DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół z Oddziałami Integracyjnymi i Specjalnymi nr 2 w Poznaniu ID grupy: 98/14_MF_G1 • Opiekun: Jolanta Kurzawa - Zeidler • Nazwa szkoły: Gimnazjum im Królowej Jadwigi w Zagórowie ID grupy: 98/74_MF_G1 • Opiekun: Aneta Borowska • Kompetencja: Matematyczno – fizyczna Temat projektowy: POTĘGI W SŁUŻBIE POZYCYJNYCH SYSTEMÓW LICZBOWYCH rok szkolny: 2011/2012

3. CELE PROJEKTU: 1. Kształcenie biegłości w wykonywaniu obliczeń z zastosowaniem potęg. 2. Kształcenie umiejętności szacowania. 3. Kształcenie biegłości w zapisywaniu liczb w różnych systemach, w wykonywaniu obliczeń wewnątrz systemu i konwertowania liczb pomiędzy systemami (system dziesiątkowy, dwójkowy, szesnastkowy). .

4. CELE PROJEKTU cd: 4. Wyrabianie postawy współodpowiedzialności za powierzone zadanie, nawyku samooceny swojej pracy, zachowań i postaw. 5. Kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów, planowania pracy. 6. Rozwijanie umiejętności interpersonalnych podczas grupowego przygotowywania prezentacji.

5. POJĘCIE POTĘGI an =b an - n-ta potęga liczby a(czytamy: a do potęgi n) n– wykładnik potęgi a– podstawa potęgi b– wynik potęgowania (potęga) Uwaga: a2-nazywamy kwadratem liczby a, a3 -nazywamy sześcianem liczby a.

6. PRZYKŁADY POTĘGI 34 =3∙3∙3∙3=81 34 - 4-ta potęga liczby 3(czytamy: 3 do potęgi 4) 4– wykładnik potęgi 2– podstawa potęgi 81– wynik potęgowania (potęga) 43 =4∙4∙4=64 43- 3-ta potęga liczby 4 lub sześcian liczby 4 (czytamy: 4 do potęgi 3) 3– wykładnik potęgi 4– podstawa potęgi 64– wynik potęgowania (potęga)

7. POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM a0 = 1 dla a ≠ 0 a1 = a dla a  R an+1 = an ∙a dla a  R i n  N PRZYKŁADY: 10=1, 230=1, (-423)0=1,(-3)0=1 11=1, 231= 23, (-13)1= -13, (-235)1= -235

8. POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM a-n = , dla a≠0, nєN , dla a≠0, b≠0 PRZYKŁADY:

9. PRAWA DZIAŁAŃ NA POTĘGACH Jeżeli m,nC, a,b  R-0},to :

10. PRZYKŁADY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH O WSPÓLNYCH PODSTAWACH 23∙22=23+2=25=32 33∙3-2=33+(-2)=31=3 (-2)4∙(-2)3=(-2)4+3=(-2)7=-128 23:22=23-2=21=2 33:3-2=33-(-2)=35=243 (-2)5:(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4

11. PRZYKŁADY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH O WSPÓLNYM WYKŁADNIKU 23∙33=(2∙3)3=63=216 ( )-2∙3-2=( ∙3)-2=1-2=1 (-2)4∙34=(-12)4=20736 23:33=(2:3)3=( )3= ( -6)-2:3-2=( -6:3)-2=(-2)-2= 124:64=(12:6)4=24=16

12. PRZYKŁADY DZIAŁAŃ NA POTĘGACH - POTĘGOWANIE POTĘGI (23)3=(2)9=512 (42)5 = 410 =1048576 (31)3=(3)3=27 (123)0=(12)0=1 (52)3=(5)6=15625

13. POTĘGA O WYKŁADNIKU UŁAMKOWYM Jeżeli n є N i m є N oraz m>1, to: • , dla a≥0 • , dla a≥0 • , dla a>0 PRZYKŁADY:

14. PRZYKŁADY OBLICZEŃ

15. CIEKAWOSTKA: Jak podnieść do kwadratu większe liczby kończące się liczbą 5 (np.: 25, 55, 205)? Cyfrę (liczbę) poprzedzającą ostatnią cyfrę 5 należy pomnożyć przez kolejną liczbę naturalną i do tego wyniku dopisać 25.

