MODELISATION MATHEMATIQUE - CHANGEMENT D’ECHELLE Homogénéisation Présentation Générale

1. MODELISATION MATHEMATIQUE - CHANGEMENT D’ECHELLEHomogénéisationPrésentation Générale (Alain Bourgeat) Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

2. Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them, they translate into their own language and forthwith it is something entirely different. J. W. Goethe Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

3. Définition • L'homogénéisation consiste à gommer les hétérogénéités inhérentes aux microstructures afin d'obtenir une loi de comportement plus simple du milieu, asymptotiquement équivalente, dite homogénéisée. • On ne dispose pas en général de formule explicite de la loi homogénéisée sauf dans des cas très particuliers . Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

4. Principes • A partir d’une modèlisation mathématique adimensionnalisée , écrite à l’échelle « microscopique » • Hypothèses et domaine de validité clairement définis • Met en évidence les importances relatives des phénomènes (par exemple : Diffusion /Dispersion /Convection/ Décroissance radioactive/…) • Permet de • considérer conjointement les grandeurs physiques importantes (différents Flux, Energie, …) • un choix du temps caractéristique « interessant » Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

5. Principes • Mettre en évidence le « petit paramêtre » e associé aux hétérogéneités ou oscillations des propriétés • Taille relative de la période spatiale ou temporelle • Mesurer toutes les rapports: de taille, de puissance des phénomènes, en fonction de ce petit paramètre e • Taille des grains, porosité, perméabilité, … Nombre de Peclet, Nombre de Reynolds, Nombre de Froude, … , exprimés en Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

6. Exemples simples (1) Diffusion à travers un matériau hétérogène (hétérogéneités en grand nombre): (2) Ecoulement à travers des grains (obstacles en grand nombre): Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

7. Exemples moins simples (1) Diffusion à travers un matériau hétérogène (hétérogéneités en grand nombre): (2) Ecoulement à travers des grains (obstacles) en grand nombre): Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

8. Principes (le retour) En écrivant les modèles : I– Supposer que le « petit paramêtre » e , associé aux hétérogénéités ou oscillations des propriétés, est infiniment petit ( très grand nombre d’hétérogéneités, d’ oscillations des propriétés, d’obstacles, …) Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

9. Principes I – Trouver la limite II – Etudier la limite (en un sens adéquat ! ) lorsque du modèle (équation) Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

10. Problèmes I – Quelle limite? En quel sens? ex: II – Comment obtenir cette limite? Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

11. I Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

12. I Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

13. II Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

14. II Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

15. Diverses techniques I - Notion de limite faible, de limite à double échelles, … (en considérant l’Energie) La limite de l’Energie donne le comportement à grande échelle (ou global) II -Développement: Contenant éventuellement des couches limites Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

16. APPLICATIONS CLASSIQUES • Validation des hypothèses sous jacentes, domaine de validité; moyens de calculer exactement; • Micro –Méso • Navier-Stokes Darcy, Brinkman,Forcheimer,… • Navier-Stokes +Elasticité Biot • Ecoulements non newtoniens Lois de filtration ad-hoc • Navier-Stokes ou Diffusion tailles critiques des « mésopores » ou « fractures » • Diffusion diffusion dispersion Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

17. APPLICATIONS CLASSIQUES • Validation des hypothèses sous jacentes, domaine de validité; moyens de calculer exactement; • Méso - Macro • Transport, diffusion lois globales de milieux fissurés (vs. Taille des fractures) • Transport, diffusion modèles champ lointain de site de stockage (avec possible endommagement) • Ecoulements multiphasiques lois doubles porosité de milieux fissurés • Ecoulements multiphasiques Lois « macroscopiques » de comportements Pc, Kr; K • Navier-Stokes lois de contact fluide libre- milieu poreux, Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique

18. CONCLUSIONS : + / - • Validation des hypothèses sous jacentes, identification des domaine de validité; moyens de calculer exactement; • Donne les ordres de grandeur • Valide les modèles (identifie les phénomènes) que l’expérimentateur va voir à son échelle d’observation • Analyse théorique des EDP!! => besoin de collaboration avec les phénoménologues Rencontres FORPRO/MoMaS Le changement d'échelle - modélisation phénoménologique et mathématique