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Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

En esta clase, trataremos la resolución mixta simbólica y numérica de sistemas de ecuaciones no lineales acopladas. El método de rasgadura brinda también una solución eficiente para el tratamiento de sistemas de ecuaciones no lineales.

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

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  1. En esta clase, trataremos la resolución mixta simbólica y numérica de sistemas de ecuaciones no lineales acopladas. El método de rasgadura brinda también una solución eficiente para el tratamiento de sistemas de ecuaciones no lineales. La iteración numérica de los sistemas de ecuaciones no lineales puede limitarse a las variables de rasgadura. Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

  2. Sistemas de ecuaciones no lineales Iteración de Newton Iteración de Newton con rasgadura Iteración de Newton de sistemas de ecuaciones lineales Contenido

  3. Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo I

  4. Esclusa Embalse Consumidor II q q p q p p Consumidor I 3 2 1 2 1 0 Presión ambiental Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo II Vista esquemática Vista topológica

  5. q p q = k · sign(p ) · p Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo III q p q: Caudal p: Caída de presión  p = sign(q) · q2 / k2

  6. p2 = 100 p0 = 1 fS(q1 ,p1 ,p2) = 0 fI(q2 ,p0 ,p1) = 0 fII(q3 ,p0 ,p1) = 0 q1 = q2 + q3 Esclusa Embalse Consumidor II p q q p p q Consumidor I 3 1 2 0 2 1 Presión ambiental Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo IV

  7. p2 = 100 p0 = 1 fS(q1 ,p1 ,p2) = 0 fI(q2 ,p0 ,p1) = 0 fII(q3 ,p0 ,p1) = 0 q1- q2- q3= 0 p2 = 100 p0 = 1 fS(q1 ,p1 ,p2) = 0 fI(q2 ,p0,p1) = 0 fII(q3 ,p0,p1) = 0 q1- q2- q3= 0 Sistema de ecuaciones no lineales con 4 incógnitas Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo V 

  8.  f(x) H(x) =  x Iteración de Newton I f(x) = 0 x   n f  n Sistema de ecuaciones no lineales: x 0 Vector inicial: x i+1 = x i - Dx i Dx   n Fórmula de iteración: Dx i = H(x i )-1 · f(x i ) Incremento: H   n  n Matriz Hessiana:

  9. p1 q1 q2 q3 x = p2- p1 - sign(q1) · q12 /k12 p1–p0 - sign(q2) · q22 /k22 p1–p0 - sign(q3) · q32 /k32 q1- q2- q3 = 0 f(x) = -2|q1 |/k12 0 -1 1 1 0 0 0 -2|q2 |/k22 0 0 1 H(x) = -2|q3 |/k32 0 -1 -1 Iteración de Newton: Ejemplo I

  10. Dx i = H(x i )-1 · f(x i )  H(x i ) · Dx i = f(x i )  Sistema lineal de ecuaciones con incógnitasDx  Dx   n Iteración de Newton II Cálculo del incremento:

  11. p2 = 100 p0 = 1 fS(q1,p1 ,p2) = 0 fI(q2 ,p0,p1) = 0 fII(q3 ,p0,p1) = 0 q1- q2- q3= 0 p2 = 100 p0 = 1 fS(q1,p1,p2) = 0 fI(q2,p0,p1) = 0 fII(q3,p0,p1) = 0 q1-q2-q3= 0 Iteración de Newton con Rasgadura I p2 = 100 p0 = 1 fS(q1 ,p1 ,p2) = 0 fI(q2 ,p0,p1) = 0 fII(q3 ,p0,p1) = 0 q1- q2- q3= 0   Elección

  12. p2 = 100 p0 = 1 fS(q1,p1,p2) = 0 fI(q2,p0,p1) = 0 fII(q3,p0,p1) = 0 q1-q2-q3= 0 p2 = 100 p0 = 1 q1 = q2+q3 p1 = f1(q1,p2) q2 = f2(p0,p1) q3 = f3(p0,p1) q1 = f2(p0,p1) + f3(p0,p1) = f2(p0, f1(q1,p2)) + f3(p0, f1(q1,p2)) Iteración de Newton con Rasgadura II 

  13. f(x) = q1-f2(p0, f1(q1,p2)) - f3(p0, f1(q1,p2)) = 0 x = q1  Sistema lineal de ecuaciones con incógnita Dx  H(x i ) · Dx i = f(x i )  Dx   1 q1 = f2(p0,p1) + f3(p0,p1) = f2(p0, f1(q1,p2)) + f3(p0, f1(q1,p2)) Iteración de Newton con Rasgadura III

  14. p2 = 100 p0 = 1 q1 = q2+q3 p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k12 q2 = k2 · sign(p1 -p0) · p1 -p0 q3 = k3 · sign(p1 -p0) · p1 -p0 pq1q1 = 1 pp1q1 = - 2|q1| / k12 pq2q1 = k2 / ( 2 ·  p1 -p0)· pp1q1 pq3q1 = k3 / ( 2 ·  p1 -p0)· pp1q1 f =q1-q2-q3 h =pq1q1-pq2q1-pq3q1  La sustitución simbólica de expresiones casi nunca es provechosa. Es mucho mejor iterar sobre todas las ecuaciones y derivar cada ecuación en forma separada para determinar las derivadas parciales. Iteración de Newton : Ejemplo II

  15. q1 = Valor inicial dx = 1 whiledx> dxmin p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k12 q2 = k2 · sign(p1 -p0) · p1 -p0 q3 = k3 · sign(p1 -p0) · p1 -p0 pp1 = - 2|q1| / k12 pq2 = k2 / ( 2 ·  p1 -p0)· pp1 pq3= k3 / ( 2 ·  p1 -p0)· pp1 f =q1-q2-q3 h =1-pq2-pq3 dx = h \ f q1 = q1–dx end  La iteración se produce sobre todas las ecua-ciones. Sin embargo, el sistema lineal de ecuaciones interno sólo se resuelve para las variables de rasgadura. Iteración de Newton : Ejemplo III

  16. La iteración de Newton converge tras una sola iteración. Iteración de Newton en Sistemas Lineales A·x = b Sistema lineal:  f(x) = A·x – b = 0  H(x) = f(x)/  x = A  A·Dx = A·x – b Dx = x – A-1·b x 1 = x 0 – (x 0 – A-1·b) = A-1·b

  17. El método de rasgadura es igualmente apto para el uso con sistemas lineales y no lineales. La iteración de Newton en un sistema de ecuaciones no lineales conduce internamente a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. La matriz Hessiana de este sistema de ecuaciones lineales sólo necesita ser determinada para las variables de rasgadura. La iteración de Newton puede también utilizarse muy eficientemente para la resolución de sistemas lineales en muchas variables ya que converge en un sólo paso (con el cálculo correcto de la matriz H(x)). En la práctica, la matriz H(x) generalmente se aproxima de manera numérica en lugar de calcularse analíticamente. De todas maneras, las técnicas de manipulación simbólica de fórmulas pueden usarse para obtener expresiones simbólicas de los elementos de la matriz Hessiana. Conclusiones

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