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Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales. Gauss. Directos. Gauss-Jordan. Cholesky. Métodos de Resolución. Jacobi. Iterativos. Gauss-Seidel. Métodos Directos. Sea el sistema:. y. x i SON LAS INCÓGNITAS A CALCULAR. Método de Gauss.

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Presentation Transcript

  1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

  2. Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Gauss Directos Gauss-Jordan Cholesky Métodos de Resolución Jacobi Iterativos Gauss-Seidel

  3. Métodos Directos Sea el sistema: y xi SON LAS INCÓGNITAS A CALCULAR

  4. Método de Gauss Rescribimos el sistema de ecuaciones lineales de la forma: Podemos permutar filas o columnas de modo quea11(1)¹0 Restando a la i_ésima fila de[A](1)la primera fila multiplicada por: i = 2, ..., n Se obtiene:

  5. Tomando a22como segundo pivote, y restando a la i_ésima fila de[A](2)la primera multiplicada por : Se obtiene:

  6. Donde: El método de eliminación de Gauss consiste en generar N-1 ecuaciones de la forma: Donde[A]ry {B}rson de la forma:

  7. Con lo que se obtiene: Después deN-1pasos llegamos a: Donde[A]nes triangular superior.

  8. Descomposición LUMétodo de Crout A: Matriz cuadrada de orden “n”. A: Descompuesta en un producto de dos matrices A=B*C

  9. Donde Bes una matriz triangular inferior con 1 en la diagonal yCes una matriz triangular superior , es decir:

  10. Resolver A * x = b equivale, trivialmente a resolver el sistema B * C * x = b. • Etapas de resolución: • DescomponerAen el producto de dos matrices del tipo anterior,A = B * C • Resolver el sistemaB * y = bdondey = C * x • Resolver el sistemaC * x = y Veamos cada una de ellas en detalle: a) Calcular dos matrices B y C del tipo citado tal que:

  11. Calculo de la fila 1 de C y columna 1 de B Se obtiene pues:

  12. Calculo de la k_ésima fila de C y k_ésima columna de B Suponiendo calculadas las anteriores • Ya que bkl=0 “"L > k • Puesto que bkk=1 • Luego:

  13. Finalmente:

  14. Métodos Iterativos 1) Método de Jacobi: Sugerimos una solución a priori: Lo que no es cierto, pero se puede admitir como primer aproximación. A estas las denominamos Soluciones de 1º Paso o Paso Cero.

  15. A partir de 1, calculamos el nuevo valor de x1 De 2, podemos calcular el valor de x2 De 3, podemos calcular el valor de x3 Para “N” ecuaciones:

  16. Método de Gauss- Seidel Similar al método de Jacobi: Generalizando:

  17. Sistemas Mal Condicionados: x-y=0 x+y=2 x+0.9999y=1.9999 x+y=2

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