9 liter reprezentują liczby 100, 200, …, 900. Liczbę 900 reprezentuje stara litera san. Czasami, gdy litery te reprezentowały liczby, to aby odróżnić je od prawdziwych liter w zdaniu, nad nimi umieszczano kreskę.

30. Jest to dość kompaktowy system liczbowy, ale aby możliwe było przedstawianie liczb większych od 999 to niezbędna była jego modyfikacja. Liczby od 1000 do 9000 zostały utworzone przez dodanie indeksu górnego lub dolnego iota  do symboli 1 do 9. Liczby były tworzone na zasadzie addytywności. Na przykład 11, 12, …., 19 były pisane w następujący sposób.

31. Duże liczby były budowane w podobny sposób. Na przykład 269: ΣΞΘ W jaki sposób Starożytni Grecy pisali liczby większe od 9999? Dla większości celów system ten był wystarczający do pisania wszystkich liczb będących w zwykłym codziennym użyciu. Liczby tak duże jak np. 71755875 rzadko występowały w życiu codziennym starożytnych Greków. • Używali miriadę, czyli 10000. Pisano symbol   razem z liczbą mniejszymi od 9999 Liczbami umieszczonymi nad nim, co oznaczało, że należy te mniejsze liczby pomnożyć przez 10000

32. System Babiloński.

33. Trochę historii. • Babilońskich znaków używano w Mezopotamii około 5000 lat temu. • Zachowały się do naszych czasów na glinianych tabliczkach. • Wśród tych tablic uczeni znaleźli sporo tablic, na których wypisana jest cała wiedza matematyczna Babilonii. • Babilończycy pisali pismem klinowym.

34. Liter klinowych było dużo, ale znaków cyfrowych było niewiele. • Babilończycy, którzy byli sławni za swoje słynne obserwacje astronomiczne i obliczenia, korzystali z pozycyjnego systemu sześćdziesiątkowego (systemu liczbowego o podstawie 60), który towarzyszy nam jeszcze dziś. • Do dzisiaj dzielimy godziny na sześćdziesiąt minut, minuty na sześćdziesiąt sekund.

35. Indyjski system liczbowy • System liczbowy Indii tworzył podstawę obecnie stosowanych europejskich systemów liczbowych. Jednakże nie przeszły one bezpośrednio z Indii do Europy, lecz najpierw znalazły zastosowanie w cywilizacjach arabskich oraz islamskich i dopiero od nich zawitały w Europie. • Historia przyjęcia przez Europę tego systemu liczbowego nie była jednak prosta. Wschodnie i zachodnie części świata arabskiego w różny sposób rozwijały indyjski system liczbowy i w niewielkim stopniu  integrowały się między sobą. Zachodnia część arabskiego świata to Północna Afryka i Hiszpania. Głównie drogą poprzez Hiszpanię do Europy zawitał nowy system liczbowy.

36. Liczby Oto przykłady wczesnych liczb indyjskich Kształt tych liczb zmieniał się ok. 100 lat Największa zmiana polegała na tym, iż liczby 2 oraz 3 uległy obróceniu o 90 stopni

37. Rozwój liczb indyjskich oraz Manuskrypt z Bakhsali

38. System Arabski • Istota systemu jest podobna do systemu babilońskiego i Majów - stosujemy ograniczoną ilość cyfr, wartość cyfry zależy od pozycji w zapisie. • W systemie arabskim kolejne pozycje licząc od strony prawej posiadają wartości (wagi) będące potęgami liczby 10, którą z tego powodu nazywamy podstawą systemu. • Wartość liczby otrzymujemy sumując iloczyny cyfr przez wagi pozycji, na których występują.

39. Litery • Liczby były reprezentowane przez litery, ale nie w porządku alfabetycznym. • 1 = a, 2 = b, j = 3, d = 4 • 10 = y, 20 = k, 30 = l, 40 = m, … • 100 = q, 200 = r, 300 = sh, 400 = ta • Istniało 28 liter arabskich i dodatkowo jedna, która reprezentowała 1000 • Liczba np. 4300 21’ 14’’, napisany w tym systemie brzmi  jako „mj ka yd” .

40. System ten nazywał się huruf al jumal, co oznacza  „litery do kalkulacji” Oznaczenie literami pierwszych liczb: • liczby 10, 20, 30, …, 90 reprezentowane były przez litery: Przykłady: • 1 = a • 2 = b • 3 = j • 4 = d • liczby 100, 200, 300, …, 900 były reprezentowane przez litery: • 100 = q • 200 = r • 300 = sh • 400 = ta • 10 = y • 20 = k • 30 = l • 40 = m • Mama-401401 • Tata-400400

41. System liczb Majów • Bardzo oryginalny system zapisywania liczb stworzyło indiańskie plemię Majów, które zamieszkiwało południowo-wschodnią część Meksyku, Gwatemalę i część Hondurasu. Jako jedni z pierwszych wynaleźli zero (ok. 500 r. n.e. - a więc później niż Sumerowie, lecz wcześniej od Hindusów). • Zero zaznaczane było rysunkiem przypominającym skorupkę ślimaka lub - jak inni twierdzą - półotwarte oko. • Liczby zapisywano w postaci kombinacji kropek i kresek. Odpowiednio pogrupowane stanowiły (wraz z zerem) podstawowy zestaw ,,cyfr'' od 0 do 19.