16. PRZYKŁADY: Obliczamy: 252 2 ∙ 3 = 6, do 6 dopisujemy 25 i otrzymujemy 625 Obliczamy: 552 5 ∙ 6 = 30, do 30 dopisujemy 25 i otrzymujemy 3025 Obliczamy: 2052 20 ∙ 21 = 420, do 420 dopisujemy 25 i otrzymujemy 42025

17. PRZEDROSTKI UKŁADU SI Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. przedrostki układu SI

18. PRZEDROSTKI UKŁADU SI -cd

19. PRZEDROSTKI UKŁADU SI Przedrostki układu SIstosuje się w szczególności w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych. Notacja naukowa lub postać wykładnicza to sposób przedstawiania liczby rzeczywistej, dziesiętnej. Najczęściej stosowana jest w kalkulatorach naukowych oraz niektórych programach komputerowych. Pewną modyfikacją postaci wykładniczej jest tak zwana postać inżynierska. Wyróżnia się ona tym, że wykładnik musi być wielokrotnością liczby 3. Konsekwencją tego ograniczenia jest konieczność normalizowania mantysy (liczby ułamkowej) do przedziału [1,1000). Dzięki takiej konwencji łatwo można skojarzyć wykładnik z odpowiednim przedrostkiem SI.

20. PRZEDROSTKI UKŁADU SI

21. NOTACJA WYKŁADNICZA Istnieją liczby bardzo duże lub bardzo małe, których zapis ze względu na liczbę cyfr (zwłaszcza zer) sprawia kłopot. Bardzo trudno jest wykonać działania na tych liczbach, prostsze kalkulatory stają się w tym momencie bezużyteczne. W takim wypadku stosujemy zapis notacji wykładniczej, która polega na zapisaniu liczby w postaci iloczynu: ± m ∙ 10k ,gdzie 1  m < 10, a k jest liczbą całkowitą, przecież „Wszystko powinno być wykonane tak prosto jak to możliwe, ale nie prościej.” Albert Einstein

22. PRZYKŁADY:

23. PRZYKŁADY: 25,9 ∙ 1012 = 2,59 ∙ 1013 Liczba 25,9 jest większa od 10 więc nie spełnia warunków zapisu w notacji wykładniczej, musimy zatem ją zmniejszyć do liczby 2,59. Robimy to przesuwając przecinek o jedno miejsce w lewo, a więc do wykładnika dziesiątki dodajemy 1 (zwiększamy go o 1). A tak ta operacja wygląda po rozpisaniu: 25,9 ∙ 1012 = 2,59 ∙ 10 ∙ 1012 = 2,59 ∙ 1013 0,0135 ∙ 10-9 = 1,35 ∙ 10-11 Liczba 0,0135 jest mniejsza od 1 więc nie spełnia warunków zapisu w notacji wykładniczej, musimy zatem ją zwiększyć do liczby 1,35. Robimy to przesuwając przecinek o dwa miejsca w prawo, a więc od wykładnika dziesiątki odejmujemy 2 (zmniejszamy go o 2). A tak ta operacja wygląda po rozpisaniu: 0,0135 ∙ 10-9 = 1,35 ∙ 10-2 ∙ 10-9 = 1,35 ∙ 10-11

