CINEMÁTICA

1. CINEMÁTICA

2. Definição de Fluido Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado: • O Fluido se deforma continuamente • O Sólido se deforma, mas não continuamente Sólido Fluido • O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.

3. Fluido como um Continuo • Os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento. • 1 mol de gás contém 1023 moléculas, não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade, pressão, temperatura, etc. • O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa de lado o comportamento individual das moléculas. • Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do problema

4. Fluido como um Contínuo • Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço Definição da densidade num ponto infinitezimal > 10-7 cm

5. Referencial Euler x Lagrange

6. Métodos de Descrição Referencial Lagrangeano: • Acompanha elementos de massa identificáveis; • Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável. • Referencial Euleriano • Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo; • As propriedades do campo do escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo;

7. y x Lagrange: segue a trajetória de partículas com identidade fixa Eqs. paramétricas da trajetória de uma partícula que t =t0, x=a, y=b e z=c Velocidade partícula Aceleração partícula

8. Euleriano: descreve o que ocorre em diferentes posições do campo do escoamento Anemômetro y (x0,y0) (x1,y1) x O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x0,y0) ele vai registrar a velocidade: Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x0,y0) será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para o ponto (x1,y1) você obterá um novo valor de velocidade

9. Relação Coordenadas: Euler e Lagrange • No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x0,y0,z0) coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano): Euler Lagrange • Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial: EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento. Policial: segue um veículo

10. Lagrangeano x Euleriano • A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com 1 segundo de injeção. • Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd, cortesia Prof. Altemani DE. • Tente acompanhar como o CO2 se dispersa (Lagrangeano) • Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia (Euleriano)

11. 2 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .

12. 4 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 4 seg, indicando superfície com 15 % .

13. 6 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 6 seg, indicando superfície com 15 % .

14. 8 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.

15. 10 seg após injeção Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.

16. Lagrangeano x Euleriano • Todas as leis físicas são definidas para um referêncialLagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc • Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa. • Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto? • Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo. • Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds (cap 4)

17. Campo de Velocidade Um conceito EULERIANO

18. Campo de Velocidade • Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo (t) – referencial euleriano; • Ou em termos de suas componentes: (u,v,w), também dependem de x, y, z e t.

19. Campo de Velocidade • ESCOAMENTO PERMANENTE • As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não mudam com o tempo, então: • ESCOAMENTO TRANSIENTE: • As propriedades em cada ponto do escoamento mudam com o tempo, então:

20. Escoamentos 1D, 2D e 3D Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade . Exemplos: Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D

21. Escoamento 1D • Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de velocidades é dado por: • A velocidade axial é função • do “r”

22. Escoamento 2D em um Difusor Plano A velocidade varia em y e x. O canal é considerado como infinito em z. O campo de velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os planos, ou seja, invariável na direção z.

23. Escoamento 3D • Escoamento em rotação na vizinhança da parede de um disco estacionário. • A velocidade varia nas direções x, y e z.

24. Campo de Velocidades: regime permanente e 2D Campo Vetorial (j,k) Escoamento laminar sobre uma placa, plano YZ. Resultados produzidos pelo PHOENICS cfd Campo escalar w(y,z) superposição

25. Outras Formas de Representação Visual do Campo de Escoamento É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades das partículas por meio de: • Linhas de tempo (experimental) • Trajetória da partícula (experimental) • Linhas de emissão (experimental) • Linhas de Corrente (matemática)

26. Linhas de Tempo Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas simultaneamente num dado instante: • makingtimelines 1 • makingtimelines 2 Links p/ técnica de bolha de hidrogênio: (1) e (2)

27. Injetor de fumaça Trajetória e Linhas de Emissão Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano). Linha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço veja túnel de fumaça

28. Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão • Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão , veja filme. • A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente! • Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha -> trajetória. • Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a trajetória! emissão emissão + trajetória

29. Placa Plana Oscilante • Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente! filme

30. ds dy v Linha de corrente dx u ds R(t) R(t+dt) Linhas de Corrente São tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto. Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática da linha de corrente:

31. no- flow flow no- flow flow Impossível! Linhas de Corrente Propriedade 1: como as linhas de correntes são sempre tangentes à velocidade, não pode haver escoamento normal a elas. Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do contrário haveria extinção ou produção de massa no interior do escoamento.

32. Importante • Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão que por sua vez também coincide com a linha de corrente

33. Um campo de velocidade é dado por: Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy incluindo aquela para o ponto (x,y) = (1,2) Exemplo

34. Derivada Total ou Substantiva Ela relaciona a taxa de variação de uma propriedade (H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!

35. r(t) y r(t+dt) x Referencial Lagrangeano: segue a partícula • Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano. • Como seguir uma partícula num fluido?

36. r1 y r2 x Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de velocidades em função do ponto. • Velocidade para um referencial Euleriano. • Como definir uma aceleração?

37. Para que serve Derivada Total? • Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc • Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade) fixa. • Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto? • A derivada Total é a taxa de variação seguindo uma partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a partir de um referencial Euleriano.

38. Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...) Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza. Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um bote a motor e um medidor da concentração C do contaminante. Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado diferente! Tente explicar porque: 1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração 2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração 3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.

39. y x Barco Estacionário, Vb = 0 A variação da concentração c é função do tempo e do espaço: Se o barco está estacionário, o sensor de poluição medirá uma concentração C que passa pelo ponto de medida e que varia com o tempo apenas:

40. y x Barco Movimentando com Vb ≠ 0 A variação da concentração c é função do tempo e do espaço: Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são independentes mas estão relacionados por Vb: A taxa temporal de c é determinada por:

41. y x Barco Movimentando com a correnteza Vb= V Se o bote desloca junto com a correnteza então: Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)

42. Derivada Total, Material ou Substancial • Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal de variação de um escalar o vetor SEGUINDO uma partícula de fluido. • De fato esta taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um referencial EULERIANO. • f é uma variável genérica, sua derivada substancial: • Em notação vetorial

43. Derivada Total de um Escalar • O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia interna, entalpia, entropia, etc. • A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada por:

44. Derivada Total de um Vetor • A derivada total de um vetor é aceleração da partícula medida de um referencial Lagrangeano. Para um escoamento 2D ela possui duas componentes:

45. Motion of a Fluid Particle (Kinematics) • Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field

46. Motion of a Fluid Particle (Kinematics) • Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field (Cylindrical)

47. Identidade para Aceleração do Campo • Aceleração seguindo uma partícula: • A identidade: mas

48. TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de cisalhamento

49. Deformação de um Elemento Fluido A A’ O O’ B B’ C • A taxa de deformação depende do movimento relativo de de um ponto em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre ele e seus vizinhos. • Num caso 2D há duas direções principais. No instante t=0 temos o triângulo AOB, após t=dt vamos observar o deslocamento relativo AOB devido às diferentes velocidades que atuam em AOB • O movimento relativo de AOB para A’OB’ou sua taxa de deformação pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:

50. Cinemática • Veja a deformação de um elemento de fluido próximo a parede (filme). • Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação: rotação def. angular def. linear