1 / 52

De wiskundige knoop

De wiskundige knoop. LIO-project Gesubsidieerd door NWO Uitvoerder: Ab van der Roest Begeleider: Arjeh Cohen Plaats: Technische Universiteit Eindhoven. Knoop op Hoog Catharijne te Utrecht. Gemaakt door Shinkichi Tajiri. Borromean ringen op Iso la Bella. Mastworp (voor de zeilers).

melba
Download Presentation

De wiskundige knoop

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. De wiskundige knoop LIO-project Gesubsidieerd door NWO Uitvoerder: Ab van der Roest Begeleider: Arjeh Cohen Plaats: Technische Universiteit Eindhoven

  2. Knoop op Hoog Catharijne te Utrecht

  3. Gemaakt door Shinkichi Tajiri

  4. Borromean ringen op Iso la Bella

  5. Mastworp (voor de zeilers)

  6. Achtknoop (voor de bergbeklimmers)

  7. Decoratieve knoop

  8. knopentruck

  9. wiskundige knoop • Een knoop is een gesloten kromme in de drie dimensionale ruimte die geen zelfdoor-snijdingen heeft

  10. wiskundige knoop • Andere benadering om knopen te bestuderen: • α: S1 → S3 is een inbedding van een knoop • bestudeer nu de topologie van de complementaire ruimte S3-α(S1)

  11. wiskundige knoop of onderzoek hoe gekromd de gesloten kromme is stelling van Fary-Milnor: • als de totale kromming ∫κ≤ 4π dan is de knoop de triviale knoop • als de totale kromming ∫κ> 4π dan is de knoop echt geknoopt

  12. Van knoop naar diagram • Projecteer de knoop op een plat vlak • Geef duidelijk aan of je een boven- of onderkruising hebt

  13. wiskundige knoop • Eén van de hoofdvragen: welke knopen zijn er en wanneer zijn knopen echt verschillend knopentabel

  14. wiskundige knoop

  15. wiskundige knoop • Twee voorbeelden van knopen die er ingewikkeld uit zien, maar eenvoudige knopen blijken te zijn

  16. Hoe onderscheiden we knopen die gelijk zijn? • Kurt Reidemeister beschreef drie bewegingen op een knoopdiagram: • R1

  17. R2

  18. R3

  19. Reidemeister stelde:als knoop K en L isotoop zijn, bestaat er een eindige rij Reidemeisterbewegingen die het diagram van knoop K overzet in het diagram van knoop L. • Opmerking: als dit niet lukt weet je nog niets; misschien ben je gewoon niet handig genoeg!

  20. invarianten • Een invariant is een eigenschap van een knoop die niet veranderd als we de knoop “vervormen”. • Een invariant blijft dus behouden onder de Reidemeistebewegingen.

  21. invarianten • Aantal kruisingen: nee • Verstrengelingsgetal: nee • Schakelgetal: ja • Aantal driekleurigen: ja • Veeltermen: ja

  22. verstrengelingsgetal • Een kruising in een diagram krijgt de waarde +1 of -1 met de volgende systematiek • Het verstrengelingsgetal is de som van die waardes van de kruisingen.

  23. verstrengelingsgetal • Verstrengelingsgetal w(T) = -3

  24. verstrengelingsgetal • Geen invariant: voeg een extra kruising toe met behulp van R1; de totale som zal veranderen.

  25. driekleuringen • Een diagram wordt gekleurd met drie kleuren volgens de regels: • Bij een kruising komen precies drie kleuren • Bij een kruising komt precies één kleur

  26. driekleuring • Invariant na te gaan met de Reidemeisterbewegingen

  27. driekleuring

  28. Kauffman-haakje • Een veelterm die uitgerekend wordt voor een niet-georiënteerd diagram • Het vlak wordt door een kruising in “vieren” gedeeld en volgens de onderstaande systematiek benoemd:

  29. Kauffman-haakje • Vervolgens splitsen we de kruising:

  30. Kauffman-haakje • We doen dit voor elke kruising en zo kunnen we voor een diagram met n kruisingen 2n nieuwe diagrammen maken, die toestanden noemen.

  31. Kauffman-haakje • Definitie: • Zij K een knoop en S een toestand van het knoopdiagram; c(S) is het aantal componenten; a(S) het aantal A-splistsingen en b(S) het aantal B-splitsingen • Kauffman-haakje wordt berekend met de formule:

  32. Kauffman-haakje

  33. Kauffman-haakje • Berekening van Kauffman-haakje voor de klaverbladknoop: zie werklblad

  34. Kauffman-haakje • <T> = A3d2 + 3A2Bd + 3AB2 + B3d • Op grond van de invariantie onder de Reidemeisterbewegingen moet er voor A, B en d de volgende relaties gelden: • B = A-1 • d = -(A2+A-2) gevolg: <T> = A7 − A3 − A-5

  35. Kauffmanveelterm • Kauffmanveelterm voor een georiënteerd knoopdiagram: w(K) is het verstrengelings-getal van knoop K en <K> is de Kauffman-haakje dan is de Kauffamanveelterm: fK(A)=(−A)-3w(K)<K>

  36. Kauffmanveelterm • In ons voorbeeld: • w(T) = -3 • fK(T) = (-A)9(A7− A3 − A-5) = -A16 + A12 + A4 Merk op dat wanneer je elke bovenkruising verandert in een onderkruising de veelterm verandert in fL = -A-16 + A-12 + A-4 en op grond daarvan kunnen we zien dat K en L verschillend zijn.

  37. Jonesveelterm • Weefrelatie

  38. Jonesveelterm • De Jonesveelterm VK is gedefinieerd voor een georiënteerd diagram en maakt gebruik van de weefrelatie: • voor een diagram dat op één kruising verandert geldt de volgende bewering:

  39. Jonesveelterm • Gevolg van deze definitie is: bevat een knoop K niet geschakelde componenten dan is de Jonesveelterm:

  40. Jonesveelterm

  41. Jonesveelterm • Voorbeeld:

  42. Jonesveelterm

  43. vlechten

  44. vlechten

  45. vlechten

  46. vlechten • Elke vlecht is een knoop • Elke knoop is een vlecht • Algoritme van Yamada-Vogel knoop

More Related