1 / 58

N uklearna fizika - vježbe -

N uklearna fizika - vježbe -. 1 . Simetrije. Sakurai. R otacije. u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, rotacija se opisuje realnom, ortogonalnom matricom dimenzije 3x3:. eksplicitan matrični zapis, u granici malih kutova:. R otacije. R otacije. trivijalno se pokazuje:.

meara
Download Presentation

N uklearna fizika - vježbe -

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Nuklearna fizika - vježbe - 1. Simetrije

  2. Sakurai Rotacije • u trodimenzionalnom euklidskom prostoru, rotacija se opisuje realnom, ortogonalnom matricom dimenzije 3x3: • eksplicitan matrični zapis, u granici malih kutova:

  3. Rotacije

  4. Rotacije • trivijalno se pokazuje: • rotacije oko različitih osi ne komutiraju akone zanemarimo članove s drugom ili višim potencijama uf:

  5. Rotacije • dakle: • ”1” se može zapisati kao rotacija oko bilo koje osi za 0o (takav zapis će nam trebati kasnije za povlačenje analogije s algebrom momenta impulsa):

  6. Rotacije u kvantnoj mehanici • rotaciji, opisanoj matricom R, u kvantnoj mehanici se pridružuje operator D(R), tako da vrijedi: ... stanje prije rotacije ... stanje poslije rotacije • R – matrica, D(R) – operator koji se može reprezentirati matricom • dimenzija te matrice ovisi o dimenziji N prostora stanja |a> • N=2 (spin=1/2)  D(R)se opisuje matricom 2x2 • N=3 (spin=1)  D(R)se opisuje matricom 3x3 • ...

  7. Rotacije u kvantnoj mehanici Određivanje matrice operatora D(R): 1)infinitezimalni operator može se u QM napisati kao: gdje je G hermitski operator, a e infinitezimalni pomak 2) za translaciju: G px/ħ, e  dx, za pomak u vremenu: G H/ħ, e  dt, za rotaciju: G Jz/ħ, e  df. 3) dakle: 4) konačna rotacija: (Jz-općenit operator momenta impulsa)

  8. Rotacije u kvantnoj mehanici • dakle, svakoj rotaciji (opisanoj matricom R) u kvantnoj mehanici se pridružuje operator D(R) koji ima ista grupna svojstva kao R • budući da vrijedi: za D(R) dobiva se (zanemarivanjem članova manjih od f2): d

  9. Rotacije u kvantnoj mehanici • Jk-općenit operator momenta impulsa, generator rotacije oko k-te osi • nije definiran kao r ×p !

  10. Algebra momenta impulsa • veza zakona sačuvanja i simetrije (Noetherin teorem, moment impulsa generira rotacije) + infinitezimalna analiza  komutacijske relacije za operator momenta impulsa: • nadalje definiramo:

  11. Zadatak 1. Dokazati: Rješenje 1.

  12. Zadatak 2. Pokazati da je J- operator poništavanja! Rješenje 2. c jeovdje neizračunata konstanta

  13. Zadatak za domaću zadaću • pokazati: • krenuti od: • koristiti: † • i koristiti rezultat prošlog zadatka: • u slučaju problema, pogledati u skoro bilo koju knjigu iz kvantne mehanike (Messiah, Sakurai, ...)

  14. Eulerovi kutovi • u klasičnoj mehanici rotiranje tijela se najopćenitije opisuje Eulerovim kutovimaa, b, g: 1) rotacija oko z-osi za kut a, 2)rotacija oko nove, y’-osi, za kut b, 3)rotacija oko nove, z’’–osi, za kut g. -sve rotacije vrše se u smjeru obrnutom od kazaljke na satu

  15. D-funkcija • u kvantnoj mehanici rotacija se opisuje s tri nezavisne konstante gibanja – uvodi se tzv. D-funkcija (“D” dolazi od njemačkog izraza za rotaciju: Drehung) • D-funkcija je rotacijska valna funkcija, tj. vlastita funkcija operatora momenta impulsa • njima se također opisuju transformacije između različitih koordinatnih sistema • ovisno o području fizike, koriste se razne konvencije što se tiče faze i predzanka (na ovom kolegiju koristit će se standard uveden od Bohra i Mottelsona)...

  16. D-funkcija • za Eulerove kutove a, b i g, D-funkcija se definira kao: • njen efekt na valnu funkciju s kvantnim brojevima J i M dan je s: • dakle: • reducirana matrica rotacije definira se ovom relacijom: • veza je, dakle, dana s:

  17. D-funkcija • ako se neko stanje pri rotaciji transformira ovako: onda se očekivana vrijednost vektorskog operatora V transformira ovako: • transformacija tenzorskih operatora?

