Análisis Básico de sistemas de Control – Ecuaciones de Espacio - Estado

1. Análisis Básico de sistemas de Control – Ecuaciones de Espacio - Estado Ing. Miguel Angel Niño Zambrano

2. Generalidades Definiciones y Conceptos de Control

3. Generalidades • Ej. Vehículos Espaciales, Sistemas de Guía, Sistemas piloto automático, etc. • James Watt – Regulador Centrifujo. • Minorsky, Hazen y Nyquist. • Teoría de Control Clásica (Univariables) vs. Teoría de Control Moderna (Multivariables – Estados en el Tiempo). • Control Optimo, Adaptación y Aprendizaje

4. Glosario • Variable Controlada (Salida del Sistema) • Variable Manipulada (Entrada del Sistema). • Control (valor medio vs. Valor deseado). • Plantas (Objeto físico a controlarse) • Procesos (Operación a controlar) • Sistemas • Perturbaciones (afecta la salida del sistema) • Control Retroalimentado (Operación -> perturbaciones -> Reducir Salida vs Entrada de Referencia)

5. Glosario • Sistemas de Control retroalimentado (Mantener relación entre Salida vs. Entrada de Referencia) • Servosistemas o Servomecanismos (SCR ->Salida = Control Mecánico (velocidad o aceleración)). • Sistemas de Regulación Automática (SCR ->Entrada Ref. o Salida son Constantes – Mantener la salida en el valor deseado). • Sistemas de Control de Procesos (SRA – Salida (Temperatura, Presión, flujo. Ph, etc.) vs. Cronograma establecido)

6. Glosario • Sistemas de Control de Lazo Cerrado (SCR). Variaciones no previsibles. • Sistema de Control de Lazo Abierto (Salida no tiene efecto en el control Ej. Lavadora *- Calibración). Sistemas en los que se conoce bien las entradas y salidas sin perturbaciones. • SCLA vs. SCLC (Componentes imprecisos, Estabilidad, Costo = f(Potencia)). • Sistemas de Control Adaptables (Ajustes en el controlador, Características dinámicas). • Sistemas de Control de Aprendizaje.

7. Clasificación de los Sistemas de Control • S.C. Lineales vs. No Lineales. • S.C. Invariantes en el Tiempo (Parámetros constantes) vs. Variable en el Tiempo (Ej. Aceleración Vehículo espacial). • S.C. Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto. • S.C. Una Entrada una Salida vs. Múltiples Entradas y Múltiples Salidas. • S.C. Parámetros Concentrados vs. Distribuidos. • S.C. Determinísticos vs. Estocásticos

8. Ejemplos: Sistema de Control de Velocidad

9. Ejemplos: Sistema de Control de Robot

10. Ejemplo: Control del Brazo del Robot

11. Ejemplo: Sistema de Control de la Fuerza de Agarre de la mano de un Robot

12. Ejemplo: Control Numérico de una máquina

13. Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de Un Horno

14. Ejemplo: Sistema de Control de Temperatura de un Auto

15. Otros Ejemplos • Sistemas de Control de Tráfico • Sistemas Biológicos (Ecuaciones de Volterra ampliadas) • Sistemas de Control de Inventario • Sistemas Empresariales

16. Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control • Requisitos Generales de los Sistemas de Control • Todo Sistema de Control debe ser Estable. (absoluta vs. Relativa), velocidad de respuesta, reducir errores razonablemente. • Teoría de Control Moderna (TCM) vs. Teoría del Control Clásico (TCC). • La TCC utiliza extensamente la función de transferencia. Realiza el análisis en el dominio de s y/o el dominio de la frecuencia. • LA TCM se basa en el concepto de Espacio de Estado, utiliza extensamente el análisis vectorial - Matricial

17. Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control • La TCC Brinda buenos resultados para sistemas de control de una entrada y una salida, siendo inútil para sistemas de múltiples entradas y salidas. • LA TCM es buena para sistemas con Múltiples entradas y m múltiples salidas. • La TCC utiliza los métodos de control convencional (PID, Lugar de Raíces, Respuestas de Frecuencia), están basados más en la comprensión física que matemática. • La TCM utiliza más métodos (Espacio de Estados) con fuerte análisis matemático, siendo más difíciles de entender que el clásico

18. Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control • Modelado Matemático • Componentes de un SC (Electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, electrónicos, etc.), los cuales se reemplazan con modelos matemáticos. • No deben ser muy complicados ni muy simples, representando los elementos esenciales de tal forma que sus predicciones sean bastante precisas. • Se deben tener en cuenta los isomorfismos. • En Ingeniería del Control se usan ecuaciones diferenciales parciales invariantes en el tiempo, funciones de transferencia y ecuaciones de estado para modelos matemáticos de sistemas lineales invariantes en el tiempo. • Las relaciones entradas- salida no lineales se linealizan en la vecindad de los puntos de operación.

19. Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control • Análisis y Diseño de sistemas de Control. • Análisis: La investigación bajo condiciones específicas del comportamiento de un sistema, cuyo modelo matemático se conoce. • Análisis de respuesta transitoria: La determinación de respuesta de una planta a señales y perturbaciones de entrada. • Análisis de Respuesta en Estado Estacionario: La determinación de la respuesta tras la desaparición de la respuesta transitoria. • Diseño: Hallar un sistema que cumpla la tarea dada. • Síntesis: Encontrar, mediante un procedimiento directo, un sistema de control que se comporte de un modo específico.

20. Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control • Método básico de diseño de Control. • Es necesaria la utilización de procedimientos de tanteo, por las diversas perturbaciones en los sistemas los cuales incluyen no linealidades • Índice de Comportamiento: Es una medida cuantitativa del comportamiento, que indica la desviación respecto al comportamiento ideal. Se determina por los objetivos del S.C. Ej. Integral de error a minimizar. • Ley de Control: La especificación de la señal de control durante el intervalo de tiempo de tiempo operativo. Se busca determinar la ley de control óptimo.

21. Elementos Básicos del Diseño de Sistemas de Control • Pasos de Diseño • Dada una planta industrial, primeramente se deben elegir sensores y actuadores a apropiados. • Construir Modelos Matemáticos apropiados de la planta. • Diseñar un controlador de tal modo que el sistema de lazo cerrado satisfaga las especificaciones dadas. • El controlador es una solución a la versión matemática del problema de diseño. • Simular el modelo en una computadora para verificar el comportamiento del sistema, en respuesta a diversas señales y perturbaciones. • Con los resultados de simulación se debe rediseñar el sistema y completar el análisis correspondiente. • Construir un prototipo del sistema físico. • Probar el Prototipo hasta cumplir con los requisitos.

22. Modelado Matemático Representación de Sistemas Dinámicos en Espacio de Estados

23. Modelos • Mentales • Lingüísticos • Gráficos • Matemáticos • Software

24. Construcción de los Modelos Matemáticos

25. Modelos Matemáticos

26. Conceptos Matemáticos Preliminares • Propiedades de la Transformada de Laplace. • Método Operacional para resolver ecuaciones diferenciales lineales (EDL). • La EDL se transforma en una operación algebraica en función de una variable compleja s, se resuelve la f(s) y luego se aplica la transformada inversa de Lapalace. • Laplace se puede utilizar en técnicas de análisis gráfico para predecir el funcionamiento del sistema sin resolver las EDL. • Resolviendo las EDL se obtienen componentes de estado transitorio y estacionario en la solución simultáneamente.

27. Conceptos Matemáticos Preliminares • Variables Complejas y Función Compleja.

28. Conceptos Matemáticos Preliminares • Teorema de Euler

29. Conceptos Matemáticos Preliminares • Transformada de Laplace

30. Conceptos Matemáticos Preliminares • Aplicar Laplace a las funciones: (Ejemplo)

31. Función de Transferencia • Permite caracterizar las relaciones entre la entrada y la salida de componentes o de sistemas que pueden describirse por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo. • Def.:La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales invariante en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de Entrada (función excitación), bajo la suposición que todas las condiciones iniciales son cero.

32. Función de Transferencia • Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden n. • El concepto de función de transferencia esta limitado a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. • La FT es un método operacional apara expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. • La FT es una propiedad de un sistema en sí, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función impulsora.

33. Función de Transferencia • La FT incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida: no obstante, no brinda ninguna información con respecto a la estructura física del sistema. • Si se conoce la FT de un sistema, se puede estudiar la salida o respuesta para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una comprensión de la naturaleza del sistema. • Si se Conoce la FT de un sistema, se puede establecer experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida del sistema, brindando la descripción de las características dinámicas del sistema.

