Seminario: Teorías Formales de la Verdad

1. Seminario: Teorías Formales de la Verdad Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2009 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

2. Seminario: Teorías Formales de la Verdad George Cantor

3. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Diagonalización • - Si L es un set infinito enumerable, cada uno de los elementos puede ser puesto en correspondencia biunivoca con un número natural. • - Al poner en correlación expresiones de un L con números se garantiza representar las propiedades lingüisticas en términos de números. • - Si las fbf pueden verse como números, las operaciones entre fórmulas y sus propiedades pueden verse como opereciones o propiedades entre números.

4. Seminario: Teorías Formales de la Verdad Kurt Gödel

5. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • La numeración de Gödel • - Asignar un número natural a cada expresión primitiva de L. • - El número de Gödel de una fbf es el producto de varios números enteros primos sucesivos, elevado cada uno de ellos por alguna potencia. (esa potencia es el número entero asignado a la expresión inicial que está e su lugar). • - La utilización de números primos (números naturales que sólo se pueden dividir por sí mismos o por la unidad) garantiza que el número de Gödel represente la estructura de la fórmula (ya que todo número natural se puede factorizar en un único producto de números primos sucesivos. • - De esta manera, no todo entero es un número de Gödel (hay números enteros que no son representantes ni de una expresión elemental, ni de una fbf). De lo contrario, toda sucesión de expresiones sería una fbf.

6. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • La numeración de Gödel: • NÜMERO DE GÖDEL: Gödel demostró que es posible asignar un único número a cada signo elemental, a cada fórmula y a cada prueba. • (  x ) ( x = s y ) • 8 4 11 9 8 11 5 7 13 9 • 28 x 34 x 511x 79 x 118x 1311x 175 x 197x 2313x 299 : m • ARITMETIZACIÓN DE LA METAMATEMÁTICA: • Gödel demostró que todas las proposiciones metamátemáticas acerca de las propiedades estructurales contenidas en el cálculo pueden ser reflejadas dentro del cálculo mismo.

7. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • La aritmetización de la semántica • Las proposiciones semánticas hablan acerca de las propiedades y relaciones de las fbf de L. • Si L es semánticamente universal, se puede hablar en L de su propia semántica. • Toda lo que se puede decir de la semántica de L, tiene que poder reflejarse como una fbf de L. • Al hacerlo, ya que las fbf de L tienen un número de Gödel, estas tendrían que tener un número de Gödel.

8. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Aritmetización de los lenguajes: • - Sea S un lenguaje de primer orden en el que se pueda axiomatizar la aritmética. • Por ejemplo, “x  (x = 1 + 1)” es una fbf. Hay ciertas fórmulas especiales, las oraciones, de las cuales tiene sentido preguntar si son demostrables o no lo son (usando los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría). • - Toda la sintaxis de S está aritmetizada de forma que a cada expresión y a cada fórmula de S le corresponde un número de Gödel. Sea “«a»” el número de Gödel de a. • - Las fórmulas del lenguaje pueden representarse como objetos (números) sobre los que se puede cuantificar.

9. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • - Todos los conceptos metamatemáticos (por ejemplo, “x es demostrable en S”, “la variable x se sustituye por la variable y”) de pueden codificar dentro de S. • - Las fórmulas con una variable libre (como “x es un número par”) son especiales. Se las llama class sign, ya que tan pronto como el dominio sea restringido, se define una clase (la clase de los números…). Se puede decir que ellas codifican o sirven para representar clases de números. • o La idea es simple: la fórmula “F(x)” representa la clase de todos los números n para los cuales F(n) es deducible en S. Tales fórmulas pueden ser ordenadas.

10. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Argumentos Diagonales • El principal intererés filosófico de los argumentos diagonales yace en su vinculación con ciertas restricciones expresivas de los lenguajes. • Dada una lista, una colección de elementos, el método puede ser aplicado a ella para descubrir un conjunto (L) de elementos que no aparece en la lista. • (D) Para cada elemento e de la colección, e está en la lista ssi e no está en la lista.

11. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Teorema de la Diagonal: • Formulación: Sea R una matriz formada por las colecciones D1 y D2 y sea F una relación diagonal sobre D1 y D2. Sea H el contravalor de F. Entonces, H no aparece como una línea de R. …….

12. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • 1) Prueba de Cantor: No hay una correspondencia biunivoca entre los naturales y los reales. D2 D1 0 1 2 3 4 5 … E1 9 1 9 9 1 1 E2 9 1 1 9 9 9 E3 1 1 9 1 9 9 E4 1 9 1 9 1 9 E5 9 1 9 1 1 9 E6 1 9 1 9 9 9 • D1 = conjunto de los enteros positivos • D2= conjunto de los reales.

13. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • 1) Prueba de Cantor: No hay una correspondencia biunivoca entre los naturales y los reales. D2 D1 0 1 2 3 4 5 … E11 1 9 9 1 1 E2 9 9 1 9 9 9 E3 1 1 1 1 9 9 E4 1 9 1 1 1 9 E5 9 1 9 1 9 9 E6 1 9 1 9 9 1 • D1 = conjunto de los enteros positivos • D2= conjunto de los reales.

14. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2 • R3 (x, y, z) = 1, si el elemento x tiene a 1 en el lugar y • 9, si el elemento x tiene a 9 en el lugar y • F3 (x, y, z) = 1, si el elemento x tiene a 9 en el lugar y • 9, si el elemento x tiene a 1 en el lugar y • F3 es la antidiagonal. • Queda determinado un elemento de D1 que no está en la correlación inicial. Por eso, la suposición de que hay una correspondencia biunivoca conduce a contradicción.

15. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Alfred Tarski

16. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Teorema de Tarski • Ninguna teoría suficientemente fuerte como para hablar de la aritmética puede contener su propio predicado veritativo. • Sea S una teoría de primer orden con identidad en la que puedan expresarse los axiomas de Peano y la cual es adecuada para probar los resultados de la teoría de números. • Toda fórmula de S tiene un número de Gödel. Sea «p» su número de Gödel. • Las oraciones semánticas hablan acerca de propiedades de oraciones de S. Si S es semánticamente universal, se puede hablar en S de su propia semántica. Toda lo que se puede decir de la semántica de S, tiene que poder reflejarse como una fbf de S. • D1 = el conjunto de las class sign. • D2= el conjunto de los números naturales • “Tx” denota el conjunto de oraciones verdaderas de S. • “T*x” denota el conjunto de los números de Gödel de las oraciones de S. • ¿Puede “T*x” ser definida por una fórmula de la aritmética de primer orden?

17. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2 • F3 (x, y, z) = 1, si x es verdadera de su número de Gödel • 0, si x no es verdadera de su número de Gödel • H3 (x, y, z) = 1, si x no es verdadera de su número de Gödel • 0, si x es verdadera de su número de Gödel • H3 es la antidiagonal. • Por el teorema diagonal ninguna fórmula de S es verdadera de exactamente los números de Gödel de las fórmulas no verdaderas de sus propios números de Gödel. • Pero hay tal fórmula de S sobre la suposición de que el conjunto de números de Gödel de las fórmulas de S que son verdaderas en la interpretación standard es aritmético. Pero, el conjunto de fórmulas de S no verdaderas de sus propios números de Gödel existe. Y por eso, una fórmula bien formada con este conjunto con su extensión es expresable en el metalenguaje.

18. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Teorema de la indefinibilidad de la verdad: No hay una fórmula “True(x)” que defina T*. Esto es, no hay una fórmula “True(x)” de S tal que para toda fórmula x de S, True(x) ssi x es verdadera. • The Liar: Es la oración S tal que S  True («S») se cumple. • Por eso, ninguna fórmula True(x) puede definir T*. • Informalmente el teorema dice que dado un sistema axiomático en el que se pueda expresar la aritmética, el concepto de verdad en esa axiomatización no es definible usando los medios expresivos del sistema. Este resultado implica una limitación sobre el alcance de la idea de autorepresentación. Es posible definir una fórmula “True(x)” cuya extensión sea T*, pero solo usando un metalenguaje cuyo poder expresivo sea más poderoso que S (por ejemplo, usando un lenguaje de segundo orden).

19. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Teorema de Gödel • Se demuestra que existe una fórmula “Dem (x)” que codifica la clase de todas las oraciones que son deducibles en PM. • “Dem (x)” tiene la propiedad de que si “F” es una oración en PM, entonces la oración Dem(«F») es demostrable en S ssi F es deducible en PM. Es una fórmula que habla de otra fórmula. • Sea “K” una clase de números que cumpla: • (G) n  K  Dem (« Fn (n)») • o sea que n  K ssi la oración “Fn (n)” no es demostrable en PM. • El Teorema de Gödel muestra que podemos construir en PM una fórmula con una variable abierta [a class signs] que sea verdadera de exactamente los números de Gödel de fórmulas bien formadas que no son probables de sus propios números de Gödel.

20. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • D1 = el conjunto de los class signs de PM • D2= el conjunto de los números naturales • Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2 • R3 (x, y, z) = 1, si x es demostrable de y • 0, si x no es demostrable de y. • F3 (x, y, z) relaciona cada class sign con su número asociado. • H3 (x, y, z) = 1, si x no es demostrable de y • 0, si x es demostrable de y • H3 es la antidiagonal. • Por el teorema diagonal H no aparece como una fila de R. Es decir, ningún class sign de PM es probable de exactamente los números de Gödel de las class sign no probables de sus propios sus propios números de Gödel.

21. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • En particular, el class sign Fn (n) no es probable de exactamente estos números de Gödel y sin embargo, Fn (n) es verdadera de esos números. • Por eso, debe haber algún número q tal que Fq (q) es demostrable, pero no verdadera o Fq (q) es verdadera, pero no demostrable. • Si PM es sound, entonces Fq (q) es verdadera, pero no demostrable. Es decir, hay verdades que no son demostrables.

22. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Podemos ser más específicos. Supongamos, para obtener una contradicción que Fn (n) es demostrable de exactamente los números de los cuales es verdadera. Si esto fuera así, Fn (n) aparecería en D1. Dado que la diagonal F asocia con cada miembro del lado algún miembro de D2 , F relaciona con Fn (n) el número q. Tomemos como argumento para H la celda Fq (q) de la diagonal. • H(Fq (q)) = 1 ssi R (Fq (q)) = 0 • Pero ya que H es una fila • H(Fq (q)) = 1 ssi R (Fq (q)) = 1 • Consideremos la oración Fq (q). Supongamos que Fq (q) fuera probable. Entonces, Fq (q) sería verdadera. Por eso, q es el número asociado con la la fórmula abierta que no es demostrable de su número asociado. Esto es Fq (q) no es demostrable, lo cual contradice nuestra suposición. Supongamos, por otro lado que Fq (q) es demostrable. Entonces Fq (q) no se mantiene. Entonces, q es un número asociado con una fórmula abierta que es probable de su número asociado. Esto es Fq (q) es demostrable, lo cual es imposible.

23. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Por eso, ni Fq (q) ni  Fq (q) es demostrable en PM: Fq (q) es nuestra oración indecidible. Bajo la interpretación pretendida, Fq (q) dice que q es un número asociado con una fórmula abierta no demostrable de su número asociado. Esto es, dice acerca de sí misma que no es demostrable. Por eso, Fq (q) es nuestra verdad indemostrable.

24. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • Reflexión sobre el Esquema de comprensión • y x (P(x)  x  y) y x (True(x)  x  y) (G) n  K  Dem (« Fn (n)») • La indefinibilidad de la verdad es una consecuencia del esquema de comprensión de Frege. • Hay un paralelismo entre el mentiroso y el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. • La demostrabilidad, en cambio, es definible en la teoría de números, ya que es una propiedad recursivamente enumerable. • Los teoremas diagonales son interpretaciones de la fórmula de Russell. • (Ru) xy ( Jxy  Jxy) • Antidiagonal: el conjunto de los elementos del discurso los cuales no tienen J con ellos mismos. ¿Puede este conjunto ser una fila de D1?

25. Seminario: Teorías Formales de la Verdad • “x no es verdadera de sí misma” • “x no es demostrable de sí misma” • “x no pertenece a sí misma” • “x es heterológica”