  18. Wignerove D-matrice • D-matrice su vlastite funkcije operatora momenta impulsa: • drugim riječima, D-funkcija ne mijenja vrijednost J: • DMM’ su također koeficijenti reprezentacije grupe rotacija:

  19. Svojstva Wignerovih D-matrica • reducirana matrica rotacije je posve realna i ima svojstva: • može se pokazati (ali nije trivijalno – vidi Sakurai pp.221-223): WIGNEROVA formula

  20. Simetričan rotor • M – projekcija ukupnog impulsa vrtnje J u smjeru osi kvantizacije z (dakle, u laboratorijskom sustavu) • K – projekcijaukupnog impulsa vrtnje J u intrinsičnom koordinatnom sustavu (os x3) (K u intrinsičnom sustavu ima istu ulogu kao M u laboratorijskom) • D-matrica je vlastita funkcija operatora Jz, J3 i J2:

  21. D-funkcija • transformacija pariteta daje (shematski zapis): • proizvoljna D-funkcija nema, dakle, dobro definiran paritet • konstrukcija valne funkcije dobrog pariteta:

  22. Primjer 1. Spin 1/2 • produkt operatora rotacije se u reprezentaciji matricama 2x2 svodi na: a to se može raspisati kao

  23. Zadatak 3. Vlastitastanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza za , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u originalnom stanju do na kvadratične članove u e. Rješenje 3.

  24. Zadatak 3. Vlastitastanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza za , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u originalnom stanju do na kvadratične članove u e. Rješenje 3. Zarotirano stanje dano je s:

  25. Zadatak 3. Vlastitastanja momenta impulsa |j,m=mmax=j> zarotirana su za infinitezimalni kut e oko osi y. Bez upotrebe eksplicitnog izraza za , izračunajte vjerojatnost da se novo rotirano stanje nalazi u originalnom stanju do na kvadratične članove u e. Rješenje 3. Zarotirano stanje dano je s: Uvodimo:

  26. Rješenje 3. Dobivamo: Koristimo poznate relacije: odnosno:

  27. Rješenje 3. Dobivamo: Dakle, vjerojatnost da rotirano stanje nađemo u originalnom stanju je:

  28. Zadatak 4. Izračunajte za svaku vrijednost j . Provjerite rezultat za j =1/2. Rješenje 4.

  29. Rješenje 4. S druge strane vrijedi:

  30. Rješenje 4. Za j =1/2 vrijedi: a) za m’ =1/2

  31. Rješenje 4. b) za m’ = -1/2

  32. Zadatak 5. Izračunati: Rješenje 5. • za J=1 moramo korisiti matričnu reprezentaciju dimenzije 3x3 • za reducirane Wignerove matrice trebamo samo Jy, zato koristimo: • koristimo: • da bi dobili: m=1 m=0 m=-1 m’=1 m’=0 m’=-1

  33. Zadatak 5. Izračunati: Rješenje 5. • primjer: m=0 i m’=1

  34. Zadatak 5. Izračunati: Rješenje 5. • sljedeći korak: razvoj u red

  35. Zadatak 5. Izračunati: Rješenje 5.

  36. Zadatak 5. Izračunati: Rješenje 5.

  37. Zadatak 5. Izračunati: Rješenje 5.

  38. Zbrajanje dva momenta impulsa • zbrajamo dva operatora momenta impulsa ( , ) koji zadovoljavaju uobičajene komutacijske relacije (u različitim potprostorima): • za bilo koji par operatora iz različitih potprostora vrijedi: • važno - sumirani moment impulsa zadovoljava iste komutacijske relacije:

  39. Zbrajanje dva momenta impulsa • moguća su dva izbora baze čitavog sistema: • unitarna transformacija koja povezuje dvije baze: Clebsch-Gordanov problem – 

  40. Zbrajanje dva momenta impulsa Clebsch-Gordanovi koeficijenti • standardni izbor faze: • obrat:

  41. Clebsch-Gordanovi koeficijenti • svojstva: 1) za 2) također za: 3) 4) 5) 6) 

  42. 3j-simboli • definicija: • svojstva: 1) 2) 3)

  43. Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite” svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove koeficijente Rješenje 6. (uzimamo j3=J, m3=-M) 1)  2) 

  44. Zadatak 6. Krećući od definicije 3j-simbola “prevedite” svojstva 1)-3) na Clebsch-Gordanove koeficijente Rješenje 6. (uzimamo j3=J, m3=-M) 3) 

  45. Zadatak 7. Pokažite: Rješenje 7. 3)  2)   def

  46. Zadatak 7. Pokažite: Rješenje 7. uz 

  47. 3j-simboli • daljnja svojstva (relacije ortogonalnosti): 4) 5)

  48. 3j-simboli • specijalni slučajevi: 1) 2)  } 

  49. Racahova formula za 3j-simbole • općenita formula za bilo koji 3j-koeficijent:

  50. Zadatak 8. Izračunati: Rješenje 8. • mora biti: • mogući t-ovi: 

More Related