24. PRZYKŁADY: 345 ∙ 1024 = 3,45 ∙ 1026 Liczbę 345 zmniejszyliśmy przesuwając przecinek o dwa miejsca w lewo więc wykładnik dziesiątki zwiększyliśmy o 2. 0,0034 ∙ 10-5 = 3,4 ∙ 10-8 Liczbę 0,0034 zwiększyliśmy przesuwając przecinek o trzy miejsca w prawo więc wykładnik dziesiątki zmniejszyliśmy o 3. 9762,2 ∙ 10-14 = 9,7622 ∙ 10-11 Liczbę 9762,2 zmniejszyliśmy przesuwając przecinek o trzy miejsca w lewo więc wykładnik dziesiątki zwiększyliśmy o 3. 0,007 ∙ 1045 = 7 ∙ 1042 Liczbę 0,007 zwiększyliśmy przesuwając przecinek o trzy miejsca w prawo więc wykładnik dziesiątki zmniejszyliśmy o 3.

25. PRZYKŁADY: Stała Avogadra 602000000000000000000000 1/mol = 6,02 ∙1023 1/mol Masa protonu 0,000000000000000000000000001672621 kg = 1,672621 ∙10-27 kg

26. Prędkość światła w próżni 300000000 m/s =3 ∙ 108 m/s Ładunek elementarny 0,00000000000000000016 C = = 1,6 ∙ 10-19 C

27. Powierzchnia Polski 312683000000 m2 =3,12683 ∙ 1011 m2 Masa wirusa grypy sezonowej 0000000000000000,7 kg=7 ∙ 10-16 kg

28. DZIAŁANIA NA LICZBACH ZAPISANYCH W NOTACJI WYKŁADNICZEJ Łatwość działań na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej dotyczy tylko mnożenia, dzielenia i potęgowania. Przykłady: 6 ∙ 105 ∙ 2 ∙ 104 = 6 ∙ 2 ∙ 105+4 = 12 ∙ 109 (18 ∙ 1012) : (3 ∙ 105) = (18 : 3) ∙1012 - 5 = 6 ∙ 107 (4 ∙ 103)2 = 42 ∙ (103)2 = 16 ∙103∙2 = 16 ∙ 106

29. DZIAŁANIA NA LICZBACH ZAPISANYCH W NOTACJI WYKŁADNICZEJ (2,5 ∙ 108) ∙ (8 ∙ 1012) = 2,5 ∙ 108 ∙ 8 ∙ 1012 = =2,5 ∙ 8 ∙ 108 + 12 = 2 ∙ 1020 (6,4 ∙ 108) ∙ (5,2 ∙ 10-14) = 6,4 ∙ 108 ∙ 5,2 ∙ 10-14 = = 6,4 ∙ 5,2 ∙ 108 + (-14) = 33,28 ∙ 10-6 = 3,328 ∙ 10-5 5,95 ∙ 1014 + 9,6 ∙ 1012 = 595 ∙ 1012 + 9,6 ∙ 1012 = = (595 + 9,6) ∙ 1012 = 604,6 ∙ 1012 = 6,046 ∙ 1014

30. PRZYKŁAD: Masa protonu wynosi około 1,7 ∙ 10-27 kg, a masa elektronu 9,1 ∙ 10-31 kg. Ile razy proton jest cięższy od elektronu?

31. ROZWIĄZANIE: Żeby odpowiedzieć na pytanie wystarczy podzielić masę protonu przez masę elektronu : Odpowiedź: Proton jest ok. 1868 razy cięższy od elektronu.

32. PRZYKŁAD: Zakładając, że odległość Ziemi od Słońca jest równa 150000000000 m oraz prędkość światła wynosi 300000000 m/s, oblicz, w jakim czasie światło dociera ze Słońca na Ziemię? .

33. ROZWIĄZANIE: Zapisujemy podane wielkości w notacji wykładniczej: odległość Ziemi od Słońca: 150000000000 m = 1,5 ∙ 1011 m prędkość światła : 300000000 m/s = 3 ∙ 108 m/s Obliczamy czas, w którym światło Słońca dociera na Ziemię

34. LICZBY „LILIPUTY”ILICZBY „OLBRZYMY”

35. GDZIE SPOTYKAMY SIĘ Z „LICZBAMI OLBRZYMAMI” I „LILIPUTAMI”? Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.  W Polsce (i innych krajach np. w Niemczech, w Anglii) przyjęto za podstawę liczenia grupy sześciocyfrowe, a np. w Ameryce, Francji grupy trzycyfrowe. Czasami warto znać nazwy dużych liczb.

