Unidad 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. 2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso 2012-2013 Unidad 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2. ÍNDICE • Introducción • Sistemas de ecuaciones • Discusión de sistemas. Teorema de Rouché-Fröbenius • Resolución de sistemas de ecuaciones lineales • Sistemas homogéneos • Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales

3. Introducción • Igualdades • Identidades numéricas y algebráicas • Ecuaciones • Ecuaciones lineales • Definición • Observaciones: solución, resolver, comprobar, equivalencia

4. 1 - Introducción • Igualdades • Identidades numéricas • Identidades algebraicas • Ecuaciones

5. 1 - Introducción • Ecuaciones lineales • Definición • Observaciones: • Solución: “conjunto de valores para cada incógnita” • Resolver: “encontrar TODAS las soluciones” • Comprobar: “sustituir unos valores y ver si verifican” • Ecuaciones equivalentes: “tienen las mismas soluciones”

6. Sistemas de ecuaciones • Definiciones y observación • Notación matricial y vectorial • Clasificación • Sistemas equivalentes

7. 2.a - Definiciones y observación • Sistema de ecuaciones lineales • Solución del sistema

8. 2.a - Definiciones y observación • Observaciones: • Resolver: “encontrar TODAS las soluciones” • Comprobar: “sustituir una posible solución y ver si verifica TODAS las ecuaciones” • Discutir: “ calcular el número de soluciones” • Sistemas equivalentes: “tienen las mismas soluciones”

9. 2.b – Notación matricial Llamando: El sistema original puede escribirse o bien simbólicamente

10. 2.b – Notación matricial Concepto fundamental: MATRIZ AMPLIADA

11. 2.b – Notación vectorial Llamando: Es decir… El sistema original puede escribirse o bien simbólicamente es combinación lineal de

12. 2.c – Clasificación de sistemas • Según los términos independientes: • Homogéneos: Todos los términos independientes nulos • No homogéneos: Algún término independiente no nulo • Según el número de soluciones: • Incompatibles: Ninguna solución (S.I.) • Compatibles: Alguna solución • Determinados: UNA única solución (S.C.D.) • Indeterminados: Infinitas soluciones (S.C.I.)

13. 2.d – Sistemas equivalentes • Definición: Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones Tienen que tener el mismo número de incógnitas pero pueden tener distinto número de ecuaciones • Operaciones:

14. 2.d – Sistemas equivalentesEjemplo

15. Discusión de sistemas. Teorema de Rouché-Fröbenius • Enunciado del teorema • Consecuencias • Ejemplos

16. 3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius • Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. • DEMOSTRACIÓN: • Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A

17. 3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius • Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. • DEMOSTRACIÓN: • Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A

18. 3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius • Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. • DEMOSTRACIÓN: • Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A • Segundo Como B depende linealmente de las columnas de A, existen coeficientes que son la solución del sistema

19. 3.a – Teorema de Rouché-Fröbenius • Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. • DEMOSTRACIÓN: • Primero Si existe solución, usando la notación vectorial, entonces B depende linealmente de las columnas de A • Segundo Como B depende linealmente de las columnas de A, existen coeficientes que son la solución del sistema

20. 3.b – Consecuencias • Si • Si Además si n es el número de incógnitas • Si • Si

21. 3.c – Discusión de un sistemaEjemplo Si entonces S.C.D. Si Si

22. 3.c – Discusión de un sistemaEjemplo Si Si

23. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales • Método de Gauss • Método de resolución matricial • Método de Cramer

24. 4.a – Método de Gauss • Generalización del método de reducción usado en sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas • PROCESO: • Tomar la matriz ampliada • Convertirla en escalonada con operaciones elementales que den sistemas equivalentes • Clasificar el sistema equivalente resultante • Resolver el sistema equivalente resultante

25. 4.a – Método de Gauss • Clasificar el sistema resultante • Incompatible: si alguna ecuación es del tipo • Compatible determinado: si nº filas no nulas = nº de incógnitas • Compatible indeterminado: si nº filas no nulas < nº de incógnitas • Resolver el sistema resultante • Compatible determinado: Por sustitución desde la última ecuación hacia las anteriores • Compatible indeterminado: Pasando al segundo miembro como parámetros las incógnitas que superan el número de ecuaciones y resolviendo como S.C.D.

26. 4.a – Método de GaussEjemplo 1

27. 4.a – Método de GaussEjemplo 2

28. 4.b – Método matricial • Sólo sirve para sistemas “cuadrados”, es decir, con n ecuaciones y n incógnitas, en los que exista A-1 • PROCESO: • Escribir el sistema en forma matricial • Despejar la matriz de las incógnitas • Calcular A-1, siempre que • Obtener la matriz solución

29. 4.b – Método matricial • Escribir el sistema en forma matricial • Calcular A-1, siempre que • Obtener la matriz solución

30. 4.b – Método matricialEjemplo

31. 4.c – Método de Cramer • Un sistema es de Cramer si: • Nº de ecuaciones = nº incógnitas • Determinante de la matriz de los coeficientes no es nulo • SOLUCIÓN: • Por definición es S.C.D. • Cálculo: “El valor de cada incógnita es el cociente de dividir el determinante formado por la matriz de los coeficientes sustituyendo en ella la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita buscada por la columna de los términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes”

32. 4.c – Método de Cramer es de Cramer si y llamando Podemos escribir entonces… SOLUCIÓN: (es ¡única!)

33. 4.c – Método de CramerEjemplo es de Cramer porque SOLUCIÓN:

34. Sistemas homogéneos • Definición • Ejemplo

35. 5.b – Sistemas homogéneos • Todos los términos independientes nulos • Como siempre se cumple son S.C. • Casos posibles: • r = n = nº de incógnitas el sistema es S.C.D. y la única solución se denomina solución trivial: • r < n = nº de incógnitas el sistema es S.C.I. con infinitas soluciones en función de n-r parámetros.

36. 5.b – Sistemas homogéneosEjemplo - discusión Estudiamos los rangos de A y A* Por tanto Teniendo en cuenta las filas y columnas del menor que hemos usado para determinar el rango, el sistema y su matriz quedan…

37. 5.b – Sistemas homogéneosEjemplo - resolución Pasamos al 2º miembro las incógnitas que no estén en el menor usado para el rango A estas incógnitas se les asigna un parámetro Ahora se puede resolver el sistema como si fuese compatible determinado. Por Gauss, matricialmente o por el método de Cramer. En este caso, directamente O de forma equivalente, haciendo

38. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales • Sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (dos rectas en el plano) • Sistemas de 2 ecuaciones y 3 incógnitas (dos planos en el espacio) • Sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (tres planos en el espacio)

39. 6 – Interpretación geométrica Ya conocemos del curso anterior que Se corresponde con una recta en el plano Ahora, debemos saber que Se corresponde con unplano en el espacio

40. 6.a – Sistemas 2 ecuaciones y 2 incógnitas Dos ecuaciones con dos incógnitas equivalen a dos rectas en el plano Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de las dos rectas en el plano

41. 6.b – Sistemas 2 ecuaciones y 3 incógnitas Dos ecuaciones con tres incógnitas equivalen a dos planos en el espacio Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los dos planos en el espacio

42. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio

43. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio

44. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio

45. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Tres ecuaciones con tres incógnitas equivalen a tres planos en el espacio Los distintos tipos de solución se corresponden con distintas posiciones relativas de los tres planos en el espacio

46. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

47. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

48. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

49. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son

50. 6.c – Sistemas 3 ecuaciones y 3 incógnitas Otras posiciones relativas de tres planos en el espacio son