42. System zapisu liczb prekolumbijskich majów opierał się na systemie piątkowym dla liczb 0-19. Większe liczby zapisywano używając potęg dwudziestki i powyższych symboli jako cyfr systemu dwudziestkowego

43. Liczby od 1 do 4 zaznaczane były odpowiednią ilością kropek, liczba 5 poziomą kreską, liczby od 6 do 9 poziomą kreską z odpowiednią ilością kropek nad kreską, 10 oznaczano dwiema kreskami (jedna nad drugą), 11-14 dwiema kreskami ze stosowną liczbą kropek u góry, 15 trzema kreskami i wreszcie 16-19 trzema kreskami wraz z odpowiednia liczbą kropek u góry. Ten podstawowy zestaw liczb był zatem budowany na sposób addytywny. Nowością jest tu nie - rozbudowywanie zapisów na tę samą modłę, ale ,,dopuszczenie do głosu'' liczb naprawdę dużych. System Majów był systemem pozycyjnym dwudziestkowym, aczkolwiek nie w pełni. Istniał (co charakterystyczne dla systemów pozycyjnych) podział na jednostki odpowiednich rzędów.

44. Na przykład rok 1974 w zapisie Majów • 5 x 360 = 1800 • 8 x 20 = 160 ●●● • 14 x 1 = 14 ●●●● • ---------- 1974

45. Kalendarz Majów U Majów rok liczył początkowo 360 dni i był podzielony na 18 miesięcy liczących po 20 dni. Dla uzgodnienia długości roku z okresem powtarzania się pór roku rozbudowano go o 5 dni dodatkowych, tzw. dni bez nazwy, które uważano za pechowe. Majowie traktowali swój kalendarz jako ogromne osiagnięcie naukowe. Wiele wysiłku poświęcali obserwacjom astronomicznym, których dokonywali ze szczytów swych świątyń-piramid. Obserwacje te opisywane były później w tzw. kodeksach (pośród których ledwie kilka dotrwało do naszych czasów) oraz ryte na stellach (obeliskach).

46. System jedynkowy • W ciągu wieków posługiwano się bardzo różnymi systemami liczbowymi. Najprostszym z nich, stosowanym przez ludy pierwotne jest system jedynkowy. Do zapisu liczb w tym systemie stosuje się wyłącznie jeden znak oznaczający liczbę "1". Kolejne liczby tworzy się przez powtarzanie tego znaku tyle razy, ile wynika to z wartości danej liczby. • Tak więc np: 3 w systemie Jedynkowy jest zapisywana jako "111", a 10 = "1111111111".System Jedynkowy jest w praktyce bardzo niewygodny, dużo przy stosunkowo niedużych liczbach takich jak np. "1000" zapisywanie ich w systemie jedynkowym byłoby bardzo uciążliwe.

47. Warto zauważyć, że system jedynkowy, jest jedynym systemem pozycyjnym, w którym do zapisu liczb nie trzeba używać znaku pustego zbioru ("0"). • Z kolei traktując go jako system addycyjny można uznać, że zapis liczby • 3 = "111" wynika z faktu, że 1+1+1 = 3. • Ciekawostką jedynkowego systemu liczbowego jest to, że wszelkie operacje arytmetyczne można w nim sprowadzić do prostego, mechanicznego obcinania lub łączenia liczb.

48. Operacje arytmetyczne w systemie jedynkowym. • Jeśli chcemy odjąć "11111" od "111", wystarczy, że przyrównamy do siebie "długości" obu liczb i zostawimy ten "kawałek" dłuższej liczby, który "wystaje": • 11111 (5) • - |(tu ciąć)111 (3)11 = (2) Jeśli np: chcemy dodać "111" (3) i "11111" (5) wystarczy, że mechanicznie skleimy obie liczby: 111+11111 (3+5) =11111111 (=8)

49. Używano co najmniej trzy różne rodzaje systemów arytmetycznych: • System bazujący na liczeniu na palcach z liczbami zapisywanymi wyłącznie przy pomocy słów • System sześć dziesiętnym z liczbami zapisywanymi  arabskimi literami • Arytmetyka indyjska z pozycyjnymi ułamkami dziesiętnymi, w którym używano tablic pyłowych niezbędnych do przesuwania i ścierania liczb.

50. System dwójkowy • Dwójkowy system liczbowy to system pozycyjny, którego podstawę pozycji stanowią kolejne potęgi liczby 2. • Stosowanym we wszystkich urządzeniach elektronicznych, w szczególności w komputerach. • Aby zapisać liczby w tym systemie używa się zatem jedynie dwóch znaków: • 0 (zero) oraz 1 (jeden).