36. NAZWY LICZB OLBRZYMÓW I LILIPUTÓW Do opisywania bardzo dużych oraz niewyobrażalnie małych obiektów, używa się specjalnych oznaczeń i nazw dla liczb, które są potęgami dziesięciu.

38. Ludzie próbują opisać za pomocą liczb zjawiska i rzeczy znajdujące się we wszechświecie. Do tego celu muszą używać zarówno liczb ogromnych (olbrzymów), jak i niewyobrażalnie małych (liliputów).

39. POWIERZCHNIE PLANET UKŁADU SŁONECZNEGO

40. PLANETY W UKŁADZIE SŁONECZNYM Planetami nazywamy ciała niebieskie, posiadające średnicę większą od 100 km, które obiegają gwiazdę oraz nie posiadają własnych źródeł energii promienistej, a siecią światłem odbitym od gwiazdy. Współcześnie znamy 9 planet, które wchodzą w skład naszego Układu Słonecznego. Są nimi: Merkury oraz Wenus jako planety dolne, a pozostałe: Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun, Pluton są planetami górnymi. Słońce to jedyna gwiazda naszego Układu Słonecznego. Wielkość średnicy Słońca ma wartość w przybliżeniu 1,4 mln km. Zestawiając ją z Ziemią Słońce jest niebagatelnych rozmiarów olbrzymem: w nim może się zmieścić 1,3 mln takich planet, jaka jest Ziemia.

41. MERKURY Merkury - najmniejsza i najbliższa Słońcu planeta Układu Słonecznego. Powierzchnia 75∙106 km²

42. WENUS Wenus – druga biorąc pod uwagę jej odległość od Słońca planeta Układu Słonecznego. Jest trzecim pod względem jasności ciałem niebieskim widocznym na niebie, po Słońcu i Księżycu. Powierzchnia 4,60 ∙ 108 km²

43. ZIEMIA Ziemia − trzecia, licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu. Powierzchnia 5,1 ∙ 108 km²

44. MARS Mars - czwarta według oddalenia od Słońca planeta Układu Słonecznego. Powierzchnia 1,448 ∙ 108 km²

45. JOWISZ Jowisz - piąta w kolejności oddalenia od Słońca i największa planeta Układu Słonecznego. Powierzchnia 62,1796 ∙ 109 km²

46. SATURN Saturn - gazowy olbrzym, szósta planeta Układu Słonecznego pod względem oddalenia od Słońca, druga po Jowiszu pod względem masy i wielkości. Charakterystyczną jego cechą są pierścienie, składające się głównie z lodu i w mniejszej ilości z odłamków skalnych. Powierzchnia 4,27 ∙ 1010 km²

47. URAN Uran − gazowy olbrzym, siódma w kolejności od Słońca planeta Układu Słonecznego. Jest także trzecią pod względem wielkości i czwartą pod względem masy planetą naszego systemu. Powierzchnia 8,084 ∙ 109 km²

48. NEPTUN Neptun – gazowy olbrzym, ósma, najdalszaod Słońca planeta w Układzie Słonecznym. Nazwa planety pochodzi od rzymskiego boga mórz Neptuna. Wśród planet Układu Słonecznego jest czwartą pod względem średnicy i trzecią pod względem masy. Powierzchnia 7,6408 ∙ 109 km²

49. CIEKAWOSTKI: Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonylionów gramów. Ciało ludzkie składa się z 1028atomów, Ziemia ma ich 1052 Widocznych gwiazd jest około 1087

50. ILE WAŻY WIEŻA EIFFLA?