34. R(s) C(s) E(s) G(s) + + - - Sistema de Representación de un Sistema de Control • Diagrama de bloques: + G(s) - x y=G(s)*x Señales Bloque Funcional Punto de Suma Punto de Bifurcación R(s) C(s) E(s) G(s) B(s) H(s) Diagrama de Bloques de un Sistema de Lazo Cerrado

35. Funciones de Transferencia del Ejemplo anterior Función de Transferencia De Lazo Abierto: Función de Transferencia Directa: Función de Transferencia De Lazo Cerrado: Función de Transferencia De Lazo Cerrado con Amplificación De la Señal de Entrada K:

36. + - Representación de un SLC sometido a perturbación • Se pueden considerar las respuestas de las entradas por separado y luego sumarlas. Perturbación N(s) R(s) E(s) C(s) G1(s) + G2(s) + B(s) H(s)

37. Representación de un SLC sometido a perturbación

38. Procedimientos para trazar un Diagrama de Bloques • Escribir las ecuaciones que describen el comportamiento dinámico de cada componente. • Tomar las transformadas de Lapace de éstas ecuaciones, suponiendo condiciones iniciales cero. Cada transformada se representa individualmente en forma de Bloque. • Se integran los elementos en un Diagrama de Bloques completo.

39. Conversión de Diagramas de Bloques Suma de Señales: Conexión en Cascada: = Conexión en Paralelo:

40. Conversión de Diagramas de Bloques Retroalimentación: = Traslado del Sumador: Traslado del Punto de Salida:

41. Ejemplo 1: DB de Circuito R - C e0 ei i + Laplace:

42. + + - - Ejemplo 1: DB Circuito Ei(s) I(s) E(s) E0(s) 1/R I(s) 1/Cs E0(s) (1) (2) I(s) Ei(s) E(s) E0(s) 1/R 1/Cs E0(s) (3)

43. Método del Espacio de Estados • Teoría de Control Moderna (1960) Concepto de Estado. • Teoría de Control Moderna vs. Teoría de Control Clásica. • Multivariable vs. Una entrada una Salida • Dominio en el tiempo vs. Dominio en Frecuencia Complejas. • Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (de Estado) tales que el conocimiento de esas variables en t=t0, conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t >= t0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t >= t0. • Variables de Estado: Son las variables que constituyen el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico.

44. Método del Espacio de Estados • Vector de Estado: Si se requieren n variables para describir el comportamiento de un sistema dado, se puede considerar a esas n variables como elementos de un vector X. Determinando el estado del sistema dado una entrada U(t) t>=0. • Espacio de Estado: Espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados, consiste en el eje X1, X2, … Xn,. • Ecuaciones de Espacio de Estado: Se manejan tres tipos de variables (Entrada, Salida, Estado) SISO MIMO

45. Método del Espacio de Estados • Las ecuaciones empleadas son de primer orden, que operan sobre vectores de estado: u es un vector que contiene cada una de las p entradas al sistema, y es un vector que contiene cada una de las q salidas del sistema, x es un vector que contiene cada una de las n variables de estado del sistema, es decir:

46. Método del Espacio de Estados • Estudiaremos sistemas dinámicos lineales invariantes en el tiempo, de múltiples entradas y múltiples salidas. Si el sistema es continuo, su modelo corresponderá a las ecuaciones Matriciales: Ecuación de Estado A = Matriz de Estado B = Matriz de Entrada C = Matriz de Salida D = Matriz de Transmisión Directa Ecuación de Salida Las Matrices deben ser de tamaño adecuado:

47. Método del Espacio de Estados Función de Transferencia De un Integrador

48. Ejemplo 1: Sistema Eléctrico – Circuito RLC Aplicando la Leyes de Kirchhoff:

49. Ejemplo 1: Sistema Eléctrico – Circuito RLC Organizando las ecuaciones: En forma matricial:

50. Ejemplo 1: Sistema Eléctrico – Circuito RLC Se desea estudiar el comportamiento de Vr(t) e IL(t), sabiendo que Vr(t) = IL*R: La representación variable estado del circuito RLC: Las matrices son: